مبرهنة هاروكي: ستة أوتار وحاصلان متساويان

الخلاصة السريعة

في بناء هاروكي، تتقاطع كل دائرتين في نقطتين، وتوصل نقاط التقاطع بستة أوتار مرتبة دوريًا. تحقق الأطوال المتناوبة ace=bdf، أو (a/b)(c/d)(e/f)=1. [1][2]

• دوائرنا مراكزها O1=(0,0)، O2=(6,0)، O3=(2,3)، وأنصاف أقطارها 5 و 5 و 6. معادلاتها x²+y²=25 و (x−6)²+y²=25 و (x−2)²+(y−3)²=36. نختبر التقاطع بالمعادلات، لا بمجرد تداخل الألوان.
• نقطتا الدائرتين الثانية والثالثة A=(2,−3) و A′=(194/25,117/25). ونقطتا الثالثة والأولى B=(56/13,−33/13) و B′=(−4,3). ونقطتا الأولى والثانية C=(3,4) و C′=(3,−4)؛ الست كلها مختلفة.
• نعرف a=AB′ و b=B′C و c=CA′ و d=A′B و e=BC′ و f=C′A. هذه دورة A→B′→C→A′→B→C′→A. الأطوال 6√2 و 5√2 و 17√2/5 و 102√26/65 و 5√26/13 و√2، بهذا الترتيب.
• النسب a/b=6/5 و c/d=√13/6 و e/f=5/√13. حاصلها 1 بعد إلغاء 5 و 6 و√13. كما أن ace=bdf=204√26/13؛ تربيع كل حاصل يعطي 83232/13 بالضبط.
• تجميع القطع الثلاث الأولى يعطي abc=204√2، بينما الثلاث الأخيرة def=204√2/13. النسبة abc/def=13، لا 1. الدوائر والنقاط لم تتغير؛ الخطأ في ترتيب المجموعتين اللتين نقارنهما.
• الأطوال موجبة، وهي أوتار مستقيمة وليست أقواسًا. التكبير بعامل 2 يجعل الحاصلين 1632√26/13، لأن كل حاصل يجمع ثلاثة عوامل طول. الإزاحة تحفظ الأطوال والنسب. لا نستعمل صيغة الكسور عند تطابق طرفي قطعة أو في حالة تماس بدل تقاطعين.

ابدأ بثلاث دوائر ذات تقاطعات فعلية

نختار O1=(0,0)، O2=(6,0)، O3=(2,3)، مع أنصاف أقطار 5 و 5 و 6 على الترتيب. المراكز ليست على خط واحد؛ المحدد للمتجهين (6,0) و (2,3) يساوي 18. الدائرة الثالثة أكبر قليلًا، والمثال لا يفترض تساوي أنصاف الأقطار الثلاثة.

معادلات المحيطات هي x²+y²=25 و (x−6)²+y²=25 و (x−2)²+(y−3)²=36. الطرف الأيمن مربع نصف القطر؛ العدد 36 في المعادلة الثالثة لا يجعل نصف قطرها 36. المقارنة والتعويض يجب أن يكونا في نظام إحداثيات واحد.

نفحص عدد نقاط التقاطع: مربع بعد O1 عن O2 هو 36، وبين O1 و O3 هو 13، وبين O2 و O3 هو 25. هذه الأبعاد تقع بين فرق نصفَي القطر ومجموعهما لكل زوج. وسنستخرج نقطتين مختلفتين لكل زوج مباشرة، فلا نعتمد على هذا الفحص وحده.

تحتاج المبرهنة إلى تقاطع كل زوج في نقطتين. [1] وجود منطقة مشتركة بين قرصين لا يكفي لتحديد ستة أطوال، ولا يكون التماس ذا النقطة الواحدة هو البناء المستعمل هنا. سنحافظ أيضًا على ست نقاط مختلفة، حتى تبقى جميع الأوتار المطلوبة موجبة.

الصورة ترسم المحيطات بخطوط رمادية، والقطع المطلوبة بلونين. المراكز O1 و O2 و O3 مجرد مرجع للدوائر؛ لا ندخل المسافات بينها في حاصل الأوتار. سنسمي نقاط المحيط بأحرف A و B و C ومعها العلامة′ للنقطة الثانية من كل زوج.

استخرج نقطتي كل زوج ولا تخلط أسماءهما

بطرح معادلتي الدائرتين الأولى والثانية، نحصل على x=3. ثم 9+y²=25، أي y²=16. لذلك نقطتاهما C=(3,4) و C′=(3,−4). الفرق بين علامتي y أساسي؛ حذف النقطة السفلى سيحذف أحد الأطوال الستة.

بين الأولى والثالثة، يعطي طرح المعادلتين 2x+3y=1. نقطتا الحل B=(56/13,−33/13) و B′=(−4,3). في B يكون 2x+3y=(112−99)/13=1، ومربع بعدها عن O1 هو (3136+1089)/169=25؛ فتحقق المعادلتين معًا.

بين الثانية والثالثة، الخط المشترك −4x+3y=−17. عند A=(2,−3) يعطي −8−9=−17، وبعدها المربع عن O2 هو 16+9=25. وعند A′=(194/25,117/25)، فرقها عن O2 هو (44/25,117/25)، ومجموع المربعين (1936+13689)/625=25.

نراجع الدائرة الثالثة أيضًا: فرق A عن O3 هو (0,−6)، ومربع البعد 36. وفرق A′ هو (144/25,42/25)، ومجموع المربعين (20736+1764)/625=36. التحقق من دائرة واحدة لا يثبت أن النقطة تقاطع دائرتين.

