سيسويد ديوكليس: كيف نرسمه ولماذا يكون الأصل نقطة منه؟

الخلاصة السريعة

نرسم دائرة مركزها C=(2,0) ونصف قطرها2 ومماسها x=4؛ ننقل طول MQ من O على الشعاع OQ. ينتج y²(4−x)=x³، ومجاله 0≤x＜4، والأصل نقطة صحيحة عند MQ=0.

• يلتقي الشعاع الخارج من O=(0,0) بالدائرة مرة ثانية عند M، وبالمماس عند Q. نختار P على الشعاع نفسه بحيث OP=MQ؛ هذه مسافة متغيرة مع اتجاه الشعاع، لا طول ثابت.
• إذا كان Q=(4,4t)، فإن M=(4/(1+t²),4t/(1+t²))، ومن ثم P=(4t²/(1+t²),4t³/(1+t²)). حذف t يعطي y²(4−x)=x³.
• في المثال Q=(4,3)، تكون M=(64/25,48/25) وP=(36/25,27/25). المسافات OQ=5 وOM=16/5 وOP=MQ=9/5؛ تتحقق الدائرة والشعاع والمعادلة.
• النقطة W=(9/5,0) تبعد9/5 عن O مثل P، لكنها على اتجاه خاطئ. في الفحص F(x,y)=y²(4−x)−x³ تعطي F(W)=−729/125، فلا تنتمي إلى المنحنى.
• حلول المعادلة الحقيقية تقع في 0≤x＜4. عند t=0 تكون Q=M=(4,0)، فيصبح الفرق صفرًا وP=O. لا نحذف الأصل عند القسمة على x لإثبات العكس.
• فرعان متناظران حول المحور الأفقي يلتقيان برأس مدبب عند O؛ المماس الحدي هناك y=0. والمستقيم x=4 مقارب رأسي لا يبلغه المنحنى. [1] الرسم يعرض جزءًا محدودًا منه.

انقل الفرق على الشعاع نفسه

نبدأ بدائرة مركزها C=(2,0) ونصف قطرها2، معادلتها (x−2)²+y²=4. تمر بالأصل O=(0,0) وبالنقطة A=(4,0). المستقيم x=4 مماس عند A؛ تعويض x=4 في الدائرة يفرض y=0.

نرسم شعاعًا من O نحو المستقيم x=4. نسمي تقاطعه مع المستقيم Q، وتقاطع الدائرة الآخر M. لا نأخذ التقاطع O الموجود مسبقًا بوصفه M. تقع M على الشعاع بين O وQ، أو تتطابق مع Q في الوضع الأفقي.

قاعدة البناء هي وضع P على الشعاع نفسه بحيث OP=MQ. هذه طريقة إنشاء سيسويد ديوكليس. [1] لأن M بين O وQ، فإن MQ=OQ−OM، والفرق لا يكون سالبًا.

للحصول على P، يمكن نقل قطعة بطول MQ بحيث تبدأ عند O وتتجه نحو Q. لا نحتفظ بمكان القطعة MQ الأصلي، ولا نجمع إحداثيًا من نقطة وإحداثيًا من أخرى. ننسخ طول الفجوة واتجاهها.

ليس MQ طولًا ثابتًا لجميع الأوضاع؛ إنه يتغير عندما يدور الشعاع. كذلك لا نقول إن P تقع دائمًا قبل M. موضع P بالنسبة إلى M يتوقف على نسبة الفجوة إلى OM، أما وقوعها على الشعاع الصحيح فهو شرط دائم.

نستعمل مستوى ديكارتيًا بوحدة طول واحدة في الاتجاهين. الدائرة والمماس أداتان للبناء، والمسار الناتج هو مجموعة مواضع P عند تغيير الشعاع. الصور اللاحقة مخططات محسوبة، وليست قياسًا لآلة أو تجربة فعلية.

من الفجوة إلى المعادلة التكعيبية

ليكن ميل الشعاع t، فنكتب Q=(4,4t). أي نقطة على خط OQ لها صورة (u,ut). معادلة الدائرة بعد النشر هي x²+y²=4x، فتتحول إلى u²(1+t²)=4u.

