مبرهنة ماردن: جذرا المشتقة هما بؤرتا القطع الناقص

الخلاصة السريعة

إذا كانت جذور كثير حدود تكعيبي غير مستقيمة، فجذرا مشتقته هما بؤرتا قطع شتاينر الناقص الذي يمس أضلاع مثلث الجذور عند منتصفاتها. [1]

• نأخذ P(z)=z(z−6)(z−2−4i). الجذور تعطي A=(0,0)، B=(6,0)، C=(2,4)، ومساحة المثلث 12. نمثل الجزء الحقيقي أفقيًا والتخيلي رأسيًا.
• المشتقة P′(z)=3z²−(16+8i)z+12+24i. عند g=(8+4i)/3 تصبح P′(z)=3[(z−g)²−(4/9)(3−2i)]؛ جذراها g±(2/3)w، حيث w²=3−2i.
• معادلة القطع في المثال 4x²+2xy+7y²−24x−24y+36=0. يمس الأضلاع عند D=(3,0)، E=(4,2)، N=(1,2). المركز G=(8/3,4/3) يختلف عن نقاط التماس.
• نكتب w=α−iβ، معα²=(√13+3)/2 وβ²=(√13−3)/2، وكلاهما موجب. البؤرتان G±(2/3)(α,−β)؛ مربع البعد البؤري 4√13/9 يساوي فرق مربعي نصفي المحورين.
• تدوير متجه البؤرة ربع دورة يعطي H₁ و H₂، لكنه لا يعطي بؤرتين صحيحتين. عندهما P′=−8+16i/3، قيمة غير صفرية. تساوي البعد عن المركز لا يكفي لاختيار الاتجاه.
• نشترط ثلاثة جذور غير مستقيمة لتكعيبية. [1] لا نعمم على درجات أعلى. المركز ليس جذرًا للمشتقة: P′(g)=−4+8i/3. نراجع المثال، ولا نبرهن المبرهنة العامة.

حوّل جذور التكعيبية إلى مثلث

نثبت P(z)=z(z−6)(z−2−4i). كل عامل خطي يحدد جذرًا: 0 و 6 و 2+4i. نضعها في المستوى العقدي عند A=(0,0)، B=(6,0)، C=(2,4). العلاقة i²=−1 تُستخدم في الحساب، لا بوصفها إحداثيًا ثالثًا.

القاعدة AB طولها 6، وارتفاع C عنها 4؛ المساحة 6×4/2=12. الرؤوس ليست مستقيمة، وهذا يحقق شرط المبرهنة. [1] يمكن ملاحظة عدم التناظر من مربعي الساقين: AC²=20 و BC²=32.

المنتصفات هي D=(3,0) للقاعدة، و E=(4,2) للضلع BC، و N=(1,2) للضلع CA. متوسط إحداثيات الرؤوس G=(8/3,4/3). سنميز المركز G من البؤرتين ومن نقاط التماس الثلاث.

احسب المشتقة وأكمل المربع

نوسع حاصل الضرب: (z−6)(z−2−4i)=z²−(8+4i)z+12+24i. بعد الضرب في z تصبح P(z)=z³−(8+4i)z²+(12+24i)z. اشتقاق الحدود يعطي P′(z)=3z²−(16+8i)z+12+24i.

نقسم المعادلة P′(z)=0 على 3. نصف معامل z مع تغيير الإشارة هو g=(8+4i)/3. مربع هذا العدد (48+64i)/9؛ وبعد طرح 4+8i يبقى (12−8i)/9=(4/9)(3−2i). لذلك تصح صيغة المربع في الخلاصة.

نحتاج عددًا w مربعه 3−2i. نضع w=α−iβ، حيثα وβ موجبان، ونختارα²=(√13+3)/2 وβ²=(√13−3)/2. الفرقα²−β²=3، والحاصلα²β²=1؛ ومن الإشارتين الموجبتين نجدαβ=1، فتكون w²=3−2i.

إذن الحلان z=g+(2/3)w و z=g−(2/3)w. بإعادة تربيع z−g نحصل على (4/9)(3−2i)، فتصفر المشتقة في الحالتين. إشارة± تعطي العددين؛ ليست اختيارًا لإلغاء أحد الجذرين.

راجع القطع الناقص ونقاط التماس

في هذا المثلث نختبر المعادلة 4x²+2xy+7y²−24x−24y+36=0. عند D و E و N يكون الطرف الأيسر صفرًا. الحد 2xy يشير إلى أن محوري الشكل لا ينطبقان على محوري الإحداثيات.

