شبكة الأسطوانة القائمة: أي ضلع يساوي محيط القاعدة؟

ما الذي نحصل عليه عند الفرد؟

للأسطوانة القائمة قاعدتان دائريتان متطابقتان، وارتفاع عمودي بينهما. عند فرد جانبها ينتج مستطيل، أحد بعديه محيط القاعدة والآخر الارتفاع. [1]

تخيل أننا نفتح الجانب على خط يمتد من مستوى القاعدة السفلى إلى مستوى القاعدة العليا، ثم نبسطه دون شد أو قص أجزاء منه. الخط الذي فتحناه كان في اتجاه الارتفاع، أما الطريق الذي يحيط بالجسم فقد صار ضلعًا مستقيمًا في المستطيل. لسنا نحاول تحويل دائرة القاعدة نفسها إلى مستطيل؛ إنما نفصل سطحين لهما أدوار هندسية مختلفة قبل جمع مساحاتهما.

نفترض هنا أسطوانة دائرية قائمة، لا سطحًا مخروطيًا ولا أسطوانة مائلة نطبق عليها الصورة نفسها بلا فحص. يحدد هذا الوصف كيف نربط الارتفاع ببعد المستطيل. وفي ورقة التدريب يكفي رسم جانب مبسوط ودائرة منفصلة ووضع أسماء الأبعاد. الرسم ليس قياسًا جديدًا؛ المعطيات المكتوبة والربط بين الحواف هما ما سيحدد الجسم الذي نتحدث عنه.

سمّ الحافتين اللتين ستلتقيان

في مستطيلنا توجد حافتان طول كل منهما ثلاثون، وحافتان طول كل منهما اثنا عشر. في الاختيار الأول نريد طول اللفة ثلاثين، لذلك نجمع الحافتين القصيرتين اللتين طول كل منهما اثنا عشر. خط التقاء هاتين الحافتين يمتد على ارتفاع الجسم. أما حافتا الثلاثين فتصيران حدين دائريين عند الأعلى والأسفل؛ كل واحدة تجري حول قاعدة لا عبر ارتفاعها.

هذا التحديد أدق من عبارة لف المستطيل على ضلعه الطويل وحدها، لأن القارئ قد يظن أن الضلع الطويل هو خط الوصل بدل طول الدورة. اكتب في المثال اسم الحافتين المتصلتين واسم الضلع الذي يتبع المحيط. وإذا استعملت لونًا للحواف في الرسم، اجعل اللون نفسه على زوج الحواف الذي سيجتمع. عندئذ يمكن للقارئ التحقق من الاتجاه قبل النظر إلى أي معادلة.

والاختيار الثاني يجمع حافتي الثلاثين، فيصير خط الوصل طويلًا والارتفاع ثلاثين. الحافتان الأخريان بطول اثني عشر تتبعان محيط القاعدتين. المستطيل نفسه لم ينقص ولم يزد، لكن دور كل زوج تغير. ليس أحد الاتجاهين خطأ في النموذج المثالي إذا لم يفرض السؤال ارتفاعًا أو دائرة قاعدة مسبقًا؛ نحتاج هذا المعطى الإضافي إن أردنا اختيارًا واحدًا دون الآخر.

المحيط مختلف عن القطر

محيط الدائرة يساوي ضعفي باي مضروبًا في نصف القطر، أو باي مضروبة في القطر. مساحة الدائرة باي مضروبة في مربع نصف القطر. [2]

إذا أردنا دورة حول القاعدة طولها ثلاثون سنتيمترًا، فإن نصف القطر خمسة عشر مقسومة على باي، ويقارب أربعة وسبعة وسبعين جزءًا من مئة سنتيمتر. أما القطر فهو ثلاثون مقسومة على باي، ويقارب تسعة وخمسة وخمسين جزءًا من مئة. العدد ثلاثون لم يكن قطرًا ولا نصف قطر؛ كان مسافة السير حول الحد الدائري الذي سيغلق عليه الجانب.

