رسم مواز بنقل مثلث: احفظ اتجاه القاعدة وجهة الرأس

انقل القاعدة ثم انقل المسافتين

اختر أ وب مختلفتين على المستقيم، ور خارجه. انقل طول أ ب من أ′ إلى ب′، ثم ارسم قوسي المركزين أ′ وب′ بفتحتي أ ر وب ر. [1]

اختر تقاطع القوسين في جهة ر بالنسبة للقاعدة، ثم صل ر به ومد الخط. رسم ضلعي كل مثلث يساعد على المتابعة، لكنه اختياري. [1]

لتحديد النقل الذي نراجعه، اجعل الاتجاه من أ′ إلى ب′ موافقًا للاتجاه من أ إلى ب. اختر أ′ غير أ. نسمي الرأس الجديد ر′، ونضع أسماء النقطتين المنقولتين قبل رسم قوسي الرأس، حتى لا نبادل فتحتَي أ ر وب ر. [2]

سنستعمل مسطرة لرسم المستقيمات وفرجارًا لنقل الأطوال. الأعداد والإحداثيات التالية فحص للمثال، وليست اشتراطًا لقياس كل خطوة على الورقة. نفترض مستوى إقليديًا ومقياس طول واحدًا؛ لا نستنتج دقة عمل يدوي من الرسم المنشأ بالحاسوب. [3]

مثال: ثلاثة أطوال وتقاطعان

نختار القاعدة ص=0، وأ=(0،0)، وب=(8،0)، ور=(3،4). طول أ ب=8 سم، وأ ر=√(3²+4²)=5 سم، وب ر=√((3−8)²+4²)=√41 سم، أي نحو 6.403 سم.

نضع أ′=(6،0). نقل طول 8 في اتجاه أ إلى ب، أي نحو اليمين، يعطي ب′=(14،0). قوس أ′ بفتحة 5 ينتمي إلى (س−6)²+ص²=25، وقوس ب′ بفتحة √41 ينتمي إلى (س−14)²+ص²=41.

نطرح المعادلة الأولى من الثانية: −16س+160=16، ومنه س=9. بالتعويض في الأولى نجد 9+ص²=25؛ ص=4 أو ص=−4. التقاطعان هما ر′=(9،4) وهـ=(9،−4).

ر فوق المستقيم ص=0، لذلك نختار ر′ فوقه. نتحقق: أ′ ر′²=3²+4²=25، وب′ ر′²=(−5)²+4²=41. معادلة خط ر ر′ هي ص=4؛ لا توجد نقطة تحقق ص=4 وص=0 معًا.

لماذا يكون الوصل موازيًا؟

الإزاحة تنقل رؤوس الشكل بالاتجاه والمسافة نفسيهما؛ وصل كل رأس بنظيره يعطي قطعًا متوازية ومتساوية. اختيار نسخة غير مدورة وغير منعكسة هو أساس هذه الطريقة. [2]

في مثالنا أ′−أ=(6،0)، وب′−ب=(6،0)، ور′−ر=(6،0). لم نكتفِ بمساواة الأطوال الثلاثة؛ راجعنا أيضًا اتجاه القاعدة وجهة الرأس. بذلك يكون خط ر ر′ في اتجاه القاعدة نفسها.

نراجع الفكرة جبريًا دون الاعتماد على صورة أفقية مخصوصة. نختار محورًا على القاعدة: أ=(0،0)، وب=(ل،0) حيث ل>0 يمثل طول القاعدة، ور=(س،ص) حيث ص≠0. نجعل أ′=(ت،0)، وب′=(ت+ل،0)، مع ت≠0. نرمز إلى إحداثيي الرأس المطلوب بـ(ع،ف).

مربع فتحته من أ′ هو س²+ص²، ومن ب′ هو (س−ل)²+ص². إذن (ع−ت)²+ف²=س²+ص²، و(ع−ت−ل)²+ف²=(س−ل)²+ص². بطرح الأولى من الثانية وإلغاء ل²، نجد −2ل(ع−ت)=−2لس؛ لذلك ع=ت+س.

التعويض يعطي ف²=ص². اختيار نصف المستوى نفسه يعني ف=ص، فيكون الرأس (ت+س،ص). متجه الوصل من ر هو (ت،0)، غير صفري ومواز للقاعدة. هذا البرهان لا يشترط أن تقع قدم ر بين أ وب.

التوازي هنا بين مستقيمين متميزين في مستوى واحد، لا بين قطعتين توقفتا قبل التقاطع في صورة صغيرة. [3] في الحساب العام ص≠0، فتختلف معادلتاهما ف=0 وف=ص. أما ت≠0 فيمنع اندماج ر ور′.

الرأس السفلي والقاعدة المعكوسة

النقطة هـ=(9،−4) تحقق فتحتي القوسين أيضًا. لكن متجه ر هـ=(6،−8)، وليس (6،0). ميل الخط −8/6=−4/3؛ معادلته ص=4−(4/3)(س−3). عند ص=0 نجد س=6، فيقطع القاعدة عند أ′.

إذا اخترنا أ′=أ ونقلنا القاعدة في اتجاهها الصحيح، عادت ب′=ب. التقاطع في جهة ر يعيد ر نفسها؛ نقطة واحدة لا تحدد الوصل ر ر′. حافظ على إزاحة غير صفرية، بدل مد خط من اسمين يشيران إلى النقطة ذاتها.

نراجع خطأً آخر باستخدام أ′=(6،0) من مثالنا، لكن ننقل طول القاعدة 8 إلى اليسار، فتصبح ب″=(−2،0). نرسم بفتحة 5 من أ′ و√41 من ب″. المعادلتان (س−6)²+ص²=25 و(س+2)²+ص²=41 تعطيان 16س−32=16؛ س=3، ثم ص=±4.

التقاطع العلوي هنا هو (3،4)، أي ر نفسها. مع أن أطوال المثلث المنسوخ صحيحة والرأس في الجهة نفسها، فإن عكس اتجاه القاعدة أعاد نقطة البداية في هذا المثال. لا نستطيع إنشاء المستقيم المطلوب بوصل ر بنفسها.

ليس الحكم أن القاعدة المعكوسة تفشل في إعطاء مواز في كل مثال؛ قد ينتج رأس مختلف له الارتفاع نفسه. المشكلة أنها لا تحفظ الإزاحة التي بنينا عليها الضمان، وقد تدمج الرأسين كما حسبنا. راجع اتجاه أ′ ب′، ثم جهة الرأس، ثم اختلافه عن ر.

تعرض الصورة الداخلية خط ر هـ المائل، ثم القاعدة المعكوسة التي تعيد ر. إذا لم تظهر قوسان متقاطعان في عمل يدوي، راجع المراكز والفتحات أولًا؛ لا تجعل نقطة قريبة من القوس بديلًا عن تقاطع يحقق المسافتين.