عدد حلول المعادلة الأسية يتغير عند حدود محددة للثابت. [1]
الخلاصة السريعة
في العائلة المختارة: حلان عندما 0<c<9، وحل واحد عندما c≤0 أو c=9، ولا حل عندما c>9. نعد القيم المختلفة للمتغير الحقيقي. [1]
- نختار 4^x−6·2^x+c=0، حيث x حقيقي وc ثابت حقيقي نغيره بين المسائل. نضع u=2^x>0؛ لكل u موجب قيمة واحدة x=log_2(u). لذلك نعد جذور u الموجبة المختلفة فقط. [1]
- التعويض يعطي u²−6u+c=0، ثم (u−3)²=9−c. عندما c<9 المرشحان u=3±√(9−c). إيجابية ما تحت الجذر تثبت وجود مرشحين حقيقيين؛ لا تكفي لقبولهما في المعادلة الأسية. [1]
- إذا c<0 فالجذر √(9−c)>3: المرشح الأصغر سالب والأكبر موجب، فيبقى حل واحد. عند c=0 المرشحان 0 و6؛ نستبعد الصفر ويكون الحل x=log_2(6). اقتراب 2^x من الصفر لا يجعله صفرًا عند x منتهٍ. [2]
- إذا 0<c<9 فإن 0<√(9−c)<3؛ المرشحان موجبان ومختلفان، فينتج حلان x=log_2(3−√(9−c)) وx=log_2(3+√(9−c)). عند c=5 مثلًا، u=1 أو5، ومنه x=0 أوlog_2(5). [1]
- عند c=9 تصبح (u−3)²=0: الجذر 3 مكرر جبريًا، لكنه يعطي قيمة واحدة x=log_2(3). إذا c>9 فالطرف 9−c سالب ولا يساوي مربعًا حقيقيًا؛ لا يوجد حل. [1]
- اختبر c=−7: المرشحان −1 و7، والمقبول 7؛ بالتعويض 49−42−7=0. عند c=5 نتحقق من 1−6+5=0 و25−30+5=0. التصنيف يخص العائلة المكتوبة؛ تغيير الأساس إلى 1 يزيل التعويض العكسي، لأن 1^x ثابت. [2]
ثبّت العائلة ومجال التعويض
نختار 4^x−6·2^x+c=0، حيث x حقيقي وc ثابت حقيقي نغيره بين المسائل. نضع u=2^x>0؛ لكل u موجب قيمة واحدة x=log_2(u). لذلك نعد جذور u الموجبة المختلفة فقط. [1]
أكمل المربع
التعويض يعطي u²−6u+c=0، ثم (u−3)²=9−c. عندما c<9 المرشحان u=3±√(9−c). إيجابية ما تحت الجذر تثبت وجود مرشحين حقيقيين؛ لا تكفي لقبولهما في المعادلة الأسية. [1]
افحص الثابت غير الموجب
إذا c<0 فالجذر √(9−c)>3: المرشح الأصغر سالب والأكبر موجب، فيبقى حل واحد. عند c=0 المرشحان 0 و6؛ نستبعد الصفر ويكون الحل x=log_2(6). اقتراب 2^x من الصفر لا يجعله صفرًا عند x منتهٍ. [2]
احتفظ بفرعين موجبين
إذا 0<c<9 فإن 0<√(9−c)<3؛ المرشحان موجبان ومختلفان، فينتج حلان x=log_2(3−√(9−c)) وx=log_2(3+√(9−c)). عند c=5 مثلًا، u=1 أو5، ومنه x=0 أوlog_2(5). [1]
افصل التكرار عن عدد الحلول
عند c=9 تصبح (u−3)²=0: الجذر 3 مكرر جبريًا، لكنه يعطي قيمة واحدة x=log_2(3). إذا c>9 فالطرف 9−c سالب ولا يساوي مربعًا حقيقيًا؛ لا يوجد حل. [1]
تحقق من المرشحين وحدود النتيجة
اختبر c=−7: المرشحان −1 و7، والمقبول 7؛ بالتعويض 49−42−7=0. عند c=5 نتحقق من 1−6+5=0 و25−30+5=0. التصنيف يخص العائلة المكتوبة؛ تغيير الأساس إلى 1 يزيل التعويض العكسي، لأن 1^x ثابت. [2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.