غرام–شميت: لماذا لا يكفي جعل المتجهات بطول واحد؟

توحيد الطول ليس تعامدًا

نعمل بمتجهات حقيقية. الضرب الداخلي هو مجموع ضرب المركبات المناظرة، والطول هو الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركبات. متجهان غير صفريين متعامدان عندما يكون ضربهما الداخلي صفرًا. [1]

خذ a₁=(2,2,1) وa₂=(6,3,0). طول الأول√(4+4+1)=3، وطول الثاني√(36+9)=3√5، وضربهما الداخلي12+6=18.

بعد القسمة على الطولين، يصبح الضرب الداخلي18/(3×3√5)=2/√5≠0. صار الطولان1، لكن بقيت الزاوية بين المتجهين كما هي؛ لذلك لم نحصل على زوج متعامد.

اطرح المركبة ثم اقسم

نبدأ بـq₁=a₁/||a₁||. للعمود الثاني نحسب r₁₂=q₁ᵀa₂، ثم v₂=a₂−r₁₂q₁؛ وإذا كان v₂≠0 نضع q₂=v₂/||v₂||. [1]

هنا q₁=(2/3,2/3,1/3). نجد r₁₂=(2/3)×6+(2/3)×3=6، فيكون v₂=(6,3,0)−(4,4,2)=(2,−1,−2).

طول v₂ هو√(4+1+4)=3؛ إذن q₂=(2/3,−1/3,−2/3). نفحص q₁ᵀq₂=(4−2−2)/9=0، ومربع طول كل متجه هو9/9=1.

طرحنا6q₁، مركبة العمود الثاني في اتجاه الأول الموحّد الطول. معامل الطرح محسوب بالضرب الداخلي، وليس رقمًا نختاره اعتباطًا.

اقرأ الأعمدة على صورة QR

للأعمدة المستقلة، يعطي غرام–شميت تحليلًا مختزلًا A=QR، حيث أعمدة Q متعامدة بطول واحد، وR مثلثية عليا بقطر موجب. بهذه الشروط يكون التحليل وحيدًا. [2]

في مثالنا A=[[2,6],[2,3],[1,0]] وQ=[[2/3,2/3],[2/3,−1/3],[1/3,−2/3]] وR=[[3,6],[0,3]]. الفواصل بين المجموعات داخل المصفوفة تفصل الصفوف.

نفحص العمودين: 3q₁=(2,2,1)=a₁؛ و6q₁+3q₂=(4,4,2)+(2,−1,−2)=(6,3,0)=a₂. هكذا يعيد QR المصفوفة A.

الفضاء المتولد هو مجموعة التركيبات الخطية للأعمدة. هنا a₁=3q₁ وa₂=6q₁+3q₂؛ وبالعكس q₁=a₁/3 وq₂=a₂/3−2a₁/3. إذن يستطيع كل زوج بناء جميع متجهات الزوج الآخر، فيتساوى الفضاءان.

في QR المختزل لمصفوفة m×n ذات أعمدة مستقلة وm≥n، تكون Q بحجم m×n وR بحجم n×n، وتحقق QᵀQ=Iₙ. [3] هنا الأبعاد3×2 و2×2، والضرب الصحيح يعيد3×2.

لا نستنتج QQᵀ=I₃. فمع w=(−1,2,−2)، نحصل على q₁ᵀw=(−2+4−2)/3=0 وq₂ᵀw=(−2−2+4)/3=0. إذن QQᵀw=0≠w. Q المستطيلة ليس لها معكوس عادي ذو وجهين.

ماذا يعني الباقي الصفري؟

استبدل a₂ بـa₂′=3a₁=(6,6,3). الآن r₁₂=q₁ᵀa₂′=4+4+1=9، وv₂=a₂′−9q₁=(0,0,0). لم يضف العمود الثاني اتجاهًا مستقلًا.

لا يمكن تعريف q₂=v₂/||v₂|| هنا؛ المقام صفر. في حالة الأعمدة التابعة يمكن إكمال الاتجاهات باختيار متجه موحّد الطول متعامد مع الأعمدة السابقة، بدل قسمة الباقي الصفري. [2]

مثلًا نحتفظ بـQ السابقة ونضع R′=[[3,9],[0,0]]. عندئذ QR′=[a₁,3a₁]. ويوجد اختيار آخر باستبدال q₂ بـ−q₂ مع R′ نفسها، لأن معامل العمود الثاني الجديد في كلا العمودين صفر.

إذن فشل قسمة الباقي لا يعني استحالة QR. لكنه يمنع إنتاج اتجاه ثانٍ من هذين العمودين وحدهما بهذه الخطوة، ولا تنطبق هنا نتيجة الفرادة المشروطة باستقلال الأعمدة والقطر الموجب. [2]

هذه حسابات دقيقة بكسور وجذور. الباقي الصغير جدًا في برنامج حاسوبي يحتاج معالجة عددية تتجاوز هذا المثال؛ لا نختار عتبة تقريبية من هذه الأعداد.