مبرهنة روث: مساحة مثلث التقاطعات ونسبة السُّبع

الخلاصة السريعة

تحدد مبرهنة روث نسبة مساحة مثلث التقاطعات الثلاثة إلى مساحة المثلث الأصلي من نسب تقسيم أضلاعه. إذا كانت النسب الدورية الثلاث 2، فالنسبة 1/7. [1] مثلث التقاطعات يختلف عن المثلث الذي يصل نقاط التقسيم نفسها.

• نختار D داخل BC و E داخل CA و F داخل AB، ونكتب x=BD/DC و y=CE/EA و z=AF/FB. في المثال x=y=z=2، والنقاط D=(4,8)، E=(0,4)، F=(8,0).
• التقاطعات هي P=AD∩BE، Q=BE∩CF، R=CF∩AD. نحصل على P=(12/7,24/7)، Q=(48/7,12/7)، R=(24/7,48/7)؛ فلا نخلطها مع D و E و F.
• مساحة ABC هي 72، ومساحة PQR هي 72/7؛ النسبة 1/7. أما مساحة DEF فهي 24، أي ثلث الأصل. اختلاف المثلث المختار يغير المساحة المطلوبة.
• لحساب نسبة المساحة ρ، نحسب K=(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx)، ثم ρ=(xyz−1)²/K. في مثال 2 و 2 و 2، تكون K=343 والبسط 49، فنحصل على 1/7. [1]
• تغيير z وحدها إلى 1/2 يعطي F=(4,0) ومساحة 36/35، أي نسبة 1/70. وتغييرها إلى 1/4 يجعل F=(12/5,0) وتتطابق التقاطعات الثلاثة عند P؛ المساحة صفر، وليست مثلثًا صغيرًا ذا مساحة موجبة.
• الصيغة المستخدمة تخص نقاطًا داخل الأضلاع ونسبًا موجبة ومثلثًا غير منعدم. التكبير بعامل 2 يجعل المساحتين 288 و 288/7، ويبقي النسبة 1/7. القص الأفقي (x,y)↦(x+y,y) يغير الزوايا ويحفظ هذه المساحات، فلا نشترط زاوية قائمة.

ثبت نقاط التقسيم واتجاه النسب

نأخذ A=(0,0)، B=(12,0)، C=(0,12). نختار نقطة D من داخل BC، و E من داخل CA، و F من داخل AB. المقصود بالداخل أن النقطة تختلف عن رأسي الضلع؛ بذلك تكون أجزاء الضلع ومقامات النسب موجبة.

نكتب x=BD/DC و y=CE/EA و z=AF/FB. هذه دورة من B إلى C، ثم C إلى A، ثم A إلى B. النسبة 2 تعني أن الجزء الأول ضعف الثاني؛ لا تعني أن نقطة التقسيم تبعد وحدتين عن الرأس.

عند x=2، يقطع المسار من B إلى C ثلثي الضلع قبل D. إذن D=(4,8). وعند y=2، نقطع ثلثي CA من C، فنجد E=(0,4). وعند z=2، نقطع ثلثي AB من A، فنجد F=(8,0).

القطع الواصلة هي AD و BE و CF. تصل كل قطعة رأسًا بنقطة من الضلع المقابل. المطلوب هنا مساحة الشكل الذي تحصره هذه القطع عند تقاطعها زوجيًا، لا اختبار التلاقي وحده، ولا مساحة المثلث DEF.

حل تقاطع كل زوج على حدة

الخط AD يمر بالنقطتين (0,0) و (4,8)، فمعادلته y=2x. والخط BE يمر بالنقطتين (12,0) و (0,4)، فمعادلته y=4−x/3. بمساواة المعادلتين نجد 2x=4−x/3، ومنه 7x=12، فيكون P=(12/7,24/7).

الخط CF يصل C=(0,12) بـ F=(8,0)، فمعادلته y=12−3x/2. يتقاطع مع BE عندما 4−x/3=12−3x/2؛ وهذا يعطي x=48/7 و y=12/7، أي Q=(48/7,12/7).

ولحساب R، نساوي معادلتي CF و AD: 2x=12−3x/2. نحصل على x=24/7 و y=48/7، أي R=(24/7,48/7). تظهر النقاط الثلاث مختلفة، فلا يوجد تلاقٍ ثلاثي في هذا الاختيار.

افحص كل نقطة في المعادلتين اللتين أنتجتاها. مثلًا عند Q، يعطي BE القيمة 4−(48/7)/3=12/7، ويعطي CF القيمة 12−(3/2)(48/7)=12/7 نفسها. الجدول يحفظ إحداثيات كل تقاطع بدقة قبل أي تقريب.

احسب مساحة مثلث التقاطعات بالمحدد

مساحة ABC تساوي نصف حاصل ضرب القاعدة 12 في الارتفاع 12، أي 72 وحدة مربعة. لنكتب[PQR] لمساحة المثلث PQR، وبالمثل[ABC] و[DEF]؛ الأقواس هنا أسماء مساحات، لا أطوال قطع.

من P إلى Q يكون المتجه Q−P=(36/7,−12/7)، ومن P إلى R يكون R−P=(12/7,24/7). المحدد يساوي (36×24+12×12)/49=144/7. نصف القيمة المطلقة للمحدد يعطي[PQR]=72/7.

نقسم 72/7 على 72، فنحصل على[PQR]/[ABC]=1/7. هذا حساب إحداثي مستقل للمثال، وليس مساحة نقيسها من عدد بكسلات الصورة. الرسم يبين المنطقة المقصودة، بينما الكسور تحدد النتيجة.

