مبرهنة كارنو: متى تلتقي ثلاثة أعمدة على أضلاع مثلث؟

الخلاصة السريعة

تلتقي الأعمدة المقامة عند D على AB، و E على BC، و F على CA، إذا وفقط إذا تحقق (AD²−DB²)+(BE²−EC²)+(CF²−FA²)=0. [1]

• نحدد نقاط القدم قبل البحث عن الملتقى. في المثال D=(3,0)، E=(139/25,148/25)، F=(11/5,22/5)، وكلها داخل أضلاع المثلث. ليست هذه النقاط رؤوسًا، ولا نطلب أن تكون منتصفات.
• مربعات الجزأين على AB هي 9 و 49، وعلى BC هي 1369/25 و 169/25، وعلى CA هي 81/5 و 121/5. الفروق −40 و 48 و −8 مجموعها 0. نطرح مربعات الأطوال، لا الأطوال نفسها.
• خطوط الأعمدة هي x=3 و 3x−4y=−7 و x+2y=11. الأولان يلتقيان عند P=(3,4)، وتحقق P الثالث؛ التعامد مع اتجاه كل ضلع يُفحص بضرب قياسي صفري.
• يُثبت الشرط بإلغاء فروق مربعات المسافات إلى الرؤوس حول المثلث. وللعكس، يحدد عمودان نقطة، ويجبر المجموع الصفري العمود الثالث على المرور بها. [1]
• إذا نقلنا F إلى J=(2,4)، صار فرق مربعَي الجزأين على CA صفرًا، والمجموع 8. خط العمود الجديد x+2y=10 لا يمر بـ P؛ باقيه 1، والمسافة العمودية إلى P هي 1/√5.
• اختيار منتصفات الأضلاع الثلاثة كلها يعطي ملتقى (5,5/2) في مثلثنا؛ تغيير قدم واحدة فقط لا يكفي. التكبير بعامل 2 يضرب الفروق في 4، ويحفظ كون مجموعها صفرًا أو غير صفر.

نقاط القدم أولًا، ثم شرط التلاقي

نعالج مثلثًا غير منعدم وأقدامًا داخل أضلاعه، كما في المرجع. [1]

نبدأ هنا من نقاط القدم المعطاة، ولا نفترض أن الأعمدة تخرج من نقطة واحدة. نختبر ذلك بالحساب. ولا نبحث عن استقامة D و E و F؛ اجتماع خطوط الأعمدة واستقامة أقدامها سؤالان مختلفان، كما يظهر عند مقارنة البناء بخط سيمسون.

ثبّت ترتيب الرؤوس A ثم B ثم C، واقرأ الأجزاء وفق هذا الاتجاه: AD ثم DB، و BE ثم EC، و CF ثم FA. في كل فرق نطرح مربع الجزء الثاني من مربع الأول. عكس ترتيب كل الفروق يغير إشارة المجموع فقط، لكن عكس فرق واحد يغير الاختبار.

كل مربع طول غير سالب، لكن الفرق قد يكون سالبًا. مثلًا 9−49=−40 لا يعني طولًا سالبًا؛ يعني أن الجزء DB أطول من AD. إذا قست الأطوال بالسنتيمتر، كانت الفروق بوحدة السنتيمتر المربع.

احسب مربعات الأجزاء دون تقريب الكسور

في مثالنا AB²=100، و BC²=(4−10)²+8²=100، و CA²=4²+8²=80. مواضع الأقدام هي D=A+(3/10)(B−A)، و E=B+(37/50)(C−B)، و F=C+(9/20)(A−C). المعاملات الثلاثة بين 0 و 1، فتقع الأقدام على القطع نفسها.

على AB، طول AD هو 3 وطول DB هو 7. لذلك AD²=9 و DB²=49، والفرق −40. هذا ضلع أفقي؛ لا نحتاج إلى جذور أو حساب مثلثات لنراجع الجزأين.

على BC، طول الضلع 10 ومعامل E هو 37/50. إذن BE=37/5 و EC=13/5. مربعا الطولين 1369/25 و 169/25، والفرق 1200/25=48. نحافظ على المقام المشترك عند الطرح.

على CA، مربع الطول 80. معامل F من C نحو A هو 9/20، فيكون CF²=(9/20)²×80=81/5. الجزء الآخر معامله 11/20، فيكون FA²=(11/20)²×80=121/5. الفرق −40/5=−8.

اجمع الفروق الثلاثة: −40+48−8=0. الجدول يعرض مربعات الأطوال لا الأطوال. لا تستعمل العدد 80 على أنه طول CA؛ طولها√80=4√5. وفي هذا المثال لا نحتاج تقريب ذلك الجذر لحساب الفرق.

اكتب خطوط الأعمدة وافحص النقطة الثالثة

لأن AB أفقي، فالعمود عند D=(3,0) رأسي ومعادلته x=3. اتجاه BC هو (−6,8)، ويمكن اختصاره إلى (−3,4). العمود عند E يكتب 3x−4y=−7: عند E، الطرف الأيسر (417−592)/25=−7.

اتجاه هذا العمود (4,3). ضربه القياسي في اتجاه BC المختصر هو −12+12=0. إذن المعادلة تمر بالقدم الصحيحة وتحدد اتجاهًا عموديًا؛ مجرد المرور بالقدم لا يكفي لو كان الميل خاطئًا.

بحل x=3 مع 3x−4y=−7 نحصل على 9−4y=−7، أي y=4. لهذا يتقاطع العمودان عند P=(3,4). خط العمود عند F هو x+2y=11، واتجاهه (2,−1)، بينما اتجاه CA يمكن اختصاره إلى (−1,−2)؛ ضربهما −2+2=0.

