كثير الحدود الأدنى: المميز نفسه والدرجة مختلفة

أقل درجة بمعامل رئيس1

نعمل بمصفوفات مربعة حقيقية. إذا كتبناq(t)=a₀+a₁t+⋯+aₖtᵏ، فالتعويض هوq(A)=a₀I+a₁A+⋯+aₖAᵏ. الصفر الناتج مصفوفة، والحد الثابت ليس عددًا نضيفه إلى كل خانة. [1]

نطلب كثير حدود غير صفري، ونجعل معامله الرئيس1؛ هذا التثبيت يمنع عدّm و2m جوابين مختلفين. نختار الأقل درجة بين العلاقات التي تصفرA. [1]

نستعمل اصطلاح المميزχ_A(t)=det(tI−A). مبرهنة كايلي هاملتون تضمنχ_A(A)=0، وكثير الحدود الأدنى يقسمχ_A؛ لكن علاقة المميز ليست دائمًا الأقصر. [1]

في أمثلتناI=I₃ مصفوفة الوحدة. التعبير(t−4)² عندJ يعني(J−4I)²=J²−8J+16I؛ لا يعني تربيع كل عنصر منJ منفردًا.

المميز نفسه ودرجات مختلفة

اخترD=[[4,0,0],[0,4,0],[0,0,4]]، وB=[[4,2,0],[0,4,0],[0,0,4]]، وJ=[[4,2,0],[0,4,3],[0,0,4]]. الأعداد داخل كل مجموعة تمثل صفًا، والصفوف معروضة من اليسار إلى اليمين.

لكل منهاdet(tI−A)=(t−4)³؛ فالمحدد هنا حاصل ضرب العناصر القطرية في المصفوفة المثلثية. إذن القيمة الذاتية الوحيدة4، وتكررها في المميز3 لا يحدد درجة كثير الحدود الأدنى وحده.

فيD يكونD−4I=0، فيكفيt−4. وفيB اكتبK=B−4I؛ خانته الوحيدة غير الصفرية هي2 في الصف1 والعمود2، ولذلكK≠0 وK²=0.

فيJ اكتبN=J−4I=[[0,2,0],[0,0,3],[0,0,0]]. نجدN²=[[0,0,6],[0,0,0],[0,0,0]]، ثمN³=0. العدد6 جاء من المسار1 إلى2 إلى3: 2×3.

تسمى المصفوفة منعدمة القوى إذا ساوت إحدى قواها الصحيحة الموجبة الصفر؛ وأصغر أس يحقق ذلك دليل الانعدام. [3] هنا دليلK هو2 ودليلN هو3، رغم أن عناصرهما كلها غير سالبة.

برهان استحالة الدرجة الأصغر

إذا قسمناq على كثير حدود يصفرA، فإنq(A) يساوي قيمة الباقي عندA. نبحث عن أقل درجة تحقق الصفر. [2]

فيD، كل كثير حدود ثابت غير صفريc يعطيcI≠0. ومعD−4I=0 تثبت الدرجة1، فيكونm_D(t)=t−4.

فيB، أي تعبير بدرجة أقل من2 يمكن كتابتهa+b(t−4). تعويضB يعطيaI+bK. خانات القطر تفرضa=0، والخانة(1,2) تفرض2b=0، أيb=0. إذن لا علاقة غير صفرية بدرجة أقل من2، ويكونm_B(t)=(t−4)².

فيJ، أي تعبير بدرجة أقل من3 يكتبa+b(t−4)+c(t−4)². قيمتهaI+bN+cN². خانات القطر تفرضa=0؛ ثم الخانة(1,2) تفرض2b=0؛ والخانة(1,3) تفرض6c=0. فتكون المعاملات الثلاثة صفرًا.

لأنN³=0 ولدينا استحالة درجة أقل، يكونm_J(t)=(t−4)³. كتابة العلاقة التكعيبية وحدها لم تكن برهانًا على الحد الأدنى؛ أضفنا فحص جميع الدرجات السابقة، لا قائمة أمثلة مختارة منها.

اختزال القوة وفحص الجذر

إذا كانتq=hm+r ودرجةr أقل من درجةm، فإنq(A)=r(A) لأنm(A)=0. [2]

فيJ نوسع(J−4I)³=0 فنجدJ³−12J²+48J−64I=0. وبالضرب فيJ ثم الاستبدال: J⁴=12J³−48J²+64J=96J²−512J+768I.

نتحقق مباشرة: J²=[[16,16,6],[0,16,24],[0,0,16]]، ومنهاJ⁴=[[256,512,576],[0,256,768],[0,0,256]]. حسابJ²J² يعطي المصفوفة نفسها.

يمكن فهم الخانة576 منJ=4I+N: للقوةn≥2 يكونJⁿ=4ⁿI+n4ⁿ⁻¹N+[n(n−1)/2]4ⁿ⁻²N². يتوقف المفكوك لأنN³=0 وI تتبادل الضرب معN. عندn=4 معاملN² هو6×16=96، وخانته العليا اليمنى96×6=576.

القوتان0 و1 هماI وJ مباشرة؛ لا نحتاج مدّ الصيغة السابقة إليهما. وفيD تكون القوة الرابعة256I، وفيB تكون[[256,512,0],[0,256,0],[0,0,256]]. المميز المشترك لم يجعل القوى متطابقة.

خذq(t)=t−4. تحققq(4)=0، لكنq(J)=N≠0؛ وحتىq(t)=(t−4)² يعطيN²≠0. لذلك يجب تعويض المصفوفة كاملة، وفحص أقل درجة، بدل الاكتفاء بالجذر المكرر.