طرفا المانومتر التفاضلي: فرق المنسوب والضغط المرجعي

سائل واحد وطرفان تحت ضغطين

استنتاج فرق الضغط من مانومتر تفاضلي ذي طرفين يبدأ بتسمية الطرفين وقراءة مناسيب سائل واحد. نؤلف أنبوبًا على شكل حرف يو، متصلًا بضغطين لا نعرف قيمتيهما المطلقتين. فوق مستوى مقارنة مشترك يكون ارتفاع السائل في الفرع الأيسر ثمانية عشر سنتيمترًا، وفي الأيمن ثلاثين. نختار كثافة ألف ومئتي كيلوغرام لكل متر مكعب وتسارع جاذبية عشرة أمتار لكل ثانية مربعة. سنستخرج فرق الضغط، ثم نعرض ثلاث مجموعات للضغطين تتفق مع فرق المنسوب نفسه. وبعد إضافة مرجع معلوم نستطيع حساب قيمة مطلقة محددة. الرسم والأرقام حسابية من إعدادنا؛ لا تمثل قراءة جهاز أو معايرة أو تجربة على مصدرَي ضغط.

نختار سائلًا واحدًا متصلًا، ساكنًا وبكثافة ثابتة في المثال. كل فرع يتصل بضغط عند سطح السائل فيه؛ نسمي الضغط الأيسر والضغط الأيمن، ولا نفترض أن الطرفين مفتوحان للجو. نهمل أثر وزن الغاز في الوصلتين والشعرية، ونثبت قيمة الجاذبية. هذه شروط النموذج الحسابي الذي سنستعمله، وليست وصفًا لكل مانومتر فعلي أو تحديدًا لمادة تجارية اسمها يثبت الكثافة.

نقيس الارتفاعين رأسيًا من مستوى مشترك موجود داخل السائل أسفل السطحين. الأيسر ثمانية عشر سنتيمترًا فوقه، والأيمن ثلاثون؛ ولذلك السطح الأيمن أعلى باثني عشر سنتيمترًا. لا تمثل الأرقام طول أنبوب ملتف أو طول مسار من فتحة إلى قاع. لو غيرنا عرض الرسم مع إبقاء هذه المناسيب والمعطيات، لا يتغير فرق الارتفاع العددي الذي يدخل معادلة الضغط.

ونميز سطح السائل عن نقطة المقارنة الواقعة تحته. ضغط السطح يأتي من الطرف المتصل به، بينما ضغط النقطة السفلى يزيد بسبب العمود فوقها. لذلك لا ننظر إلى السطح الأيمن الأعلى ونعلن أن ضغط مصدره أكبر لمجرد أن العمود أطول. علينا أن نضيف وزن عمود كل جانب إلى ضغط سطحه، ثم نقارن النقطتين اللتين تقعان عند المستوى نفسه في السائل الواحد.

قارن الضغط عند مستوى واحد

في سائل ساكن متصل وثابت الكثافة، يزداد الضغط عند النزول بمقدار الكثافة في الجاذبية في المسافة الرأسية. لذا يتساوى الضغط عند المستوى نفسه. [1]

نسمي نقطة أسفل الفرع الأيسر ونقطة أخرى في الفرع الأيمن عند مستوى المقارنة. في الجانب الأول نكتب ضغط اليسار زائد الكثافة في الجاذبية في ارتفاع الثمانية عشر سنتيمترًا. وفي الآخر نكتب ضغط اليمين زائد حاصل الضرب الموافق لارتفاع الثلاثين. لأن نقطتي المقارنة في السائل المتصل نفسه وعند المستوى نفسه، نساوي هذين التعبيرين بدل مساواة ضغطَي السطحين مباشرة.

يحفظ هذا الترتيب اسم كل ضغط مع عموده. إذا كتبنا حاصل ارتفاع الأيمن مع ضغط اليسار من غير توضيح، تغيرت المعادلة وقد تنقلب إشارة الجواب. نضع على الرسم حرفًا لكل طرف ومستوى المقارنة قبل ترتيب الحدود. كما نذكر أن السائل هنا واحد؛ لو كانت طبقات مختلفة الكثافة لوجب كتابة وزن كل طبقة ضمن مسارها، وهي حالة أخرى لم نعط معطياتها في هذه الورقة.