إذا وصلنا D و E و F نفسها، وجدنا المتجهين E−D=(−4,−4) و F−D=(4,−8). محددهما 48، فنحصل على[DEF]=24، أي[DEF]/[ABC]=1/3. لا نستعمل هذه القيمة مكان 72/7؛ لقد غيّرنا الرؤوس والمثلث المطلوب.

النسبة 1/7 تخص المساحات. لا يلزم أن تكون نسبة كل ضلع من PQR إلى ضلع من ABC مساوية لها، ولا أن يكون المثلثان متشابهين. مقارنة مساحة بمساحة تختلف عن مقارنة طول بطول.

استعمل صيغة روث للنسب الموجبة

لتكن ρ=[PQR]/[ABC]. بحسب مبرهنة روث، نحسب K=(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx)، ثم ρ=(xyz−1)²/K. [1] نستعمل التعريفات الدورية x=BD/DC و y=CE/EA و z=AF/FB نفسها؛ مع النسب الموجبة تكون عوامل المقام موجبة.

عند x=y=z=2، يكون xyz=8. عوامل المقام الثلاثة هي 1+2+2×2=7، فالمقام 343. والبسط (8−1)²=49؛ لذلك ρ=49/343=1/7، وهي النتيجة التي وجدناها من إحداثيات P و Q و R.

لا يكفي ضرب نسب التقسيم ثم كتابة الناتج كنسبة مساحة. الحاصل 8 في المثال ليس 8 أمثال المساحة، ولا 1/8 منها؛ تدخل القيم الثلاث في عوامل المقام أيضًا. اكتب العوامل قبل التبسيط لتمنع الخلط.

بعد حساب ρ، اضربها في مساحة المثلث الأصلي لإيجاد المساحة المطلوبة. إذا كانت مساحة مثلث آخر 70 سم² وكانت النسب الثلاث 2 في الاتجاه المحدد، فمساحة مثلث تقاطعاته 10 سم². تبقى ρ عددًا بلا وحدة، أما المساحة الناتجة فبوحدة مربعة.

تغيير نقطة واحدة قد يصغر المثلث أو يلغي مساحته

أبق x=y=2، ثم اجعل z=1/2. هذا يعني AF/FB=1/2، ومع AB=12 نحصل على AF=4 و FB=8، أي F=(4,0). تغير موضع F نفسه؛ ليست العملية مجرد إعادة تسمية للكسر مع بقاء النقطة.

الآن xyz=2، فتكون قيمة البسط 1. عوامل المقام 7 و 4 و 5/2، وحاصل ضربها 70؛ إذن ρ=1/70 و[PQR]=36/35. التقاطعات تصبح P=(12/7,24/7)، Q=(3,3)، R=(12/5,24/5). تبدلت Q و R، بينما بقي P ثابتًا لأن AD و BE لم يتغيرا.

بعد ذلك اجعل z=1/4. تقسم AB إلى جزء AF وأربعة أجزاء FB، فيكون F=(12/5,0). الحاصل 2×2×(1/4)=1، فالبسط صفر. عند هذه النقطة يصبح CF ذا المعادلة y=12−5x ويمر بـ P=(12/7,24/7).

عند xyz=1 تتلاقى القطع الثلاث، ويتطابق P و Q و R؛ هذه حالة سيفا ذات مساحة صفر في صيغة روث. [1] الصفر لا يعني مثلثًا غير منعدم له مساحة شديدة الصغر.

وعند اختيار المنتصفات تكون x=y=z=1. تلتقي المتوسطات عند (4,4) في مثالنا، فمساحة مثلث تقاطعاتها صفر أيضًا. هذا يختلف عن مثلث المنتصفات نفسه، الذي يتكون من نقاط الأضلاع وتبلغ مساحته ربع مساحة الأصل.

شكل المثلث والتكبير وحدود الصيغة

لا يشترط الحساب زاوية قائمة. لتوضيح ذلك، طبق التحويل (x,y)↦(x+y,y) على جميع النقاط. يتحول C إلى (12,12)، وتتحول D إلى (12,8) و E إلى (4,4)، بينما يبقى F=(8,0). بقيت النسب 2 و 2 و 2 على الأضلاع.

هذا القص يحول المتجهين (1,0) و (0,1) إلى (1,0) و (1,1)، ومحدد التحويل 1. لذلك يحفظ المساحات: تبقى[ABC]=72 و[PQR]=72/7، مع أن الزاوية عند A لم تعد قائمة. لا تعتمد نسبة السُّبع على رسم المثلث قائمًا.

إذا كبرنا جميع الأطوال بعامل 2، أصبحت مساحتا ABC و PQR هما 288 و 288/7. كل مساحة تضاعفت أربع مرات، فتظل النسبة 1/7. أما إزاحة جميع النقاط بمقدار (1,−2) أو دورانها بزاوية قائمة فتحفظ المساحتين نفسهما.

نقتصر هنا على نقاط داخل الأضلاع ونسب موجبة ومثلث أصلي غير منعدم المساحة. لا نضع نقطة عند رأس ثم نقسم على جزء طوله صفر، ولا نستخدم أطوالًا موجبة بلا إشارات لنقاط على الامتدادات. الصيغ الأوسع تحتاج اتفاقات وشروطًا إضافية.

قبل التعويض، حدد D و E و F، وثبت دورة الكسور، ثم حدد أي مثلث تريد مساحته. احسب ρ أولًا، ثم اضربها في مساحة ABC. إذا أعطى البسط صفرًا، افحص التلاقي بدل رسم منطقة ملونة توحي بوجود مثلث.