الحل u=0 يعطي الأصل، أما التقاطع الآخر فيعطي u=4/(1+t²). لذلك M=(4/(1+t²),4t/(1+t²)). مقام هذه الإحداثيات موجب لكل t حقيقي، والتقاطع M مختلف عن O دائمًا.

لدينا M=Q/(1+t²). عامل النسبة موجب ولا يتجاوز1؛ وهكذا تكون M على القطعة OQ، لا على الامتداد المعاكس. ويكون متجه الفجوة Q−M في اتجاه الشعاع ذاته أو متجهًا صفريًا.

نقل الفجوة إلى الأصل يعطي P=Q−M، أي P=(4t²/(1+t²),4t³/(1+t²)). عامل P بالنسبة إلى Q هو t²/(1+t²)، فيثبت أن OP يساوي MQ، لا مجرد تشابه شكلي بين الإحداثيات.

من هذه الصورة نحصل على 4−x=4/(1+t²). وعند ضرب y² في 4−x تكون النتيجة64t⁶/(1+t²)³، وهي x³ نفسها. إذن y²(4−x)=x³، أو x(x²+y²)=4y².

توافق النتيجة الصيغة المرجعية y²=x³/(2a−x) عندما يكون نصف قطر الدائرة a=2. [1][2] الصيغة الكسرية تستبعد x=4؛ سنفحص المجال والأصل من المعادلة التي لا تحتوي قسمة.

اختبر الدائرة والشعاع وطول الفجوة

نختار Q=(4,3)، فيكون الميل t=3/4. عامل التقاطع1/(1+t²)=16/25، لذلك M=(64/25,48/25). وبطرح إحداثيات M من Q نحصل على P=(36/25,27/25).

اختبار الدائرة يعطي (64/25−2)²+(48/25)²=196/625+2304/625=4. أما اختبار الشعاع فيعطي 4My=3Mx، لأن الطرفين192/25. هذان الاختباران يؤكدان دور M قبل نقل الطول.

طول OQ هو5، وطول OM هو16/5، لأن M=(16/25)Q. الفرق5−16/5=9/5. وبحساب طول OP من إحداثيات P نجده9/5 أيضًا؛ النقطة الناتجة تقع على الشعاع نفسه بميل3/4.

لفحص المعادلة، لدينا y²=729/625 و4−x=64/25. حاصل ضربهما46656/15625، وهو (36/25)³. لم نعتمد على قرب النقطة من الخط الأزرق في الصورة؛ الفحص هنا كسري ودقيق.

في هذا الوضع بالذات تأتي النقاط بالترتيب O ثم P ثم M ثم Q، لأن9/5 أصغر من16/5. هذا ترتيب المثال فقط. عند زيادة |t| كثيرًا يمكن أن يتجاوز طول الفجوة OM، فتقع P بعد M على الشعاع.

يفصل الجدول النقاط الثابتة والمتحركة والنقطة الخاطئة التي سنختبرها. تبقى C مركز الدائرة وA نقطة تماسها، بينما Q وM تحددان الفجوة، وP تمثل موضعًا من المنحنى الناتج.

الطول الصحيح لا يعوض الاتجاه الخطأ

ضع W=(9/5,0). طول OW يساوي9/5، وهو طول OP في المثال. مع ذلك لا تقع W على الشعاع OQ، لأن ميل OW صفر وميل OQ يساوي3/4. شرط البناء يتضمن الطول والاتجاه معًا.

نعرّف F(x,y)=y²(4−x)−x³. في النقطة P تكون القيمة صفرًا. أما W فتعطي F(W)=−729/125. هذا فرق غير صفري، فيرفضها اختبار المعادلة أيضًا.

لو نقلنا الفجوة في أي اتجاه نختاره بعد حساب طولها، فسوف نرسم دوائر مركزها O أو نقاطًا متفرقة حسب الاختيار. هذه القاعدة لا تضمن مسار سيسويد ديوكليس؛ الشعاع الذي أنتج Q وM يحدد اتجاه النقل.

