عرض القمة: نصف البروز ليس نصف القيمة

احسب مستوى القياس

البروز فرق قيمة القمة عن أعلى القاعدتين المحيطتين. [2]

اخترنا x=[2,4,8,5,3] بفهرسة من صفر إلى 4. عند الفهرس 2 توجد القيمة 8، وهي أعلى جارَيها 4 و5. لا توجد قمة أعلى منها في السجل المعروض؛ أدنى اليسار 2 عند صفر، وأدنى اليمين 3 عند 4.

خطها المحيط عند max(2,3)=3، ولذلك P=8−3=5. هذا المقدار رأسي؛ أما العرض الذي نريد حسابه فأفقي. نحفظ الفهرسين صفر و4 حدَّين للبحث في العرض، مع اختلاف قيمتي القاعدتين.

نحسب h_eval=h−P×R، مع R≥0؛ وR=0.5 يقيس عند نصف البروز. [1]

التعويض في مثالنا يعطي h_eval=8−5×0.5=5.5. القيمة 5.5 تقع في منتصف الفرق بين الخط المحيط 3 والقمة 8، لأن (3+8)/2=5.5. لا تقع في منتصف الصفر و8.

لو أخذنا نصف قيمة القمة نفسها لحصلنا على 4. الفرق بين المستويين 1.5، ويغير موضعي التقاطع. وعند خط محيط صفر فقط، يكون h−P/2=h/2؛ في مثالنا الخط المحيط 3، فلا تتساوى العبارتان.

استوف موضعي التقاطع

العرض فرق موضعي التقاطع؛ يقدّر التقاطع مع الميل باستيفاء خطي. [1]

على اليسار يقع 5.5 بين القيمة 4 عند الفهرس 1 والقيمة 8 عند 2. الزيادة المطلوبة من 4 هي 1.5، من زيادة كاملة قدرها 4 بين العينتين. نسبتها 1.5/4=3/8؛ موضع التقاطع 1+3/8=11/8=1.375.

على اليمين ينخفض الخط من 8 عند 2 إلى 5 عند 3. للوصول إلى 5.5 ننزل 2.5 من فرق كلي قدره 3؛ نتحرك 2.5/3=5/6 فاصل. موضع التقاطع 2+5/6=17/6≈2.8333.

إذن العرض هو 17/6−11/8=(68−33)/24=35/24≈1.4583 فاصل عينة. موضعا التقاطع كسريان؛ لا نقرّبهما إلى الفهرسين 1 و3 ثم نطرح 2. ولا ننشئ عينة مقاسة عند 1.375؛ هذا تقدير داخل قطعة مستقيمة اخترناها لربط القيم.

عينة واحدة فقط، ذات القيمة 8، تتجاوز 5.5 في سجلنا. عدُّها يعطي 1، لكن العرض 35/24. العدد الأول يعد نقاطًا، والثاني فرق موضعين على المحور؛ لا يحل أحدهما محل الآخر.

للمقارنة عند مستوى 4، التقاطع الأيسر عند 1 مباشرة. يمينًا يقع بين 5 عند 3 و3 عند 4، في منتصف القطعة عند 3.5. العرض 3.5−1=2.5=5/2. لم تتغير القيم؛ تغير المستوى الذي قسنا عنده.

راجع حدود القاعدة والوحدة

البحث يتوقف عند التقاطع أو حد السجل أو القاعدة؛ أقصى عرض مسافة القاعدتين. [1]

مع R=1 يكون المستوى 8−5=3. يسارًا نصل إلى 3 في منتصف القطعة بين 2 عند صفر و4 عند 1، أي عند 0.5. يمينًا نصل إلى 3 عند الفهرس 4. العرض 4−0.5=3.5، وليس 4 رغم أن R=1.

مسافة القاعدتين هي 4−0=4. لم يصل التقاطع الأيسر إلى القاعدة اليسرى عند صفر، لأن قيمتها 2 أدنى من مستوى القياس 3. لذلك قد يختلف العرض عند الخط المحيط عن المسافة الكاملة بين القاعدتين.

ومع R=2 يصبح المستوى 8−10=−2. لا تقاطع مع القيم المعروضة بين القاعدتين عند هذا المستوى؛ يصل البحث إلى الحدين صفر و4. نحسب العرض 4. لا نمد القطع خارج سجلنا للحصول على تقاطعات أخرى.

أما R=0، فيكون المستوى 8؛ التقاطعان عند القمة نفسها في الفهرس 2، والعرض صفر. هذه نتيجة قمتنا الحادة، ولا نعممها هنا على أشكال مسطحة لم نتناولها.

جميع الأعداد الأفقية السابقة بفواصل العينات. لتحويل مثالنا إلى زمن نفترض، إضافةً إلى القيم، أن تباعد العينات ثابت ويساوي Δt=1/5 ثانية. نضرب 35/24 في 1/5 فنحصل على 7/24≈0.2917 ثانية.

اختيار 0.2 ثانية فرض جديد، وليس معلومة مستخرجة من القائمة. ولو كانت العينات غير منتظمة زمنيًا، فلن يكفي ضرب فرق الفهارس في فاصل ثابت واحد. نحتاج إلى أزمنة العينات وطريقة مناسبة لتقدير التقاطعات على ذلك المحور.

ما الذي لا تغيره الإضافة؟

لنضف 10 إلى كل قيمة: تصبح القائمة [12,14,18,15,13]. القاعدتان بقيمتي 12 و13، والخط المحيط 13، والبروز 18−13=5. عند R=0.5 يصبح مستوى القياس 18−2.5=15.5.

النسبة اليسرى الآن (15.5−14)/(18−14)=1.5/4=3/8؛ واليمنى (18−15.5)/(18−15)=2.5/3=5/6. لذلك تبقى مواضع 11/8 و17/6 والعرض 35/24، مع ارتفاع المستوى العددي من 5.5 إلى 15.5.

هذا ليس مصادفة عددية. إذا أضفنا ثابتًا c، زادت القمة والخط المحيط والمستوى بمقدار c نفسه؛ طرح قيمتين يلغيه. مثلًا ((u+c)−(v+c))/((w+c)−(v+c))=(u−v)/(w−v)، حين يكون المقام غير صفر. لا تتغير نسب الاستيفاء في الحساب الدقيق.

ولو ضربنا القيم في 3، صار البروز 15 والمستوى 16.5. كل فرق في بسط نسب الاستيفاء ومقامها يضرب في 3، فتُلغى هذه الزيادة أيضًا. الحجة تتطلب عاملًا موجبًا ليحافظ على ترتيب القيم؛ لا نستنتجها لعامل سالب يحوّل القمم إلى قيعان.

الأعداد هنا افتراضية، بلا NaN أو قمة مسطحة. لم نقس إشارة أو ننفذ SciPy أو نتحقق من دقة آلة عائمة عند قيم ضخمة. تحققنا بكسور دقيقة من هذا المثال ومن مئة شكل خماسي يصعد بصرامة إلى قمته ثم يهبط بصرامة، عند خمس نسب مختارة.

هذه مراجعة منتهية، لا إثبات لكل أشكال الإشارات أو سلوك المكتبة. وعند كتابة نتيجة عرض، احفظ القيم والنسبة والبروز وحدَّي القاعدة وموضعي التقاطع ووحدة المحور. الرقم وحده لا يبين المستوى الذي استعملته.