حلقة واحدة وثلاث معادلات: المسار ومرجع التيار في كيرشوف

ارسم الدائرة وحدد ما بقي ثابتًا

تغيير مسار الحلقة ومرجع التيار في معادلة كيرشوف عمليتان مختلفتان، ولو ظهرت الإشارات السالبة في الحالتين. نؤلف حلقة مستطيلة فيها مصدر مثالي تسعة فولت ومقاومتان قيمتاهما أربعة وثمانية أوم. نختار أولًا مرجع التيار مع عقارب الساعة، ثم نمر في الحلقة مرة معه ومرة عكسه. وبعد ذلك نثبت مسار المرور ونقلب مرجع التيار وحده. سنجد ثلاثة أرباع أمبير مع المرجع الأول، وسالب ثلاثة أرباع مع المرجع المعاكس، من دون تغيير الدائرة. ونراجع الجهود عند نقاطها والقدرة في عناصرها كي لا يبقى التعليل مجرد تلاعب بعلامات. الرسم والأرقام من إعدادنا، وليسا تجربة على دائرة أو مواصفات منتج.

نضع مقاومة الأربعة أوم على ضلع الحلقة العلوي، والثمانية أوم على الضلع الأيسر. المصدر على الضلع السفلي، وطرفه الموجب إلى اليسار والسالب إلى اليمين. الأسلاك مثالية، ولا توجد فروع أو مقاومة داخلية للمصدر في نموذج التيار المستمر الذي اخترناه. نثبت هذه العناصر والقطبية في المقارنات الثلاث، فلا تتحول إحدى المعادلات إلى وصف لدائرة أخرى من غير إعلان.

المرور مع عقارب الساعة يعني هنا التحرك على الضلع العلوي من اليسار إلى اليمين، ثم النزول يمينًا، ثم عبور الضلع السفلي من اليمين إلى اليسار، ثم الصعود على اليسار. عند المصدر يتجه هذا المرور من الطرف السالب إلى الموجب. هذه القراءة الهندسية أهم من كتابة كلمة مع الساعة وحدها؛ فموقع المصدر وقطبيته في الرسم هما ما يحدد إشارة تغير الجهد عند عبوره.

نختار للتيار رمزًا ومرجعًا مع الساعة في البداية، ونفصل هذا السهم عن مسار المرور الحسابي. يمكن أن يشيرا إلى الجهة نفسها أو جهتين مختلفتين. المرجع يحدد كيف نفسر قيمة التيار بعد الحل، والمرور يحدد ترتيب عبور العناصر في جمع الجهد. لا نغير سهم التيار في الرسم ثم نحتفظ بمعادلة مشتقة للمرجع القديم من غير إعادة قراءة إشارات المقاومتين.

علامة المصدر وعلامة المقاومة لهما سؤالان

نختار مرجع التيار ومسار الحساب مستقلين. عبور المصدر من السالب إلى الموجب يرفع الجهد، والعبور مع التيار عبر المقاومة يخفضه؛ ومجموع التغيرات حول الحلقة صفر. [1]

في مصدرنا يضيف المرور السفلي من اليمين إلى اليسار تسعة فولت، لأن اليمين سالب واليسار موجب في الرسم. لو بدأنا من اليسار واتجهنا إلى اليمين عبر المصدر نفسه، لكتبنا سالب تسعة. لا نحتاج في هذا القرار إلى إعلان أن السهم المختار للتيار موجب أو سالب؛ الطرفان اللذان نمر بينهما يكفيان لتحديد تغير جهد المصدر المثالي الذي ثبتنا قطبيته.

أما مقاومة الأربعة فتحتاج مقارنة اتجاه المرور بمرجع التيار الذي يدخل معادلته. في الاختيار الأول كلاهما من اليسار إلى اليمين على الضلع العلوي، فيظهر سالب أربعة في التيار. وعلى المقاومة اليسرى كلاهما إلى الأعلى، فيظهر سالب ثمانية في التيار. سنحافظ على هذا القرار متسقًا إذا جاءت قيمة الرمز سالبة لاحقًا؛ لا نستبدل مقدارًا موجبًا بالقيمة الموقعة ثم ننسى المرجع الذي بنيت له المعادلة.