p_L + ρg h_L = p_R + ρg h_R; h_L = 0.18 m, h_R = 0.30 m

احسب الفرق وافحص جهته

حاصل الكثافة ألف ومئتين في الجاذبية عشرة يساوي اثني عشر ألفًا قبل ضربه في ارتفاع بالمتر. للعمود الأيسر يصبح ألفين ومئة وستين باسكال، وللأيمن ثلاثة آلاف وستمئة. معادلة المستوى المشترك هي ضغط اليسار زائد ألفين ومئة وستين يساوي ضغط اليمين زائد ثلاثة آلاف وستمئة. بطرح الحدين نكتب ضغط اليسار ناقص ضغط اليمين يساوي ألفًا وأربعمئة وأربعين باسكال.

ونصل إلى العدد نفسه من فرق الارتفاع مباشرة: ثلاثون ناقص ثمانية عشر سنتيمترًا يعطي اثني عشر سنتيمترًا، أي اثني عشر جزءًا من مئة متر. ضرب هذا المقدار في اثني عشر ألفًا يعطي ألفًا وأربعمئة وأربعين. هذه مراجعة بطريقتين للمعطيات نفسها، لا قياسان مستقلان نفذناهما. جمع الارتفاعين بدل طرحهما سيحسب كمية لا تمثل الفرق الذي يوازن ضغطَي الطرفين في المعادلة التي كتبناها.

الإشارة الموجبة هنا تخص ضغط اليسار ناقص ضغط اليمين. تتفق مع انخفاض سطح السائل على الجانب الأعلى ضغطًا في النموذج المحدد، وارتفاعه على الجانب الأقل. وإذا كتبنا ضغط اليمين ناقص ضغط اليسار، تكون النتيجة سالبة ألف وأربعمئة وأربعين. تغيير ترتيب الطرفين يغير الإشارة، ولا يغير الصورة أو مقدار الفرق. نذكر الترتيب في الجواب كي لا يوصف رقم موجب بأنه قراءة الطرف الأيمن دون مرجع.

p_L−p_R = 1200×10×(0.30−0.18) = 1440 Pa = 1.44 kPa

فرق معلوم وقيمتان لم تتحددا بعد

المعادلة الأخيرة تربط مجهولين بعلاقة واحدة: ضغط اليسار يساوي ضغط اليمين زائد كيلوباسكال وأربعة وأربعين جزءًا من مئة. لم يعط السؤال قيمة أحد الضغطين المطلقة. لذلك لا يجوز أن نكتب ضغط اليسار كيلوباسكالًا وأربعة وأربعين جزءًا من مئة وننسى أن القيمة تستعمل فرقًا عن ضغط اليمين. لو كان ضغط اليمين غير صفري، فهذه الكتابة ستحذف حدًا يحتاجه الجواب المطلق.

ويمكن إظهار النقص بإضافة المقدار نفسه إلى ضغطَي الطرفين في زوج حسابي صالح. يبقى طرح أحدهما من الآخر ثابتًا، وتظل معادلة المستوى المشترك متزنة لأن الإضافة نفسها ظهرت في الطرفين. هنا نعرض حالات افتراضية متوافقة مع المعطيات؛ لا نزعم أن ضغطين في جهاز مغلق محدد يمكن أن يتغيرا دون تغير شروطه الأخرى. لم نعط كتلة غاز أو حرارة أو نظامًا زمنيًا لذلك الجهاز.

هذه عائلة حلول مقيدة بالفرق، وليست نتيجة أن المانومتر لا يفيد. لقد حددنا بالفعل أي الطرفين أعلى ضغطًا وبأي مقدار في النموذج. المعلومة الناقصة تخص المستوى المطلق المشترك بينهما، ويمكن أن تأتي من ضغط مرجعي معلوم لطرف واحد. افصل في جدول النتائج خانة فرق الضغط عن خانتي الضغطين المطلقين، حتى يبقى ما أثبته الارتفاع واضحًا وما يحتاج إلى معطى إضافي معلنًا.

p_R = x; p_L = x + 1.44 kPa

ثلاثة أزواج توافق فرق المنسوب نفسه

نختار الزوج الأول بضغط أيمن مئة كيلوباسكال وأيسر مئة وواحد وأربعة وأربعين جزءًا من مئة. عند مستوى المقارنة يعطي الأيسر مئة وثلاثة وستة أعشار كيلوباسكال بعد إضافة عموده، ويعطي الأيمن القيمة نفسها بعد إضافة ثلاثة وستة أعشار. هذه مطابقة مباشرة لمعادلة التوازن، وتثبت أن الزوج يوافق المناسيب المحددة؛ لم نستخرجه وحده من الصورة من غير اختيار المئة معطى جديدًا.