على AB نضع y=0، فيصبح الطرف 4(x−3)². وعلى BC نضع y=6−x، فيصبح 9(x−4)². وعلى CA نضع y=2x، فيصبح 36(x−1)². لكل خط تقاطع واحد مضاعف، عند منتصف ضلعه؛ فهي مماسات، لا مجرد خطوط قريبة في الصورة.

ننقل الأصل إلى G بكتابة X=x−8/3 و Y=y−4/3. تصبح المعادلة 4X²+2XY+7Y²=12. المصفوفة المتناظرة Q=((4,1),(1,7)) تحدد هذا المقدار؛ قيمتاها الذاتيتانμ₁=(11−√13)/2 وμ₂=(11+√13)/2 موجبتان.

بعد تدوير المحورين يكون مربعا نصفيهما a²=12/μ₁=(22+2√13)/9 و b²=12/μ₂=(22−2√13)/9. لأنμ₁ أصغر، يكون a أكبر. لا نقرأ نصف المحور من المقام 4 أو 7 في المعادلة المائلة دون هذا التحويل.

طابق الجذرين مع البؤرتين واتجاه المحور

لبؤرتي القطع الناقص، مربع المسافة من المركز هو c²=a²−b²، والبؤرتان على المحور الأكبر. [2] في المثال نجد c²=4√13/9. هذا يحدد البعد، وتبقى مراجعة الاتجاه.

متجه الجذر عن المركز هو v=(2/3)(α,−β). مربع طوله (4/9)(α²+β²)=4√13/9. وهو البعد نفسه الذي استخرجناه من نصفي المحورين؛ التطابق الدقيق يسبق التقريب في الرسم.

للاتجاه نضرب Q في (α,−β). باستعمالαβ=1 نجد Q(α,−β)=μ₁(α,−β): إذ (4−μ₁)α=β، و (7−μ₁)β=α. المتجه إذن على اتجاه المحور الأكبر، وليس على أي خط مار بالمركز.

البؤرة F₁ تقع عند G+v، و F₂ عند G−v. تقريبهما (3.878,0.966) و (1.455,1.700) يساعد على الرسم فقط. النتيجة الجبرية تصفر المشتقة، والنتيجة الهندسية تعطي الاتجاه والبعد البؤري نفسيهما.

البعد الصحيح مع الاتجاه الخاطئ لا يكفي

لنبقِ المركز والبعد، ثم ندور v ربع دورة عكس عقارب الساعة. في الكتابة العقدية يتحول (2/3)w إلى (2/3)iw؛ لأن الضرب في i يرسل (α,−β) إلى (β,α). نضع H₁ و H₂ عند G±(2/3)(β,α).

مربع المتجه الجديد هو −(4/9)(3−2i)؛ علامة السالب تأتي من i²=−1. في صيغة المشتقة نطرح (4/9)(3−2i) مرة أخرى، فنجد P′(H₁)=P′(H₂)=−8+16i/3. الجزء الحقيقي −8 يمنع أن تكون القيمة صفرًا.

النقطتان الخاطئتان متناظرتان حول G وبالبعد c نفسه. بل تقعان داخل قطع المثال، لأن c²<b²: تكافئ المقارنة 6√13<22، وهي صحيحة بعد التربيع. هذا الاحتواء لا يحولهما إلى بؤرتين أو جذري مشتقة.

يظهر الرسم الداخلي الزوج الصحيح والزوج المدور بألوان مختلفة. لا نختار زوجًا لأنه يبدو متناظرًا أو قريبًا من حد القطع؛ نجمع اختبار المشتقة مع اتجاه المحور الأكبر والبعد البؤري.

المركز والشروط وحدود هذا المثال

عند z=g يختفي المربع، فتكون P′(g)=−4+8i/3. المركز متوسط الجذرين الصحيحين، لكنه ليس أحدهما في مثالنا. لذلك لا نستبدل حل التربيعية بأخذ متوسط جذور الأصل وحده.

نستعمل ثلاثة جذور غير مستقيمة، كي نحصل على مثلث ذي مساحة موجبة. [1] الجذور المتكررة أو المستقيمة لا تعطي هذا المثلث، ولا نرسم لها القطع الداخلي نفسه بلا فحص جديد.

الضرب في ثابت غير صفري لا يغير المثال: إذا R(z)=5P(z)، فإن R′(z)=5P′(z)، فتظل الجذور والبؤرتان. هذا فحص جبري؛ لا يغير مواضع النقاط ولا يحتاج تكبير الصورة.

هذه المراجعة تخص التكعيبية المحددة، وتتحقق من حساب جذري مشتقتها وتفسيرهما الهندسي. المبرهنة العامة مستندة إلى المرجع، ولا نقدم برهانها لكل مثلث. ولا نمد وصف البؤرتين إلى درجات أعلى دون نتيجة أخرى.