الاختيار الأول: مرجع ومرور مع الساعة

نبدأ قبل المصدر عند طرفه الأيمن، ونمر مع الساعة. نعبر المصدر إلى طرفه الأيسر فنضيف تسعة، ثم نصعد عبر مقاومة الثمانية فنطرح ثمانية في التيار، ثم نعبر مقاومة الأربعة أعلى الحلقة فنطرح أربعة في التيار، ونعود عبر السلك الأيمن إلى نقطة البداية. الأسلاك لا تضيف تغيرًا في هذا النموذج. جمع الحدود تسعة ناقص ثمانية في التيار ناقص أربعة في التيار يساوي صفرًا.

يمكن ترتيب حدّي المقاومتين بحسب اسميهما بدل ترتيب العبور، فنكتب تسعة ناقص أربعة في التيار ناقص ثمانية في التيار تساوي صفرًا. جمع الحدين يعطي تسعة ناقص اثني عشر في التيار. إذن التيار تسعة على اثني عشر، أي ثلاثة على أربعة أمبير. القيمة موجبة بالنسبة إلى سهمنا الأول، لذلك يكون التيار المستنتج مع عقارب الساعة في هذه الدائرة المؤلفة، وبمقدار ثلاثة أرباع أمبير.

نراجع التعويض: ثلاثة أرباع في الأربعة يعطي ثلاثة فولت، وثلاثة أرباع في الثمانية يعطي ستة فولت. ارتفاع المصدر تسعة يعادل مجموع الهبوطين ثلاثة وستة. لا تعني مساواة الجمع للصفر أن المصدر بلا جهد أو أن التيار صفر؛ هي تساوي الارتفاع والانخفاض بعد دورة كاملة. المقادير غير الصفرية موجودة في الجدول، وإشارات المرور هي التي جعلت مجموعها الجبري صفرًا.

9 − 8I − 4I = 0 ⇔ 9 − 12I = 0; I = 9/12 = 0.75 A

الاختيار الثاني: عكس المرور فقط

نثبت سهم التيار مع الساعة، ونبدأ من النقطة نفسها ثم نعكس اتجاه المرور. نصعد السلك الأيمن أولًا، ونعبر المقاومة العلوية من اليمين إلى اليسار، خلاف مرجع التيار، فنضيف أربعة في التيار. ثم نعبر المقاومة اليسرى من الأعلى إلى الأسفل، فنضيف ثمانية في التيار. ونعود عبر المصدر من الموجب يسارًا إلى السالب يمينًا، فنطرح تسعة فولت قبل العودة إلى البداية.

المعادلة أربعة في التيار زائد ثمانية فيه ناقص تسعة تساوي صفرًا. بإعادة ترتيب الحدود نكتب سالب تسعة زائد ثمانية في التيار زائد أربعة في التيار تساوي صفرًا، فنحصل على اثني عشر في التيار يساوي تسعة. بقي الرمز مرتبطًا بالمرجع الأول، لذلك بقيت قيمته موجبة ثلاثة أرباع أمبير. عكس المسار الحسابي لم يحول سهم المرجع مع الساعة إلى سهم معاكس.

يمكن رؤية النتيجة دون حل طويل: المعادلة الجديدة هي سالب المعادلة الأولى، أي إننا ضربنا طرفيها في سالب واحد بعد ترتيب الحدود. الضرب لا يغير مجموعة الحلول، لأن الطرف الآخر صفر في الحالتين. إذا وجدنا موجب ثلاثة أرباع في الأولى وسالبها في الثانية مع الادعاء أننا أبقينا مرجع الرمز نفسه، فعلينا مراجعة إشارات العناصر أو ما الذي تغير في تسمية التيار أثناء النقل.

−9 + 8I + 4I = 0 ⇔ 12I = 9; I = +0.75 A

الاختيار الثالث: عكس مرجع التيار وحده

نرجع إلى مرور مع الساعة، لكننا نسمي التيار برمز جديد مرجعه عكس الساعة. هذا الرمز ليس تيارًا إضافيًا في الفرع نفسه؛ هو وصف بموجب اتجاه اختياري جديد. عند عبور كل مقاومة مع الساعة نكون خلاف المرجع الجديد، ولذلك يظهر حد موجب أربعة في الرمز الجديد وموجب ثمانية فيه. أما عبور المصدر من السالب إلى الموجب فيبقى ارتفاعًا موجب تسعة، لأننا لم نغير قطبيته أو مسار عبوره.