يمكن كشف الخطأ من إعادة حساب المحيط. لو وضعت نصف قطر خمسة عشر من دون القسمة على باي، لصار المحيط ثلاثين مضروبة في باي بدل الثلاثين المطلوبة. ولو جعلت الثلاثين قطرًا، لصار المحيط أيضًا أكبر مما تريد. لا نصحح هذه الاختيارات بالنظر إلى شكل دائرة صغيرة أو كبيرة في رسم غير معد للقياس؛ نراجع علاقة المحيط بالمعطى الذي أعلنّاه.

C = 30 cm; r = C/(2π) = 15/π cm; d = C/π = 30/π cm

الجانب مستطيل كامل لا شريط ناقص

مساحة الجانب في الأسطوانة القائمة تساوي محيط القاعدة مضروبًا في الارتفاع. ومساحة سطحها المغلق تجمع الجانب مع مساحتي القاعدتين. [1]

في اتجاه الثلاثين حول القاعدة، نضرب الثلاثين في اثني عشر فنحصل على ثلاثمئة وستين سنتيمترًا مربعًا. وفي الاتجاه الآخر نضرب اثني عشر في الثلاثين فنصل إلى المقدار نفسه. هذا الاتفاق يخص السطح الذي مثله المستطيل كله. لم نحسب حجمًا ولم نضف دائرة بعد؛ بدّلنا فقط اسمي البعدين اللذين ظهر حاصل ضربهما في الحساب.

إذا قطعنا من المستطيل دائرة لصنع قاعدة ثم استعملنا بقية الورقة، فلن يبقى الجانب المستطيل نفسه بالمساحة والحواف التي افترضناها. لذلك حين نرسم شبكته المغلقة نضيف دائرتين منفصلتين تمثلان سطحي القاعدتين. لا نعدّ المساحة المستطيلة قبل الاقتطاع وبعده كاملة مرتين. يبقى وصف القطع المطلوبة جزءًا من النموذج، حتى عندما كان الهدف مجرد التعرف إلى الأبعاد.

أي دائرة تطابق اللفة الأولى؟

نريد للاختيار الأول دائرتين نصف قطر كل منهما خمسة عشر على باي. مساحة الواحدة مئتان وخمسة وعشرون على باي سنتيمترًا مربعًا؛ ومساحتهما معًا أربعمئة وخمسون على باي. لذلك تصبح مساحة الشبكة المغلقة ثلاثمئة وستين زائد أربعمئة وخمسين على باي، وتقارب خمسمئة وثلاثة وأربعة وعشرين جزءًا من مئة سنتيمتر مربع بعد التقريب النهائي.

تحقق من محيط الدائرة قبل مساحتها، لأن اتصال الحافة الدائرية بجانب الأسطوانة يتعلق بطول الحد. فإذا أحضرت دائرة قطرها ثمانية سنتيمترات، فمحيطها ثمانية مضروبة في باي، ولا يساوي الثلاثين في مثالنا. قد تبدو الدائرة مناسبة في رسم يدوي، لكن المعطيات لا تطابقها من غير تغيير طول اللفة أو السماح بتشوه لم نفترضه. لا تكفي مساحة دائرة تبدو قريبة لإثبات تطابق الحدين.

والقاعدتان في الشبكة متطابقتان لأننا ندرس أسطوانة قائمة بقاعدتين لهما نصف القطر نفسه. إذا كان رسمك يعطي دائرتين مختلفتي المقاس، فهو لا يطابق هذه المعطيات حتى إن أضفتهما حسابيًا إلى مساحة المستطيل. افحص التطابق والحد المحيط قبل الجمع. إضافة مساحات صحيحة لأشكال منفردة لا تجعلها تلقائيًا شبكة الجسم الذي وصفه السؤال.

