رسم مثلث قائم من الوتر وساق: افحص الوتر قبل الأقواس

حدد الوتر والساق قبل نقل الطولين

الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، والساقان يلتقيان عندها. الوتر أطول منهما. [3]

في مثالنا القطعتان المعطاتان 25 سم للوتر و7 سم للساق. نكتب الطولين في خانتين: فتحة العلامتين 7 سم، وفتحة القوسين 25 سم. لا نبدل اسميهما لمجرد أن موضع أحدهما على الورقة أعلى من الآخر.

حتى نصنع مثلثًا ذا مساحة، نحتاج 0<طول الساق<طول الوتر. في مثالنا 0<7<25. سنرى بالحساب أن المساواة تلغي ارتفاع الرأس الثالث عن الخط، وأن الوتر الأصغر يجعل هذا الارتفاع غير حقيقي. هذا فحص للمعطيات قبل الرسم، ولا يعتمد على مدى اتساع القوس الذي نرسمه.

ارسم خطًا أفقيًا وحدد ج، ثم بفتحة الساق علّم ع وأ على جانبي ج. [1]

نختار ج=(0،0) سم، وع=(−7،0)، وأ=(7،0). عندئذ ج ع=ج أ=7 سم، لكن ع أ=14 سم. الخط الأفقي مرجع لوضع العلامتين، والقطعة ج أ هي الساق المطلوبة في المثلث الذي سنحتفظ به.

بدل الفتحة إلى الوتر ثم صل الرأس

بفتحة الوتر ارسم قوسًا من ع فوق ج، ثم من أ بالفتحة نفسها حدد التقاطع ب. صل ب بج وبأ. [1]

في المثال الفتحة الجديدة 25 سم. لسنا ننقل 25 سم من ج على الخط الأفقي؛ المركزان الآن ع وأ. احتفظ بعلامة ج ظاهرة، لأن الوصلة ج ب ستبدأ منها. نختار التقاطع العلوي حتى تبقى تسمية ب ثابتة في الحساب والرسم.

يضمن تساوي ج ع وج أ، وتساوي ب ع وب أ، وضلع ج ب المشترك، تطابق المثلثين على جانبي ج ب؛ زاويتاهما عند ج متساويتان ومجموعهما 180°، فتكون كل منهما 90°. [2]

في الأرقام المختارة، ب=(0،24). القطعة ج ب رأسية وج أ أفقية؛ هذان الضلعان يصنعان الزاوية القائمة عند ج. نحتفظ بالمثلث أ ج ب، بينما ع مركز مساعد للقوس الثاني وليست رأسًا رابعًا فيه. ب ع=25 سم أيضًا، لكنه ضلع في المثلث المساعد على اليسار.

تحقق من الرأس بطرح معادلتي الدائرتين

لنكتب إحداثيي ب مؤقتًا (س،ص). لأنها تبعد 25 سم عن ع=(−7،0)، تحقق (س+7)²+ص²=625. ولأنها تبعد المسافة نفسها عن أ=(7،0)، تحقق (س−7)²+ص²=625. طرح الثانية من الأولى يعطي 28س=0، وبالتالي س=0.

نعوض س=0 في إحدى المعادلتين فنجد 49+ص²=625؛ ومنه ص²=576 وص=±24. اخترنا الأعلى ب=(0،24) سم. عند هذا الرأس ج ب=24 سم، ومربع أ ب=7²+24²=49+576=625، لذلك أ ب=25 سم. تحققت الساق ج أ=7 سم والوتر أ ب=25 سم معًا.

الرأس السفلي (0،−24) يحقق المسافتين أيضًا. يغير جهة المثلث بالنسبة إلى الخط الأفقي، لكن الساقين تبقيان 7 و24 سم والوتر 25 سم. إذا اخترت الأسفل بدل الأعلى، غيّر إشارة الإحداثي الصادي في سجل الحساب، ولا تغير أسماء الأطوال.

يمكن تطبيق الطرح نفسه على طول ساق ل موجب ووتر هـ موجب: المركزان (−ل،0) و(ل،0)، وطرح معادلتي الدائرتين يعطي 4ل س=0. إذن س=0 ثم ص²=هـ²−ل². حتى تكون ب خارج الخط ونحصل على مساحة، يجب أن يكون هـ²−ل²>0؛ ومع موجبَي الطولين يعادل ذلك هـ>ل.

ميز فشل المعطيات من خطأ رسم الأقواس

نثبت الساق عند 7 سم ونقارن ثلاثة أوتار: 6 و7 و8 سم. المركزان ع وأ يبقيان متباعدين 14 سم في الحالات الثلاث؛ نغير نصف قطر الدائرتين فقط. الصور الداخلية مرسومة بالمقياس نفسه كي لا توحي دائرة مكبرة بأن حالة مستحيلة أصبحت ممكنة.

عند الوتر 6 سم يكون ص²=36−49=−13. لا توجد نقطة حقيقية تحقق المعادلتين. ويمكن ملاحظة المسافة: مجموع نصفي القطرين 6+6=12 سم أصغر من المسافة بين المركزين 14 سم، فتوجد فجوة بين الدائرتين. إطالة القوس على الورقة لا تصنع تقاطعًا.

عند الوتر 7 سم نجد ص²=49−49=0، فتكون نقطة التماس ج نفسها. إذا سميتها ب صار ب=ج، وتكررت إحدى الرؤوس؛ لذلك لا ينشأ مثلث ذو مساحة. هذه الحالة تختلف عن الدائرتين المنفصلتين، لكنها لا تحقق المطلوب أيضًا.

عند الوتر 8 سم نجد ص²=64−49=15، فيكون الرأس العلوي ب=(0،√15) سم. مربع أ ب=49+15=64، وطوله 8 سم؛ والساق الأخرى √15≈3.873 سم. التقاطع السفلي يعطي ص=−√15 مع الأطوال نفسها. هذه مقارنة مستقلة عن المثال الرئيسي ذي الوتر 25 سم.

سجل خاص بالمثال الرئيسي: ج أ=7 سم؛ ع أ=14 سم؛ أ ب=ع ب=25 سم؛ ج ب=24 سم. يمكنك وضع خانة بجانب كل قيمة لنتيجة رسمك على الورق، ثم مقارنة الأطوال المقاسة بالنموذج الحسابي. احتفظ بوحدة سم للأطوال وسم² للمربعات؛ الصور على الشاشة ليست قياسًا بالمسطرة على الورقة.