مبرهنة باربييه: عرض ثابت ومحيط يساوي محيط الدائرة

الخلاصة السريعة

للشكل المحدب المستوي ذي عرض ثابت w، يكون محيطه L=πw؛ أي محيط دائرة قطرها w. [1] الثبات مطلوب في كل اتجاه، وليس في قياس أفقي واحد.

• العرض هو المسافة بين خطي إسناد متوازيين يحصران الشكل. [1] في دائرة نصف قطرها 4، العرض 8 في كل اتجاه، ومحيطها 8π. العرض الكامل ليس نصف القطر.
• نختار A=(0,0)، B=(8,0)، C=(4,4√3). أقواس نصف قطرها 8 حول الرؤوس، بين الرأسين الآخرين، تعطي مثلث رولو ذا العرض 8. [2] كل قوس زاويتهπ/3 وطوله 8π/3؛ مجموعها 8π.
• صيغة كوشي تجمع عروض الشكل عبر الاتجاهات: L=∫₀^π w(θ)dθ. [3] عندما يكون العرض 8 دائمًا، يصبح التكامل∫₀^π 8dθ=8π. هذا يفسر ثبات المحيط رغم اختلاف الحدود.
• في مربع ضلعه 8، العرض الأفقي 8 والرأسي 8، لكن العرض في اتجاه قطري 8√2. محيطه 32، ولذلك لا يصح استعمال 8π له. قياسان متعامدان متساويان لا يثبتان عرضًا ثابتًا في كل اتجاه.
• مساحة مثلث رولو في المثال 32(π−√3)، أي نحو 45.1053، ومساحة دائرة نصف قطرها 4 هي 16π، أي نحو 50.2655. المحيطان 8π، لكن المساحتين مختلفتان؛ لا نستخرج المساحة من شرط المحيط وحده.
• التكبير بعامل 2 يجعل العرض 16 والمحيط 16π، والمساحة أربعة أمثالها. الإزاحة والدوران يحفظان العرض والمحيط. القياس يتعلق بخطين متوازيين حاصرين، والنتيجة لشكل محدب مغلق في المستوى؛ وحدات المحيط خطية والمساحة مربعة.

حدد العرض بين خطين متوازيين

خطا الإسناد يحصران الشكل ويمسان حدّه. العرض في اتجاه معين هو المسافة العمودية بينهما، مع كونهما عموديين على اتجاه القياس. [1] نغير اتجاه القياس، ثم نعيد وضع الخطين؛ لا نتركهما ثابتين ونقيس وترًا مائلًا بين نقطتين اختيرتا عشوائيًا.

لدائرة نصف قطرها 4، يبعد كل خط إسناد عن المركز 4. المسافة بين الخطين المتقابلين 8 في أي اتجاه، لأن نصف القطر ثابت. ومحيط الدائرة 2π×4=8π. سنستعمل هذه الدائرة للمقارنة، لا دائرة نصف قطرها 8.

في رسمنا، مركز الدائرة O=(4,4√3−4). نقطتا أقصى امتداد أفقي هما T=(0,4√3−4) و T′=(8,4√3−4)، فالقطعة TT′ قطرها وطولها 8. اختيار الارتفاع هنا يجعل حدها العلوي والسفلي موافقين لحدي مثال رولو.

الحد العلوي عند y=4√3، والسفلي عند y=4√3−8. فرق الإحداثيين 8، مثل الفرق بين x=0 و x=8. ليست المسافة من O إلى T هي العرض؛ طول OT=4، بينما الخطان الحاصران على طرفي الدائرة يفصل بينهما 8.

نكتب L لطول الحد المغلق و w للعرض. كلاهما بوحدة طول، لكنهما مقداران مختلفان: الأول يتتبع المحيط، والثاني يقيس المسافة بين خطين. سنستعمل S للمساحة عندما نحتاجها، حتى لا يصبح أي عدد يحتويπ قابلًا للتبادل مع غيره.

ابنِ مثلث رولو من ثلاثة أقواس

خذ A=(0,0)، B=(8,0)، C=(4,4√3). مربع AB هو 64، ومربع AC يساوي 16+48=64، وكذلك BC. إذن ABC متساوي الأضلاع وضلعُه 8. مساحته 8×4√3/2=16√3، وارتفاعه 4√3.