نضيف أربعين كيلوباسكال إلى الطرفين فنختار أيمن مئة وأربعين وأيسر مئة وواحد وأربعين وأربعة وأربعين جزءًا من مئة. صار ضغط مستوى المقارنة مئة وثلاثة وأربعين وستة أعشار، وظل الفرق بين الطرفين كيلوباسكالًا وأربعة وأربعين جزءًا من مئة. تغيرت القيم المطلقة المقترحة وبقي شرط التوازن العددي نفسه. ولهذا لا يكفي فرق المنسوب كي نختار بين الزوج الأول والثاني.

وفي الزوج الثالث نختار أيمن خمسة وتسعين كيلوباسكال وأيسر ستة وتسعين وأربعة وأربعين جزءًا من مئة. يعطينا جانبا مستوى المقارنة ثمانية وتسعين وستة أعشار. الضغطان المطلقان هنا موجبان أيضًا، ويتفقان مع الفرق نفسه. عرض الأزواج الثلاثة يكشف وجود أكثر من حل متوافق بالفعل، بدل الاكتفاء بقول إننا لا نعرف الضغطين. سنستخدم هذا الزوج الأخير لمراجعة معنى القراءة النسبية السالبة بالنسبة إلى مرجع خارجي.

(p_R, p_L) in kPa: (100,101.44), (140,141.44), (95,96.44)

أضف قيمة مرجعية مع اسم طرفها

إذا ورد في المعطيات أن الضغط المطلق للطرف الأيمن مئة كيلوباسكال، نضيف إليه الفرق المحسوب فيصير الأيسر مئة وواحد وأربعة وأربعين جزءًا من مئة. هذا جواب كامل للحالة التي أضيف لها المرجع، ويستعيد الزوج الأول من جدولنا. لا نعوض بالضغط الجوي تلقائيًا، لأن الطرف الأيمن في الرسم متصل بمصدر ضغط وليس معطى مفتوحًا إلى الجو في هذه المقارنة.

وإذا كانت المئة معطاة للطرف الأيسر بدل الأيمن، نطرح منها كيلوباسكالًا وأربعة وأربعين جزءًا من مئة فنجد الأيمن ثمانية وتسعين وستة وخمسين جزءًا من مئة. ما زالت الجهة الأعلى هي اليسار وما زال الفرق نفسه، لكن الزوج المطلق مختلف عن الذي نتج من تثبيت الأيمن عند المئة. تسمية الطرف المرجعي ليست تفصيلًا شكليًا؛ هي جزء من البيانات التي تحدد أي قيمة نضيف إليها أو نطرح منها.

أما عندما يكون أحد الطرفين مفتوحًا فعلًا للجو ويعطى ضغط الجو أو يعرف المرجع النسبي المناسب، فهذا شرط إضافي يغير كمية المعلومات المتاحة. نكتبه صراحة قبل الحساب بدل استنتاجه من شكل أنبوب يو وحده. قد تتشابه صور الأنابيب، وتختلف شروط الضغط على سطوح سائلها. لهذا نراجع أسماء الوصلتين ومرجع الضغط كما نراجع الارتفاعين، حتى لا ننقل جواب جهاز بطرف مفتوح إلى جهاز ذي مصدرين مجهولين.

فرق موجب مع ضغطين نسبيين سالبين

نطرح الضغط الجوي من الضغط المطلق للحصول على فرق الضغط بالنسبة إلى الجو. يكون الفرق سالبًا عندما يقل الضغط المطلق عن المرجع الجوي. [2]

نفرض مرجعًا جويًا حسابيًا مقداره مئة كيلوباسكال، ونأخذ الزوج الثالث من جدولنا. ضغط اليمين النسبي خمسة وتسعون ناقص مئة، أي سالب خمسة كيلوباسكال. ضغط اليسار النسبي ستة وتسعون وأربعة وأربعون جزءًا من مئة ناقص مئة، أي سالب ثلاثة وستة وخمسين جزءًا من مئة. الفرق بين اليسار واليمين موجب كيلوباسكال وأربعة وأربعين جزءًا من مئة، رغم أن القيمتين النسبيتين كلتيهما سالبتان.

