نصنع حلقة مغلقة من ثماني خرزات: ثلاث بلون فيروزي وخمس بلون ذهبي. الخرزات ذات اللون الواحد لا تتميز بأسماء أو أرقام خاصة. كم نمطًا نستطيع صنعه؟ قبل العد، نحدد هل تدوير الحلقة يغير النتيجة، وهل يسمح بقلبها لرؤية الوجه الآخر. سنعد المثال نفسه وفق هذين الشرطين.
الخلاصة السريعة
في مثالنا توجد 7 أنماط إذا تجاهلنا الدوران وحده وأبقينا اتجاه القراءة مميزًا. وإذا عدَدنا القلب أيضًا طريقة لعرض النمط نفسه، تصبح 5 أنماط. الفرق يأتي من دمج زوجين فقط من الأنماط السبعة.
- في عدّ القلائد رياضيًا، تغيير نقطة البداية بالدوران لا يصنع نمطًا جديدًا. ويمكن إبقاء الاتجاهين مختلفين، أو اعتبار النمط وصورته المعكوسة واحدًا عند السماح بالقلب. [1]
- المثال يثبت 8 خرزات، منها 3 فيروزية و 5 ذهبية، دون تمييز الخرزات المتساوية اللون. لا نسمح بتبديل اللونين أو تغيير أعدادهما.
- مع ثمانية مواضع مرقمة يوجد 56 توزيعًا. لكل نمط هنا ثماني قراءات دورانية مختلفة؛ لذلك 56 ÷ 8 = 7. هذا التقسيم صالح لهذا المثال، لا قاعدة لكل حلقة.
- الصورة والجدول يعرضان ممثلًا واحدًا لكل نمط من السبعة. نكتب 1 للفيروزي و 0 للذهبي، ونقرأ من أعلى الرسم مع عقارب الساعة؛ نقطة البداية اتفاق تسجيل فقط.
- عند القلب، يندمج النمطان 2 و 3، ويندمج 4 و 6. الأنماط 1 و 5 و 7 تقابل نفسها بعد دوران مناسب، فيكون العدد 5.
- لا تقسم 7 على 2 عند السماح بالقلب، ولا تقسم كل عدد توزيعات على 8 تلقائيًا. إذا غيرت الألوان إلى أربع وأربع، تظهر دورات مكررة مثل 01010101؛ يلزم عدّ جديد. حلقة فيها قفل مميز أو خرزات مختلفة الهوية تخضع لشروط أخرى.
ثبت الألوان وما تعنيه كلمة «نفسه»
يعامل العدّ الرياضي القلادة كتتابع دائري من رموز أو ألوان. الدوران يغير بداية القراءة؛ وإضافة الانعكاس إلى علاقة التكافؤ تجمع الاتجاهين المتعاكسين. [1]
في نموذجنا لا يوجد قفل أو سهم ثابت على الحلقة. لدينا ثلاث خرزات فيروزية وخمس ذهبية. نميز اللون الفيروزي عن الذهبي، لكن لا نميز خرزة فيروزية عن أخرى من اللون نفسه. لا نضيف ترتيبًا مستقلًا لأسماء الخرزات داخل مواقعها.
نطرح سؤالين على النموذج نفسه. في السؤال الأول يسمح بتدوير الحلقة داخل المستوى، مع الاحتفاظ باتجاه القراءة. وفي الثاني يسمح كذلك بقلب الحلقة، فتنعكس القراءة حولها. الشروط هي التي تحدد هل صورتان تمثلان نتيجة واحدة؛ لا يكفي أن تبدوا متشابهتين من أول نظرة.
من 56 توزيعًا في مواضع ثابتة إلى 7 أنماط
رقّم مؤقتًا ثمانية مواضع من 1 إلى 8، واختر ثلاثة للفيروزي. يمكن اختيارها بالترتيب في 8 × 7 × 6 = 336 طريقة، لكن ترتيب اختيار المواضع الثلاثة لا يغير التوزيع. لكل مجموعة ثلاثة مواضع ستة ترتيبات، فعدد المجموعات 336 ÷ 6 = 56. تملأ الخرزات الذهبية المواضع الخمسة الباقية.
إذا قرأنا نمطًا من بدايات مختلفة، نحصل في هذا المثال على ثماني سلاسل مختلفة تمثل الحلقة نفسها. لا يعود النمط إلى نفسه بعد دوران أصغر من دورة كاملة: أي تكرار غير كامل سيقسم الثمانية مواضع إلى مجموعات تكرار بحجم 2 أو 4 أو 8، ويلزم أن ينقسم عدد الخرزات الفيروزية 3 على هذا الحجم؛ وهذا لا يحدث.