نكتب تسعة زائد أربعة في الرمز الجديد زائد ثمانية فيه تساوي صفرًا. ينتج اثنا عشر في الرمز الجديد يساوي سالب تسعة، فتكون قيمته سالب ثلاثة أرباع أمبير. هذا السالب يقول إن الاتجاه الفعلي معاكس لمرجع الرمز الجديد، أي إنه مع الساعة كما وجدناه أولًا. احتفظنا بالدائرة وحصلنا على وصفين متسقين للتيار نفسه؛ موجب ثلاثة أرباع مع مرجع مع الساعة، وسالبها مع المرجع العكسي.

وللتحقق الجبري نستبدل الرمز الجديد بسالب الرمز القديم في المعادلة الثالثة؛ تعود إلى تسعة ناقص أربعة في القديم ناقص ثمانية فيه تساوي صفرًا. إعادة التسمية مع تغيير الإشارة هي ما يربط التعبيرين. لا نحذف السالب ونعلن أن التيار ثلاثة أرباع عكس الساعة، لأن ذلك يغير الاتجاه الفعلي الذي كشفه الحل. مقدار التيار وحده لا يكفي حين يريد السؤال وصفه بالنسبة إلى سهم محدد.

9 + 4J + 8J = 0; J = −0.75 A; J = −I

أعد حساب تغيرات الجهد بالقيمة الموقعة

عند استعمال الرمز المعاكس ذي القيمة سالب ثلاثة أرباع، يعطي حد موجب أربعة في هذا الرمز سالب ثلاثة فولت، ويعطي موجب ثمانية فيه سالب ستة فولت. إذن في المرور مع الساعة يعود الجمع إلى تسعة ناقص ثلاثة ناقص ستة يساوي صفرًا. كون المعامل أمام الرمز موجبًا في المعادلة لم يجعل تغير الجهد النهائي عبر المقاومة ارتفاعًا موجبًا؛ قيمة الرمز الموقعة تكمل تفسير الحد.

الخلط يحدث إذا كتبنا معادلة الرمز الجديد بحدين موجبين، ثم عوضنا فيهما بالمقدار ثلاثة أرباع دون السالب. سيصير الجمع تسعة زائد ثلاثة زائد ستة، أي ثمانية عشر فولت بدل صفر. ليست المشكلة في قانون الحلقة؛ لقد استبدلنا كمية موجبة غير مطابقة للمرجع بالحل السالب الذي استخرجناه. يمكن استعمال المقادير المطلقة بعد تفسير الاتجاهات، لكن يجب عندئذ إعادة وصف المرور مقابل الاتجاه الفعلي بدل الاحتفاظ بإشارات مرجع آخر.

وفي المرور العكسي مع المرجع الأول تكون تغيرات المقاومتين موجبة ثلاثة وموجبة ستة، وتغير المصدر سالب تسعة. مجموعها صفر أيضًا. اختلاف علامة تغير الجهد بين المرورين لا يغير أي عنصر أو قدرة تبديده في هذا المثال. هو مقارنة نقطتي الدخول والخروج بالترتيب الذي اخترناه، ولذلك لا نسمي المقاومة مصدرًا للطاقة لمجرد أن المرور من طرف أقل جهدًا إلى أعلى أعطى ارتفاعًا في السجل.

4J = −3 V; 8J = −6 V; 9 + 4J + 8J = 9−3−6 = 0 V

اختر نقطة صفر ثم أغلق جدول الجهود

نختار جهد النقطة الواقعة على يمين المصدر صفرًا كمرجع للجهد. بعد عبور المصدر مع الساعة يصبح جهد الطرف الأيسر تسعة فولت. ثم نصعد عبر مقاومة الثمانية ونهبط ستة فولت، فيصل جهد الركن العلوي الأيسر إلى ثلاثة. وعبور مقاومة الأربعة من اليسار إلى اليمين ينقص ثلاثة، فنعود إلى صفر في الركن العلوي الأيمن، ويحفظ السلك المثالي هذه القيمة حتى يمين المصدر.