A_base = π(15/π)² = 225/π cm²; S_closed = 360 + 450/π cm²

اللفة الثانية تعطي قاعدة أصغر

نختار الآن الاثني عشر طولًا حول القاعدة، والارتفاع ثلاثين. نصف القطر ستة على باي، ويقارب واحدًا وواحدًا وتسعين جزءًا من مئة سنتيمتر. مساحة دائرة القاعدة ستة وثلاثون على باي، وتضيف القاعدتان اثنين وسبعين على باي. مع الجانب الذي بقي ثلاثمئة وستين، تصبح المساحة المغلقة نحو ثلاثمئة واثنين وثمانين واثنين وتسعين جزءًا من مئة سنتيمتر مربع.

إذن المستطيل نفسه يكفي لسطحين جانبيين مختلفي الشكل، لكن إغلاقهما لا يحتاج دائرتين من المقاس نفسه. لا تنقل قاعدتي الاتجاه الأول إلى الاتجاه الثاني لمجرد أن المستطيل لم يتغير؛ الذي يحدد محيط القاعدة هنا ضلع الاثني عشر، بعد أن كان ضلع الثلاثين. في جدول الحل ضع خانة مستقلة لطول اللفة، وأخرى للارتفاع، ثم أعد إيجاد نصف القطر لكل صف.

الجدول التالي يبين معنى ثبات الجانب واختلاف القاعدتين، ولا يقدم قائمة بكميات قابلة للتبادل. كل رقم يعاد إلى اسم ووحدة: طول اللفة والارتفاع بالسنتيمتر، والجانب بالمربع، ونصف القطر بالسنتيمتر. إذا كتبت النتيجة العددية في خانة ذات اسم غير مناسب، فقد يبدو الجمع صحيحًا بينما الجواب عن الكمية المطلوبة مختلف. قراءة العناوين جزء من مراجعة الحساب لا خطوة شكلية.

مساحة جانب متساوية لا تعني حيزًا متساويًا

حجم الأسطوانة القائمة يساوي مساحة قاعدة الدائرة مضروبة في الارتفاع. الحجم بوحدة مكعبة يصف حيزًا، والمساحة بوحدة مربعة تصف سطحًا. [1]

للأول، نضرب مئتين وخمسة وعشرين على باي في ارتفاع اثني عشر، فنحصل على ألفين وسبعمئة على باي سنتيمترًا مكعبًا. وللثاني، نضرب ستة وثلاثين على باي في ثلاثين، فنحصل على ألف وثمانين على باي. نسبة الحجم الأول إلى الثاني خمسة على اثنين، رغم أن مساحة مستطيل الجانب متساوية في الصفين. المقارنة تستعمل حيزًا هندسيًا محاطًا بقواعد مثالية، لا قياس سعة عبوة حقيقية.

السبب الذي يظهر من الأعداد أن مساحة القاعدة تتأثر بمربع نصف القطر، ثم تضرب في الارتفاع. تبديل وظيفتي الضلعين أبقى حاصل ضرب المحيط والارتفاع، ولم يبق حاصل ضرب مساحة الدائرة والارتفاع. لذلك لا نستنتج من تساوي قطعة الجانب أن كل ما يمكن أن تحيط به بعد اللف متساوٍ. الرسم الداخلي يربط نصفي القطر والارتفاعين بالاختيار الذي أنتج كلًا منهما.

V₁ = 2700/π cm³; V₂ = 1080/π cm³; V₁/V₂ = 5/2

مسألة عكسية من شبكة غير مكتملة

نؤلف معطى آخر للاتجاه الأول: مساحة مستطيل الجانب ثلاثمئة وستون سنتيمترًا مربعًا، ومحيط دائرة القاعدة ثلاثون سنتيمترًا. لكي نجد البعد الناقص، نقسم المساحة على الثلاثين، فيكون الارتفاع اثني عشر سنتيمترًا. إعادة الضرب تعيد مساحة المستطيل. لا نحتاج مساحة القاعدة لهذه الخطوة لأن السؤال يصف الجانب ويعطي طول ضلعه الذي يلتف.