لإنشاء مثلث رولو، يرسم قوس من كل رأس بين الرأسين الآخرين في مثلث متساوي الأضلاع. الشكل الناتج ذو عرض ثابت. [2] في مثالنا نصف قطر كل قوس 8، ويحد المنطقة تقاطع الأقراص الثلاثة ذات المراكز A و B و C. لا نرسم أقواسًا بنصف قطر 4.

قوس B إلى C مركزه A وزاويته 60°، أيπ/3 راديان. وقوس C إلى A مركزه B، وقوس A إلى B مركزه C. الثلاثة هي الحد المنحني، أما الأضلاع المستقيمة للمثلث الأصلي فتظهر داخل الشكل ولا تضاف إلى محيطه.

طول القوس الأول 8×π/3=8π/3، وبالطريقة نفسها للآخرين. لذلك L=3×8π/3=8π. هذا حساب مباشر للمحيط من الأقواس، يراجع نتيجة باربييه في المثال ولا يستبدلها بقياس صورة الشاشة.

أقصى اليسار A عند x=0، وأقصى اليمين B عند x=8. وأعلى نقطة C عند y=4√3، وأدنى نقطة P=(4,4√3−8) على القوس مركزه C. لذلك يظهر العرض 8 في الاتجاهين الأفقي والرأسي؛ نقيس هنا المسافات بين الحدود نفسها.

الدائرة الوردية في الرسم نصف قطرها 4، وأقواس رولو البنفسجية نصف قطرها 8؛ ومع ذلك العرض الكامل لكل منهما 8. مراكز الأقواس الثلاثة على الحد عند A و B و C، بينما O مركز الدائرة المقارنة. ليس للشكل المنحني كله نصف قطر واحد عن O.

افهم لماذا لا يتغير المحيط مع شكل الحد

تعطي صيغة كوشي محيط حد مجموعة مستوية محدبة ومغلقة ومحدودة ذات داخل غير فارغ بتكامل أطوال إسقاطاتها العمودية عبر الاتجاهات غير الموجهة. إذا كان العرض w(θ)، فإن L=∫₀^π w(θ)dθ. [3] هذا هو العرض بين خطي الإسناد نفسه.

للشكل ذي العرض الثابت 8، تكون w(θ)=8 لكلθ. لذلك L=∫₀^π 8dθ=8π. داخل التكامل لا يتغير العدد 8 عند انتقالنا من اتجاه إلى آخر؛ ولهذا يحدد العرض المحيط من غير الحاجة إلى معرفة كل نقطة على الحد.

المجال من 0 إلىπ يشمل الاتجاهات غير الموجهة مرة واحدة. الاتجاهθ واتجاهθ+π يعطيان الخطين الحاصرين نفسيهما بترتيب معكوس. استعمال مجال من 0 إلى 2π من غير تعديل الصيغة سيعد كل عرض مرتين ويعطي 16π بدل 8π.

في مثالنا طريقان متفقان: ثلاثة أقواس طول كل منها 8π/3، أو تكامل العرض الثابت 8. الأول يستعمل تفاصيل رولو، والثاني يستعمل الصيغة العامة. البرهان العام هنا يعتمد على صيغة كوشي الموثقة؛ لم نشتق تلك الصيغة من الصفر.

المحدبية تمنع وجود تجاويف في المنطقة بين أي نقطتين منها. لا نعمم صيغة المحيط المستعملة هنا على حدود متعرجة أو غير محدبة لمجرد أن قياسين متقابلين أعطيا 8. كذلك لا نستنتج ثبات العرض من تساوي محيط شكلين فقط.

اختبر مربعًا يساوي عرضه الأفقي ثمانية

نأخذ مربعًا رؤوسه A=(0,0)، B=(8,0)، D=(8,8)، E=(0,8). المسافة بين خطي الإسناد الرأسيين x=0 و x=8 هي 8، وبين الأفقيين y=0 و y=8 هي 8 أيضًا. المحيط 4×8=32، ولا توجد أقواس في هذا المثال.

لقياس العرض في اتجاه المتجه (1,1)، نأخذ خطي الإسناد x+y=0 و x+y=16، وهما متوازيان ويمران بـ A و D. المسافة العمودية بينهما 16/√2=8√2. القطعة AD عمودية على الخطين، ولذلك توضح هذا العرض في الصورة الثانية.

إذن 8 و 8√2 قيمتان مختلفتان للعرض في الشكل نفسه. الجدول يضع عروض المربع عند 0° و 90° و 45°؛ لا يكفي تساوي القيمتين الأوليين. تغيير اتجاه الإسناد يمكن أن ينقل نقطة اللمس من ضلع إلى رأس.