تغلق السلسلة صفر ثم تسعة ثم ثلاثة ثم صفر، فتوافق جمع تغيرات الجهد على المسار نفسه. اختيار الصفر لم يزعم أن الجهد الوحيد في الدائرة صفر؛ هو مرجع نقيس الفروق بالنسبة إليه. لو أضفنا خمسة فولت إلى جميع قيم النقاط، لصارت خمسة ثم أربعة عشر ثم ثمانية ثم خمسة. الفروق تسعة وسالب ستة وسالب ثلاثة تبقى، ولذلك لا يتغير تيار الحلقة المحسوب من هذه الفروق.

يمكن استخدام الجدول لمراجعة القطبية على المقاومة: طرفها الأعلى جهدًا هو الذي يدخله التيار الفعلي في النموذج المقاومي هنا. على العلوية يدخل من طرف ثلاثة فولت ويخرج عند صفر، وعلى اليسرى يدخل من أسفل عند تسعة ويخرج أعلى عند ثلاثة. إذا تبادلت قيم الركنين أو عكست قطبية المصدر في الرسم من غير تعديل السجل، فسوف تكشف الفروق المتتابعة ذلك قبل مراجعة باقي العمليات الحسابية.

V_nodes(CW): 0 → 9 → 3 → 0 V; shifted reference: 5 → 14 → 8 → 5 V

راجع القدرة دون خلطها بإشارة المرور

قدرة المقاومة تساوي مربع التيار مضروبًا في مقاومتها. نحسبها بالوات، وهو جول لكل ثانية. [1]

مربع ثلاثة أرباع هو تسعة على ستة عشر. مقاومة الأربعة تبدد تسعة على أربعة وات، أي اثنين وربعًا، ومقاومة الثمانية تبدد تسعة على اثنين وات، أي أربعة ونصفًا. المجموع سبعة وعشرون على أربعة وات، أي ستة وثلاثة أرباع. والمصدر في الحالة المؤلفة يمد القدرة تسعة في ثلاثة أرباع، وهي سبعة وعشرون على أربعة أيضًا. اتفقت القيم بعد حسابها من العناصر والتيار الفعلي.

الرمز ذو المرجع المعاكس يعطي مربع التيار نفسه، لأن تربيع سالب ثلاثة أرباع يساوي تربيع موجبها. لا نستنتج من الإشارة السالبة لرمز التيار قدرة مقاومة سالبة. وكذلك لا يبدل عكس المرور وحده قدرتي المقاومتين؛ نحن لم نبدل قيمتهما أو مقدار التيار. هذه مراجعة إضافية للحل في النموذج المحدد، وليست قياس حرارة أو دليلًا على مواصفات مقاومة حقيقية في تشغيل لم ننفذه.

P₁ = I²×4 = 2.25 W; P₂ = I²×8 = 4.5 W; P_source = 9×0.75 = 6.75 W

تغيير المرجع ليس قلب قطبية المصدر

عندما قلبنا مرجع التيار إلى عكس الساعة، بقي الطرف الموجب للمصدر يسارًا والسالب يمينًا، وبقيت مقاومة الأربعة أعلى والثمانية يسارًا. أما قلب قطبية المصدر في الرسم فهو معطى فيزيائي مختلف في النموذج. إذا جعلنا الموجب يمينًا مع الإبقاء على مرور مع الساعة ومرجع التيار الأول، فسنعبر المصدر من الموجب إلى السالب ونكتب سالب تسعة بدل موجبها؛ هنا تغيرت الدائرة التي تصفها المعادلة.

وفي تلك الحالة المعدلة تنتج سالب تسعة ناقص اثني عشر في التيار القديم تساوي صفرًا، فتصير قيمته سالب ثلاثة أرباع بالنسبة إلى مرجع مع الساعة. يشير الحل إلى تيار فعلي عكس الساعة في الدائرة ذات القطبية المعدلة، بخلاف السالب الذي ظهر سابقًا لأنه أعيد تعريف الرمز فقط. تشابه الرقم لا يجعل العمليتين واحدة؛ نقرأ ما بقي ثابتًا في الرسم وما الذي غيرناه قبل المقارنة.