أما إذا كانت الثلاثمئة والستون مساحة السطح المغلق كله، فالقسمة نفسها لا تصح مباشرة. يجب أن نعرف مساحة الدائرتين التي تضمنها المعطى ونفصلها عن مساحة الجانب أولًا. لم نبدل قانون المستطيل؛ بدلنا معنى المساحة المذكورة في السؤال. اكتب فوق رقم المساحة اسم السطح الذي يمثله بدل حمله إلى معادلة جديدة تحت اسم عام لا يحدد القطع.

وكذلك إذا أعطاك السؤال نصف قطر دائرة القاعدة بدل محيطها، فابدأ بحساب المحيط ثم استخدمه ضلعًا للمستطيل. وإذا أعطاك مساحة الدائرة، فالانتقال إلى نصف القطر يحتاج حلًا مناسبًا للتربيع قبل الوصول إلى المحيط. تسلسل السؤال يحدد الخطوات المطلوبة، وليس قرب الأعداد من نتيجة حفظتها. الشبكة تساعدك على رؤية العلاقات بين الأبعاد بدل إجراء قسمة بين أي رقمين ظهرا فيها.

التراكب يغير طول اللفة الفعلي

افترض مسألة هندسية جديدة تقول إن مستطيل الثلاثين في الاثني عشر يلتف في الاتجاه الأول، لكن سنتيمترًا من طوله المحيطي يتراكب مع الطرف الآخر. في هذا الوصف يكون طول الدورة الفعلي تسعة وعشرين سنتيمترًا، لا ثلاثين. الارتفاع ما زال اثني عشر، ونصف القطر تسعة وعشرون مقسومة على ضعفي باي. نحن نغير شرطًا في النموذج، فلا ننسب النتيجة الجديدة إلى الحالة من دون التراكب.

تبقى مساحة الورقة المسطحة ثلاثمئة وستين، لكن مساحة الجانب الهندسية المغطى مرة واحدة تساوي تسعة وعشرين في اثني عشر، أي ثلاثمئة وثمانية وأربعين. الاثنا عشر المتبقية تمثل شريطًا تراكب في هذه الفرضية، وليست جزءًا جديدًا من السطح المحاط. يجب فصل مساحة المادة المستعملة عن مساحة السطح الذي نحسبه مرة واحدة، حتى لا نخلط سؤالين لهما الأبعاد الأصلية نفسها.

هذا تمرين معلن عن تراكب محدد، ولا يدعي أن جميع المواد أو طرق الوصل تحتاج سنتيمترًا أو أي هامش ثابت. في مثالنا الرئيسي أهملنا هذه التفاصيل لتفسير الشبكة، وهنا أظهرنا كيف يؤثر شرط إضافي في محيطها. القياس الخارجي والداخلي وسمك مادة فعلية أمور قد تتطلب نموذجًا آخر؛ لا يستخرج الرسم هندسة تصنيع كاملة من مستطيل ودائرتين مثاليين.

غير الوحدة قبل مقارنة الأبعاد

لو كتبت الثلاثين سنتيمترًا في صورة ثلاثة أعشار المتر، والاثني عشر في صورة اثني عشر جزءًا من مئة متر، فمساحة الجانب ستة وثلاثون جزءًا من ألف متر مربع. إنها المساحة نفسها التي كتبناها ثلاثمئة وستين سنتيمترًا مربعًا. التحويل لا يغير الجسم أو اتجاه لفه، لكنه يغير الأعداد التي تمثل الأطوال والمساحة في وحدة أخرى.

ولا تضرب ثلاثة أعشار متر في اثني عشر سنتيمترًا ثم تكتب الجواب بالمتر المربع من دون تحويل أحد الطولين. إذا اخترت السنتيمتر فأعد جميع الأطوال إليه، وإذا اخترت المتر فافعل الشيء نفسه قبل حساب المحيط والمساحة. وتذكر أن معامل تحويل المساحة يختلف عن معامل تحويل الطول؛ لهذا نراجع الوحدة بعد عملية الضرب بدل نسخ وحدة أحد المدخلين إلى الناتج تلقائيًا.