الإشارة الموجبة للفرق تعني أن اليسار أعلى ضغطًا من اليمين، ولا تعني وحدها أن أحدهما أو كليهما أعلى من الضغط الجوي الذي اخترناه. وإذا غيرنا المرجع الخارجي إلى مئة وواحد، تصبح القيمتان النسبيتان سالب ستة وسالب أربعة وستة وخمسين جزءًا من مئة، ويظل الفرق واحدًا وأربعة وأربعين جزءًا من مئة. نحن نعيد التعبير عن الضغطين بالنسبة إلى مرجع آخر، ولا نحول هذا الطرح إلى ضغط مطلق سالب.

p_atm = 100 kPa: p_R,g = −5 kPa, p_L,g = −3.56 kPa; p_L,g−p_R,g = +1.44 kPa

انقل مستوى المقارنة داخل السائل

نخفض مستوى المقارنة على الورقة خمسة سنتيمترات داخل السائل، مع بقاء سطحيه ومدخلَي الضغط كما هما في الحالة الأولى. تصبح المسافة من السطح الأيسر إلى المستوى الجديد ثلاثة وعشرين سنتيمترًا، ومن الأيمن خمسة وثلاثين. ظل الفرق اثني عشر سنتيمترًا. هذا نقل لمستوى حساب الضغط في السائل الموجود، وليس تغييرًا فعليًا لمناسيب السطحين أو طلبًا لتحريك جهاز.

كل نقطة عند المستوى الجديد زاد عمقها خمسة أجزاء من مئة متر، فيزيد ضغطها ألف ومئتين في عشرة في هذا المقدار، أي ستمئة باسكال. في الزوج الأول كان ضغط المقارنة مئة وثلاثة وستة أعشار كيلوباسكال، ويصبح مئة وأربعة وجزأين من عشرة. حسابه من اليسار مئة وواحد وأربعة وأربعون جزءًا من مئة زائد اثنين وستة وسبعين جزءًا من مئة، ومن اليمين مئة زائد أربعة وجزأين من عشرة، يعطي هذه القيمة نفسها.

لم نضف الستمئة إلى ضغطَي المصدرين عند السطحين؛ هما لم يتغيرا في المثال. الإضافة تخص نقطتي المقارنة الأعمق. وعند طرح معادلتي الجانبين تبقى زيادة العمق مشتركة فتختصر، ويعود فرق ضغطَي المدخلين كيلوباسكالًا وأربعة وأربعين جزءًا من مئة. بذلك يستطيع القارئ مراجعة أن اختيار مستوى آخر داخل السائل لا يغير النتيجة التي تخص الفرق بين الطرفين، وإن تغير ضغط نقطة المقارنة نفسه.

h′_L=0.23 m; h′_R=0.35 m; Δp_level=1200×10×0.05=600 Pa; p′_level=104.2 kPa

وحّد الارتفاعات والوحدات قبل التعويض

الثمانية عشر والثلاثون في بداية الورقة بالسنتيمتر. عند استعمال كثافة بالكيلوغرام لكل متر مكعب وجاذبية بالمتر لكل ثانية مربعة نحولهما إلى ثمانية عشر جزءًا من مئة متر وثلاثة أعشار المتر. الفرق اثنا عشر جزءًا من مئة متر؛ وإذا كتبناه بالمليمتر يكون مئة وعشرين مليمترًا. لا نضع العدد اثني عشر في مكان مقدار بالمتر ثم نحتفظ بوحدة الباسكال في الجواب، لأننا بذلك نكبر فرق الضغط مئة مرة.

وحاصل الكثافة في الجاذبية في الارتفاع يعطي وحدة باسكال في هذا الحساب. لتحويل ألف وأربعمئة وأربعين باسكال إلى كيلوباسكال نقسم على ألف، فنحصل على الواحد والأربعة والأربعين جزءًا من مئة. وعند جمع ضغط مرجعي مكتوب بالكيلوباسكال مع مقدار العمود المكتوب بالباسكال، نوحد الوحدتين أولًا. الأرقام الصغيرة في الجدول ليست دليلًا على أن الضغطين المطلقين صغيران؛ إنها قد تصف الفرق وحده أو قراءة نسبية إلى مرجع كبير.