لا نعرض هذا التغيير بوصفه خطوة لتجربة تبديل أطراف مصدر فعلي. هو اختبار على ورقة لتوضيح الفرق بين تغيير الاصطلاح وتغيير معطى الدائرة. الرسم الرئيسي والجدول ذوا المعادلات الثلاث يحتفظان بالقطبية الأصلية وحدها. إذا أضفت مقارنة لدائرة أخرى في حل أطول، ضع لها اسمًا ورسمًا أو وصفًا واضحًا كي لا تدخل حدًا من قطبيتها في معادلة الدائرة الأولى.

لماذا لا تعد المعادلات الثلاث ثلاث معلومات مستقلة؟

المعادلة الثانية هي سالب الأولى بعد ترتيب الحدود، فلا تضيف معلومة مستقلة عن التيار نفسه. والثالثة تعود إلى الأولى عندما نكتب الرمز الجديد بسالب القديم. عرضنا الصيغ الثلاث لتفسير الاصطلاح، لا لنحل ثلاثة تيارات مجهولة في ثلاثة فروع. الحلقة الأصلية لا تحمل هذه الفروع أصلًا؛ هي مسار واحد بالمقاومتين نفسيهما والمصدر نفسه دون عقدة تفرع في النموذج.

إذا استعمل القارئ طريقة معادلات خطية، فعليه أن يميز الرمز الجديد عن مجهول مستقل. العلاقة بينه وبين الرمز القديم سالب واحد، ولذلك لا نبحث عن حلين منفصلين بمعنى وجود تيارين يسريان في اتجاهين متعاكسين في المقاومة ذاتها. الدفتر سجل وصفًا واحدًا بطريقتين للإشارة. ويمكن التحقق بإعادة جميع النتائج إلى مرجع واحد، فتتوافق القيم بدل أن تتعارض بسبب أسماء غير معرفة.

أما تحليل شبكة حقيقية متعددة الحلقات فيحتاج إلى معطياتها ومعادلات مستقلة مناسبة لها، وهو خارج حالة الورقة الحالية. درسنا مسار جمع الجهد ومرجع التيار قبل توسيع عدد الفروع، لأن خلطهما قد يظهر حتى في حلقة بسيطة. لا يحل تكثير الأسطر هذا الخلط إذا كانت كلها تعيد المعادلة نفسها بإشارة معكوسة أو رمز جديد؛ الذي يحله هو توثيق معنى كل سهم وحدّي كل عبور.

بطاقة مراجعة للمرور والمرجع

اكتب على البطاقة قطبية المصدر ومكان كل مقاومة، ثم ضع سطرًا مستقلًا لمرجع التيار وسطرًا لاتجاه المرور. عند المصدر اقرأ الطرف الذي دخلت منه والطرف الذي خرجت إليه؛ وعند المقاومة قارن المرور بمرجع الرمز في تلك المعادلة. اجمع التغيرات بالفولت، وحل التيار بوحدة الأمبير بعد ملاحظة أن حاصل ضرب أوم في أمبير يعطي فولتًا. لا تجمع قيمة مقاومة وحدها مع جهد في سطر واحد.

بعد الحل فسر الإشارة بالنسبة إلى سهم التيار المعلن، ثم راجع تغيرات الجهد بالقيم الموقعة. أغلق جدول نقاط يبدأ وينتهي عند الجهد نفسه، وراجع قدرة العناصر إن كان نموذجها ومعطياتها كافية لذلك. في المثال التسعة والأربعة والثمانية كانت المراجعات جمع تسعة مع سالب ثلاثة وسالب ستة، وجدول صفر وتسعة وثلاثة وصفر، وقدرة مصدر تساوي مجموع قدرتي المقاومتين. هذه شواهد حسابية متفقة لحالة مؤلفة واحدة.

وعند مقارنة حلين اسأل هل عكس الكاتب المرور فقط أم مرجع التيار أم قطبية عنصر في الرسم. الأولى تقلب حدود معادلة الحلقة ولا تغير قيمة التيار بمرجعه الثابت، والثانية تغير معنى الرمز وإشارة قيمته، والثالثة قد تصف دائرة مختلفة. فصل هذه الأسئلة يحافظ على النتيجة وعلى تفسيرها معًا، فلا يتحول سالب ظهر في سجل الجهد إلى إعلان عن اتجاه تيار لم نعد تعريفه.