إذن تتوزع السلاسل الست والخمسون على مجموعات من ثمانٍ بلا تداخل. النتيجة 56 ÷ 8 = 7. نعرض في الجدول ممثلًا واحدًا من كل مجموعة؛ اختير أصغر نص ثنائي في قراءاتها لتوحيد التسجيل، وليس لأن الحلقة تملك بداية فعلية.
اقرأ ممثل كل نمط حول الحلقة
نستعمل 1 للفيروزي و 0 للذهبي. في الصورة يبدأ النص من الخرزة العليا ويمضي مع عقارب الساعة. توجد ثلاثة أرقام 1 في كل صف وخمسة أرقام 0. لا تمثل 0 فراغًا؛ إنها خرزة ذهبية كاملة.
النص 00000111 مثلًا يجمع الخرزات الفيروزية الثلاث متجاورة. إذا نقلت آخر رقم إلى البداية حصلت على 10000011؛ هذه قراءة أخرى للحلقة نفسها. في المقابل،00010101 يفصل بعض الخرزات الفيروزية بخرزات ذهبية، فلا يصل إليه دوران النمط الأول.
عمود «ممثل بعد القلب» يشير إلى رقم النمط الذي يقابل القراءة المعكوسة بعد اختيار بداية مناسبة. العمود الأخير عدد القراءات الدورانية المختلفة، وكلها 8 في مثال الثلاث والخمس. الأرقام فوق الحلقات أسماء للصفوف فقط، وليست خرزات إضافية.
| النمط | ممثل ثنائي | ممثل بعد القلب | قراءات دورانية |
|---|---|---|---|
| 1 | 00000111 | 1 | 8 |
| 2 | 00001011 | 3 | 8 |
| 3 | 00001101 | 2 | 8 |
| 4 | 00010011 | 6 | 8 |
| 5 | 00010101 | 5 | 8 |
| 6 | 00011001 | 4 | 8 |
| 7 | 00100101 | 7 | 8 |
القلب يدمج زوجين ويترك ثلاثة أنماط
خذ النمط 2، ممثله 00001011. قراءة النص من الطرف الآخر تعطي 11010000؛ وإذا غيرت البداية بالدوران، تصل إلى 00001101، ممثل النمط 3. لا يكون 2 و 3 متكافئين بالدوران وحده، لذلك كانا صفين مختلفين؛ يصبحان واحدًا حين نسمح بالقلب.
وبالمثل، قلب 00010011، ممثل النمط 4، يعطي 11001000. نغير البداية فنحصل على 00011001، ممثل النمط 6. هذا هو الزوج الثاني الذي يندمج، وتعرض الصورة الداخلية الزوجين فقط.
أما الأنماط 1 و 5 و 7، فيقابل كل منها نفسه بعد القلب ودوران مناسب. لذلك لدينا ثلاث مجموعات منفردة ومجموعتان تضمان نمطين:3 + 2 = 5. لا نجمع أنماطًا بغير الدوران والقلب، ولا نبدل الفيروزي بالذهبي.
لماذا لا تصلح القسمة الآلية؟
القسمة 7 ÷ 2 = 3.5 لا تعد الأنماط بعد القلب، لأن بعض الأنماط تقابل نفسها. المثال يبين سبب الخطأ مباشرة: ثلاثة أنماط لا تجد شريكًا مختلفًا لتندمج معه. نكتب المجموعات الفعلية بدل افتراض أن كل نمط له شريك آخر.
كما أن القسمة على 8 في خطوة الدوران اعتمدت على وجود ثماني قراءات مختلفة لكل نمط في هذا المثال. لو استعملنا أربع خرزات من كل لون، فإن 01010101 له قراءتان مختلفتان فقط: نفسه و 10101010. دوران موضعين يعيده إلى نفسه، فتفشل فرضية أن كل مجموعة تحوي 8 سلاسل.
لا نحصي هنا حالة أربع وأربع؛ نستخدمها فقط لاختبار صلاحية سبب القسمة. وإذا ثبتنا قفلًا مميزًا ليكون بداية دائمة، أو أعطينا كل خرزة هوية مختلفة، نكون قد غيرنا النموذج. اكتب الشروط ثم عدّ وفقها، ولا تنقل العدد 7 أو 5 إلى مسألة تختلف عنها.
للمراجعة، افحص أن كل رسم يضم ثماني خرزات بالعددين المحددين. ثم جرّب بدايات القراءة الثماني لمعرفة هل صفان متكافئان بالدوران. وإذا سمحت بالقلب، اعكس اتجاه القراءة وأعد الفحص. الألوان والرموز والجدول يقدمون المعلومات نفسها بثلاث طرق.
اقرأ أيضًا: رموز الرياضيات ومعانيها
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.