في رسومي المقارنة نكتب الأطوال بالسنتيمتر ونميز نتائج المساحة والحجم بوحدتيهما في النص. لا نقرأ مقدارًا من حجم شكل على الشاشة أو طول سهمها بعد تصغير الصفحة. تمثيل البعدين بصريًا يساعد الفهم، بينما القياس العددي يأتي من العلامات والمعطيات المعلنة. إذا غاب اسم وحدة في نسخة تدريبية، أضفه قبل أن تقارن نصف قطر بارتفاع أو تجمع مساحتين.

المربع حالة يتفق فيها الاتجاهان

إذا بدّلنا المستطيل بمربع طول ضلعه عشرون سنتيمترًا، صار الاتجاهان يختاران طول لفة عشرين وارتفاعًا عشرين. نصف القطر في كليهما عشرة على باي، ومساحة الجانب أربعمئة سنتيمتر مربع. هذه حالة خاصة يتفق فيها دور الضلعين لأن الطولين متساويان أصلًا. لا تجعلها دليلًا أن كل مستطيل يعطي أسطوانتين متطابقتين عندما نبدل اتجاه اللف.

ويمكن مراجعة ذلك في مثال الثلاثين والاثني عشر من غير حساب كل المساحات: طول اللفة نفسه مختلف بين الصفين، فيختلف نصف القطر؛ والبعد الآخر مختلف، فيختلف الارتفاع. لذلك لا يكون الجسَمان متطابقين وفق هذه المعطيات. شرط تساوي الضلعين يحذف هذا الاختلاف في حالة المربع، بينما أي فرق بينهما يبقي دور الاتجاه ظاهرًا في الدائرة والارتفاع.

للتدريب ضع ثلاث بطاقات: مستطيلنا، ومربع العشرين، وشبكة تحدد دائرة قاعدة مسبقًا. في الأولى اكتب الاحتمالين؛ وفي الثانية اكتب سبب اتفاقهما؛ وفي الثالثة اختبر أي ضلع يطابق محيط الدائرة المعطاة. لا تفترض أن عدد الحلول واحد دائمًا أو اثنان دائمًا؛ المعلومات والقيود التي يحملها السؤال هي التي تتيح لك تثبيت اتجاه دون الآخر.

اقرأ الشبكة بوصفها مجموعة علاقات

قبل الحل، اسأل هل المستطيل يمثل الجانب وحده، وهل الدوائر مطلوبة للإغلاق أم مرسومة مرجعًا للقياس. ثم سمّ الحافتين المتصلتين وطول اللفة والارتفاع، واستخرج نصف القطر من المحيط. إذا كانت القاعدة محددة، اختبر تطابقها مع الضلع الذي اخترته. بهذه الخطوات تكون الأبعاد مرتبطة بالقطع، بدل أن تكون أعدادًا متفرقة وضعت تحت شكل يشبه الأسطوانة فقط.

وفي مثالنا الرئيسي احتفظنا بالجانب ثلاثمئة وستين في الاتجاهين، لكن نصف القطر والارتفاع ودائرتا الإغلاق والحيز المحاط اختلفت. لم نغير المستطيل كي نحصل على هذا الفرق؛ غيرنا وظيفة الضلعين في اللف. اكتب النتيجة بهذه الأسماء، ولا تختصرها إلى قول إن المساحة ثابتة بإطلاق، لأن المساحة المغلقة تشمل أجزاء لم يكن المستطيل وحده يحدد مساحتها قبل معرفة اتجاهه.

وأخيرًا أعد المحيط من نصف القطر، وأعد مساحة الجانب من المحيط والارتفاع، ثم راجع وحدات النتيجة وشروط التراكب والسماكة إن ذكرت. لا تحتاج مراجعتك إلى قص ورقة أو اختبار عبوة حتى تثبت هذه العلاقات الحسابية. المطلوب أن تكون شبكة الأسطوانة مقروءة من حوافها وأبعادها، وأن تبقى كل نتيجة مرتبطة بالشكل والسطح والاختيار الذي حسبته فعلًا.