نميز كذلك الكثافة المفترضة للسائل من كثافة الغاز في مصدرَي الضغط. الرقم ألف ومئتان اخترناه لسائل المانومتر الواحد في النموذج، ولم نستعمله لحساب وزن غاز في الوصلة. إهمال أثر ذلك الوزن جزء من شروطنا، وليس مساواة بين المادتين. إذا أعطت مسألة أخرى تأثيرًا غير مهمل لارتفاع وصلات الغاز أو طبقات مختلفة، فلا يمكن إعادة حسابها بتبديل رقم واحد في صيغة هذه الورقة دون كتابة الأعمدة التي أضيفت فعلًا.

اقرأ خط الأزواج المقبولة في الرسم

يعرض الرسم الثاني الضغط الأيمن على المحور الأفقي والأيسر على الرأسي. الأزواج الثلاثة تقع على خط يكون فيه الأيسر أكبر من الأيمن بالفرق الثابت واحدًا وأربعة وأربعين جزءًا من مئة كيلوباسكال. الخط لا يقول إننا قسنا حالات متعاقبة بجهاز، بل يرسم أزواجًا افتراضية تتفق مع المعطيات. ظهور أكثر من نقطة صالحة هو ما يوضح لماذا نحتاج إلى مرجع إضافي لتثبيت نقطة بعينها.

وفي لوحة أخرى نحول الإحداثيين إلى ضغطين نسبيين بالنسبة إلى مرجع المئة كيلوباسكال. يتغير موضع كل نقطة العددية، وتبقى الزيادة بين إحداثي اليسار وإحداثي اليمين نفسها. الزوج الثالث يقع في مجال قيمتين نسبيتين سالبتين؛ لا يمنع ذلك أن يكون اليسار أعلى من اليمين. الأرقام على المحاور وتعليق اللوحة يحددان المرجع، فلا نستعمل صورة النقطة في لوحة نسبية دليلًا على سالب في الضغط المطلق.

الخط المتقطع الذي يمثل تساوي الضغطين مرجع للمقارنة في اللوحتين، وليس حلًا لفرق المنسوب غير الصفري الذي أعطيناه. لو تساوى الضغطان في هذا النموذج، لزالت الحاجة إلى فرق الارتفاع بين سطحي السائل الواحد. لذلك يميز الرسم خط البيانات الثابتة عن خط المقارنة. اقرأ لون الخط وتسميته مع قيمة الفرق، بدل أن تجمع كل ما ظهر في الرسم ضمن مجموعة الحلول التي أثبتها المثال.

بطاقة نتيجة تفصل القياس عن المرجع

ابدأ البطاقة بنوع السائل وشروط السكون، ثم بتعريف طرفي الضغط ومستوى الارتفاعين. اكتب أي فرق أخذته: اليسار ناقص اليمين أو العكس. بعد حساب الكثافة والجاذبية وفرق المنسوب، ضع النتيجة في خانة فرق الضغط مع وحدتها. إذا لم تعط قيمة مرجعية لأحد الطرفين، احتفظ بالعلاقة بينهما وبالعائلة الممكنة بدل اختيار ضغط الجو من نفسك أو تسمية الفرق ضغطًا مطلقًا.

وإذا أعطيت المعلومة المرجعية، فاكتب هل هي ضغط مطلق لطرف محدد أم ضغط نسبي إلى الجو مع قيمة المرجع اللازمة للتحويل. ثم راجع معادلة المستوى المشترك من الجانبين. في مثالنا أعادت الأزواج الثلاثة قيمًا مشتركة متساوية تحت السطحين، وأعاد نقل المستوى خمسة سنتيمترات زيادة مشتركة ستمئة باسكال. هذه مراجعات لأرقام مؤلفة، ولا تمثل شهادة معايرة لجهاز أو قياسات ضغط مصدرين فعليين.

بهذا التنظيم يعطي فرق المنسوب ما تسمح به معطياته: فرقًا موقعًا بين طرفين، ثم ضغطًا مطلقًا عندما يضاف المرجع اللازم. لا تضيع العلاقة التي أثبتها السائل، ولا نضيف إليها معلومة لم تعط. والزوج ذو الضغطين النسبيين السالبين يذكرنا بأن أعلى من الطرف الآخر عبارة تختلف عن أعلى من الجو؛ لكل مقارنة مرجعها الذي يحتاج أن يبقى مكتوبًا بجوار الرقم.