عزم قصور صفيحة مثلثة: لماذا لا تكفي كتلة عند مركزها؟

موضع المركز لا يصف توزع المسافات عن المحور. [2]

الخلاصة السريعة

عزم القصور يجمع مربع بُعد كل جزء، لا مربع بُعد المركز فقط. [2]

صفيحة مثلثة رقيقة متجانسة، رؤوسها (0,0),(b,0),(0,h)؛ b,h>0 منتهيان بالسنتيمتر، وكثافتها السطحية الثابتة σ>0 غ/سم². الكتلة m=σbh/2 غ، والمركز G=(b/3,h/3) سم. المحور B هو القاعدة y=0 في مستواها. [1][4]
حول محور محدد، الجسيم كتلته m على بُعد عمودي r يعطي I=mr². للجسم الممتد I=∫r²dm؛ وحدة الحساب هنا غ·سم²، لا عزم مساحة بوحدة سم⁴. [2]
عن القاعدة، البُعد هو y وعرض الشريحة b(1−y/h). إذن I_B=σb∫_[0,h]y²(1−y/h)dy=σbh³/12=mh²/6. [1]
للمحور الموازي المار بـG عند y=h/3، نجد I_C=mh²/18>0. العلاقة I_B=I_C+m(h/3)² تحفظ مساهمة التوزع حول المركز. [3]
تركيز الكتلة كلها عند G يعطي I_P=m(h/3)²=mh²/9. الفارق I_B−I_P=I_C؛ الحقيقي يساوي 3/2 من الاختصار، الذي يحذف ثلث الحقيقي. [2]
مثالنا b=20,h=9 سم، وσ=2 غ/سم²: m=180 غ، وG=(20/3,3) سم. القيم I_B=2430,I_P=1620,I_C=810 غ·سم²؛ 1620+810=2430. [3]

ثبت الصفيحة والمحور

صفيحة مثلثة رقيقة متجانسة، رؤوسها (0,0),(b,0),(0,h)؛ b,h>0 منتهيان بالسنتيمتر، وكثافتها السطحية الثابتة σ>0 غ/سم². الكتلة m=σbh/2 غ، والمركز G=(b/3,h/3) سم. المحور B هو القاعدة y=0 في مستواها. [1][4]

الجسم يملأ المساحة؛ ليس سلكًا على المحيط. نثبت المحور داخل مستوى الصفيحة، فلا نستخدم البعد إلى أصل الإحداثيات. [1][4]

زن مربع البعد

حول محور محدد، الجسيم كتلته m على بُعد عمودي r يعطي I=mr². للجسم الممتد I=∫r²dm؛ وحدة الحساب هنا غ·سم²، لا عزم مساحة بوحدة سم⁴. [2]

الصفيحة تحتوي أجزاء على مسافات مختلفة. حساب متوسط المسافة ثم تربيعه لا يحفظ متوسط مربعاتها؛ تعريف المركز يخص العزم الأول. [2]

كامل الشرائح عن القاعدة

عن القاعدة، البُعد هو y وعرض الشريحة b(1−y/h). إذن I_B=σb∫_[0,h]y²(1−y/h)dy=σbh³/12=mh²/6. [1]

الدالة الأصلية y³/3−y⁴/(4h) تعطي h³/12. ضربها في σb يثبت الصيغة لأي أبعاد موجبة، لا للمثال وحده. [1]

احتفظ بعزم المركز

للمحور الموازي المار بـG عند y=h/3، نجد I_C=mh²/18>0. العلاقة I_B=I_C+m(h/3)² تحفظ مساهمة التوزع حول المركز. [3]

توسيع ∫(y−h/3)²dm يعطي mh²/18؛ الحد المختلط يختفي لأن ∫(y−h/3)dm=0. [3]

اختبر الكتلة النقطية

تركيز الكتلة كلها عند G يعطي I_P=m(h/3)²=mh²/9. الفارق I_B−I_P=I_C؛ الحقيقي يساوي 3/2 من الاختصار، الذي يحذف ثلث الحقيقي. [2]

لا يمثل I_P عزم الصفيحة الكاملة. نقل الكتلة إلى نقطة يحذف انتشارها حول المركز. [2]

مساهمة عزم المركز — الجزء المحذوف ثلث الإجمالي. [3]

اقرأ المثال والوحدات

مثالنا b=20,h=9 سم، وσ=2 غ/سم²: m=180 غ، وG=(20/3,3) سم. القيم I_B=2430,I_P=1620,I_C=810 غ·سم²؛ 1620+810=2430. [3]

المساحة 90 سم² والكتلة 180 غ؛ العزم كتلة في مربع طول. الأرقام حسابية؛ لم ننفذ دورانًا أو قياسًا. [3]

المراجع

راجع عزم القوة

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.