عند F نجد 11/5+2×22/5=11. وعند P نجد 3+2×4=11. لذلك الخط الثالث يمر بكل من القدم والنقطة المحسوبة. قيمة الباقي صفراً في المعادلات الثلاث تؤكد الاجتماع بدقة.

يمكن مراجعة مربعات المسافات من P إلى الرؤوس: PA²=25، و PB²=65، و PC²=17. الفروق PA²−PB²=−40، و PB²−PC²=48، و PC²−PA²=−8، فتطابق فروق الجدول. هذه مراجعة مستقلة للأرقام نفسها.

لماذا الشرط لازم وكافٍ؟

لضلع UV وقدم H عليه، اكتبδ(X)=XU²−XV². بتوسيع المربعات،δ(X)−δ(H)=2(X−H)·(V−U). إذنδ(X)=δ(H) يكافئ وقوع X على العمود عند H. [1]

إذا اجتمعت الأعمدة عند X، استبدل فروق الأجزاء بفروق المسافات X إلى الرؤوس. مجموعها (XA²−XB²)+(XB²−XC²)+(XC²−XA²)=0؛ تتلاشى الحدود. [1]

للعكس، تقاطع العمودين الأولين موجود ووحيد لأن ضلعي مثلث غير منعدم ليسا متوازيين. عند تقاطعهما X، يفرض المجموع الصفريδ(X)=δ(F) للضلع CA؛ فتضمن الهوية مرور العمود الثالث بـ X. [1]

غيّر قدمًا واحدة مع إبقاء التعامد

أبقِD و E كما هما، لكن ضع القدم الثالثة J=(2,4)، منتصف CA. عندها CJ²=JA²=20، فيكون فرق الجزأين 0 بدل −8. يصبح المجموع −40+48+0=8، ولذلك لا تجتمع الأعمدة الثلاثة.

خط العمود عند J هو x+2y=10، وله الاتجاه نفسه (2,−1) كما في العمود السابق. يتعامد مع CA، ويمر بـ J لأن 2+2×4=10. لكنه لا يمر بنقطة تقاطع الأولين P=(3,4)، لأن 3+2×4=11.

الباقي 11−10=1 ليس المسافة العمودية. لقيمة Ax+By−c عند نقطة، تُحسب المسافة إلى الخط بقسمة القيمة المطلقة على√(A²+B²). هنا المسافة 1/√5. قدم إسقاط P على الخط الجديد هي N=(14/5,18/5)، وتحقق 14/5+2×18/5=10.

متجه NP=(1/5,2/5)، ومربع طوله 1/25+4/25=1/5. وهو عمودي على اتجاه الخط (2,−1)، لأن 2/5−2/5=0. يوضح الرسم القصير بين N و P هذا الفراغ؛ لا نحرك P لنجعل الخطوط تبدو مجتمعة.

إذا استخدمنا الأطوال بدل مربعاتها في الحالة الأصلية، كان المجموع 3−7+37/5−13/5+(9/20−11/20)×4√5=(4−2√5)/5، وهو غير صفر رغم اجتماع الأعمدة. لذلك لا يمكن حذف التربيع من الشرط.

منتصفات الأضلاع والتكبير وحدود الاستعمال

لو اخترنا منتصفات الأضلاع الثلاثة، كانت D₀=(5,0)، E₀=(7,4)، F₀=(2,4). كل فرق من مربعي الجزأين يساوي 0. أعمدتها في هذا المثلث x=5، و 3x−4y=5، و x+2y=10، وتتلاقى عند O=(5,5/2).

للفحص، عند O نجد 3×5−4×5/2=5، و 5+2×5/2=10. مربعات المسافات إلى A و B و C تساوي 125/4 جميعًا. أما الخطأ السابق فقد جعل قدمًا واحدة منتصفًا مع إبقاء القدمين الأخريين؛ لم يحول الأعمدة الثلاثة إلى منصفات عمودية للأضلاع.

عند التكبير بعامل 2، تصبح P=(6,8)، وتصبح مربعات الأجزاء أربعة أمثال قيمها. الفروق −160 و 192 و −32 مجموعها 0. وفي الاختبار المضاد يصبح المجموع 32 بدل 8. تكبير الرسم لا يصلح إخفاق الشرط؛ يغير مقياسه فقط.

يشترط المقال مثلثًا ذا مساحة موجبة. لو وقعت A و B و C على خط واحد، صارت أعمدة الأضلاع متوازية أو متطابقة، ولم يعد تقاطع الأولين نقطة وحيدة كما في البرهان. لا نستبدل هذا الشرط بإظهار ثلاثة خطوط داخل إطار الصورة.

النتيجة تتعلق بخطوط كاملة لا بقطع قصيرة تنتهي عند حواف الرسم. وقد لا تقع نقطة التقاطع داخل المثلث. نعالج نقاط القدم الداخلية التي قرأنا بيانها في المرجع؛ إذا ظهرت أقدام على امتدادات الأضلاع، فراجع صياغة المسألة وحدود المرجع قبل تطبيقها.

توجد نتائج أخرى تحمل اسم كارنو؛ اكتب «كارنو للأعمدة» حتى تحدد هذا السؤال الهندسي. فحصنا 55 مثلثًا إضافيًا بأقدام داخلية، مع تغيير القدم الثالثة في كل حالة. هذه اختبارات حسابية محددة، أما البرهان العام فهو الحجة اللازمة والكافية أعلاه.