ومن الأخطاء استعمال مسافة ثابتة مكان MQ. في المثال طول الفجوة9/5، لكنه عند الشعاع الأفقي صفر. لا يمكن تثبيت9/5 لجميع الأوضاع ثم توقع المعادلة نفسها.

نقطة المماس A ليست نقطة المنحنى في الوضع الأفقي. عند ذلك الوضع تكون Q=M=A، فيختفي طول القطعة المنقولة ويعود P إلى O. التفريق بين نقطة الأداة ونقطة المسار يمنع هذا الالتباس.

أثبت المجال ثم أعد الأصل إلى البناء

نقرأ المعادلة y²(4−x)=x³. إذا كان x سالبًا، يكون الطرف الأيسر غير سالب والطرف الأيمن سالبًا، فلا حل. وإذا كان x أكبر من4، يكون الطرف الأيسر غير موجب والطرف الأيمن موجبًا، فلا حل أيضًا.

عند x=4 تصبح المعادلة0=64، وهذا مستحيل. وعند x=0 تفرض4y²=0، أي y=0. إذن المجال الحقيقي للإحداثي الأفقي هو0≤x＜4، والأصل هو النقطة الوحيدة عند طرفه الأيسر.

للتحقق من الأصل هندسيًا، نأخذ t=0. الشعاع هو المحور الأفقي الموجب، فيكون Q=M=A=(4,0). بما أن MQ=0، فإن OP=0 وينتج P=O. الأصل صالح بالبناء، وليس نقطة زائدة أوجدها النشر.

يبقى إثبات أن كل حل آخر ينتج من البناء. خذ حلًا له0＜x＜4، وضع t=y/x. بقسمة المعادلة على x²(4−x) نحصل على t²=x/(4−x). ثم يعيد التعويض x=4t²/(1+t²) وy=4t³/(1+t²).

تشمل هذه العودة الإشارتين الموجبة والسالبة لـy؛ كل إشارة تختار شعاعًا في نصف المستوى الموافق. لا نحتاج إلى حصر الحركة فوق المحور الأفقي. الأصل عولج منفصلًا قبل القسمة على x.

إذن اتفق البناء والمعادلة في مجموعة النقاط كلها. لو بدأنا بالقسمة على x دون فحص x=0، لفقدنا نقطة صحيحة. وإذا ظهرت نقطة في معادلة أخرى، فلا يكفي التعويض وحده لإعلان صحتها هندسيًا؛ هنا لدينا وضع بناء ينتجها فعلًا.

رأس مدبب ومقارب رأسي

تغيير t إلى−t يترك x كما هو ويعكس إشارة y. لذلك يتناظر المنحنى حول المحور الأفقي. الفرع العلوي والفرع السفلي يلتقيان في O، ويقع كلاهما إلى يمين الأصل.

عندما يقترب t من صفر، تقترب P من O، وتكون نسبة y/x=t للنقاط غير الأصل. تقترب ميول القواطع من صفر من الجهتين. المماس الحدي عند الأصل هو y=0، والالتقاء هناك رأس مدبب. [1]

الرأس المدبب لا يعني أن الأصل مستبعد، ولا أن فرعًا يمر إلى يساره. المجال الذي أثبتناه يمنع x السالب. ويبين البناء كيف يصل الفرعان إلى نقطة الفجوة الصفرية نفسها.

عندما تكبر |t| دون حد، يقترب x=4t²/(1+t²) من4 من اليسار، بينما يكبر |y| دون حد. لذلك يكون x=4 مقاربًا رأسيًا. [1] لا يساوي x القيمة4 في أي نقطة من المنحنى.

المستقيم x=4 له دوران مختلفان: هو المماس للدائرة عند A في أداة البناء، وهو المقارب الرأسي للمنحنى الناتج. لا تعني هاتان العلاقتان أن المنحنى يلمس المستقيم عند A.

في الرسم الداخلي تظهر نقطتا المثال P الموجبة ونظيرتها السالبة، والأصل المشترك، وخط المقارب. ينتهي الخط الأزرق عند حدود الإطار بسبب قص العرض؛ الفرعان لا ينتهيان عند تلك الحدود. المقياس واحد أفقيًا ورأسيًا في كل صورة.