لو عوضنا w=8 في L=πw للمربع، لحصلنا على 8π بدل 32. سبب الخطأ أن w ليس ثابتًا عند جميع الاتجاهات. لا نغير القيمة إلى 8√2 ونعلن أن المحيط 8√2π؛ تلك قيمة في اتجاه آخر فقط، لا عرض ثابت أيضًا.

حتى محدبية المربع لا تكفي وحدها لتطبيق صيغة العرض الثابت؛ نحتاج الشرطين معًا. هنا يمكن استعمال صيغة كوشي مع عرض متغير، أو ببساطة جمع أضلاعه الأربعة. فشل التعويض المختصر يراجع شروطه، ولا ينقض المبرهنة.

قارن المساحتين بعد أن ثبت المحيطان

يحد كل قوس من أقواس رولو قطاع زاويتهπ/3 ونصف قطره 8. مساحة القطاع 64π/6=32π/3. مساحة المثلث ABC هي 16√3، لذلك مساحة القطعة المنحنية بين القوس والضلع 32π/3−16√3.

يتكون شكل رولو من ABC وثلاث قطع منحنية خارج أضلاعه. نجمع 16√3 وثلاثة أمثال 32π/3−16√3، فينتج S=32π−32√3=32(π−√3). وهذا يوافق صيغة مساحة رولو S=(π−√3)r²/2 عند r=8. [2]

مساحة الدائرة المقارنة ذات نصف القطر 4 هي 16π. بالقيم العشرية التقريبية، مساحة رولو 45.1053 وحدة مربعة، ومساحة القرص 50.2655 وحدة مربعة. الفرق نحو 5.1601 وحدة مربعة، مع بقاء المحيطين 8π. الأرقام العشرية تقريب للعبارات الدقيقة.

لا نخلط 8π للمحيط مع 16π للمساحة، ولا نضيف طول TT′ إلى مساحة قطاع. المساواة بين محيطين لا تفرض مساواة المنطقتين المحصورتين داخلهما. نحن نحسب مساحة هذين الشكلين المحددين؛ لم نثبت هنا حدًا أعلى أو أدنى لمساحة كل شكل ذي عرض ثابت.

الجدول الأول يركز على شرط العرض والمحيط، وهذه الفقرة تضيف المساحات بوحداتها. اللون البنفسجي يساعد على رؤية اختلاف الحد عن الدائرة الوردية؛ الحساب يأتي من الأقواس والقطاعات، وليس من عد بكسلات اللون في الرسم.

راجع التكبير والإزاحة ونوع القياس

كبر كل الإحداثيات وأنصاف أقطار الأقواس بعامل 2. يصبح ضلع المثلث الأصلي 16، وأنصاف أقطار أقواس رولو 16، ونصف قطر الدائرة المقارنة 8. العرض 16 والمحيط 16π؛ كل طول تضاعف فقط مرتين.

المساحات تتضاعف أربع مرات: تصبح مساحة رولو 128(π−√3)، ومساحة الدائرة 64π. لا تصبح المساحة 64(π−√3) لمجرد أن العرض تضاعف؛ المساحة تعتمد على مربع معامل الطول.

عند إزاحة الشكلين بمقدار (2,−1)، تصير A=(2,−1)، B=(10,−1)، C=(6,4√3−1). ينتقل خطا الإسناد مع الشكل، فيصبح الحد الأفقي x=2 و x=10 بدل 0 و 8. العرض ما زال 8، والمحيط 8π، والمساحتان محفوظتين.

الدوران يحفظ المسافات بين خطي الإسناد بعد تغيير اتجاههما مع الشكل. أما تمديد المحور الأفقي وحده، فلا يحفظ العرض نفسه في جميع الاتجاهات، حتى لو بقي الشكل محدبًا. نعيد فحص الشرط بعد تغيير هندسي لا يحفظ الأطوال.

قبل استعمال المبرهنة، حدد شكلًا محدبًا مغلقًا في المستوى، وعرضًا موجبًا ثابتًا في كل اتجاه. افصل العرض من نصف قطر قوس محلي، والمحيط من المساحة. احتفظπ رمزًا دقيقًا حتى تحتاج تقريبًا، واكتب وحدة طول للمحيط ووحدة مربعة للمساحة.