في هذا المثال A و B و C داخل القرص الثالث غير المشترك في تعريف كل منها، بينما A′ و B′ و C′ خارجه. مثلًا A لها مربع بعد 13 عن O1، أصغر من 25، و C لها مربع بعد 2 عن O3، أصغر من 36. العلامة′ لا تعني مشتقة ولا إزاحة؛ إنها اسم للنقطة الأخرى.

العضوية هي A و A′ على الثانية والثالثة، و B و B′ على الثالثة والأولى، و C و C′ على الأولى والثانية. تثبيت هذا الربط يمنع رسم وتر بين نقطتين لا تشتركان في دائرة. لكل قطعة في الدورة التالية دائرة واحدة تحتوي طرفيها.

رتب الأوتار في دورة واحدة ثم احسب مربعاتها

نبدأ من A، ونصل إلى B′ ثم C ثم A′ ثم B ثم C′، ونعود إلى A. نعرف a=AB′ و b=B′C و c=CA′ و d=A′B و e=BC′ و f=C′A. هذه ست قطع مستقيمة؛ لا نستعمل طول القوس بين الطرفين بدل طول القطعة.

للقطعة AB′ فرق الإحداثيات (−6,6)، فيكون a²=72 وطولها a=6√2. وللقطعة B′C الفرق (7,1)، فيكون b²=50 و b=5√2. لا نجمع الإحداثيين للحصول على طول، بل نجمع مربعي الفروق ثم نأخذ الجذر الموجب.

بين C و A′ الفرق (119/25,17/25)، لذلك c²=(14161+289)/625=578/25، و c=17√2/5. المقام 25 في فروق الإحداثيات يُربَّع عند حساب مربع الطول؛ ليست c مساوية 578/25 نفسها.

الحساب الدقيق بين A′ و B يعطي d²=20808/325. وبالتبسيط يكون d=102√26/65، لأن مربعه 270504/4225 يساوي 20808/325. نحتفظ بهذه الصورة الجذرية كي تتضح النسب، بدل تقريب القطعة إلى عدد عشري قبل ضربها.

بين B و C′ الفرق (−17/13,−19/13)، فيكون e²=(289+361)/169=50/13، ومنه e=5√26/13. أما C′A ففرقها (−1,1)، فيكون f²=2 و f=√2. يلخص الجدول القطع الست مع أطوالها؛ المربعات موثقة في الحساب السابق.

قارن الأطوال المتناوبة لا مجموعاتها المتجاورة

من الأطوال المحسوبة، a/b=6/5. وللنسبة c/d نحصل على (17√2/5)/(102√26/65)=√13/6. والنسبة e/f=(5√26/13)/√2=5/√13. كلا البسط والمقام في كل نسبة طولان موجبان، فلا توجد قسمة على صفر.

نضرب النسب: (6/5)(√13/6)(5/√13)=1. يلغى 6 مع 6، و 5 مع 5، و√13 مع√13. لا نحذف جذرًا من حد جمع؛ الإلغاء هنا بين عوامل ضرب كاملة في البسط والمقام.

يمكن فحص الحاصلين مباشرة: ace=(6√2)(17√2/5)(5√26/13)=204√26/13. وكذلك bdf=(5√2)(102√26/65)(√2)=204√26/13. استعملنا√2×√2=2، مع بقاء الجذر√26 في النتيجة.

ولفحص مستقل بالمربعات، a²c²e²=72×(578/25)×(50/13)=83232/13، بينما b²d²f²=50×(20808/325)×2=83232/13. المساواة بين المربعين تعطي مساواة الحاصلين لأنهما موجبان؛ لا نختار إشارة سالبة لحاصل أطوال.

في البرهان العام، يستعمل المرجع تشابه مثلثات من خواص الزوايا المحيطية ليحصل على ثلاث نسب، ثم يضربها فتُلغى الأطوال المساعدة. [2] هنا تحققنا من مثالنا بالكامل بالإحداثيات. اتفاق ستة أعداد في مثال واحد ليس وحده برهانًا لكل ثلاثة دوائر.

في الرسم الرئيسي، a و c و e بالوردي، و b و d و f بالبنفسجي. تتعاقب المجموعتان على الدورة، ولذلك يمكن تتبع كل عامل قبل استعمال ace=bdf. تساوي الحاصلين لا يعني تساوي الأطوال الستة؛ مثلًا a/b=6/5، وليست 1.

اختبر خطأ تقسيم الدورة إلى أول ثلاثة وآخر ثلاثة

نحافظ على الدوائر والنقاط نفسها، لكن نجمع a و b و c في طرف، و d و e و f في الطرف الآخر. هذا تجميع متجاور لا متناوب؛ فلا تكون abc=def هي المساواة التي أثبتناها. الصورة الثانية تلوّن هذه المجموعتين لتحدد موضع الخطأ.

حاصل أول ثلاث قطع abc=(6√2)(5√2)(17√2/5)=204√2. وحاصل آخر ثلاث def=(102√26/65)(5√26/13)(√2)=204√2/13. لذلك abc/def=13 بالضبط. التقريب لا يحول 13 إلى 1.

مربع الحاصل الأول 83232، ومربع الثاني 83232/169. نسبة المربعين 169، وهي مربع 13. هذا الفحص يكرر كشف الخطأ بأعداد نسبية، من غير أن نستبدل الأطوال بمربعاتها في الصيغة الأصلية.

لا يدل فشل abc=def على فشل المبرهنة؛ فقد أثبتنا ace=bdf بالأطوال نفسها. المطلوب إعادة ترتيب عوامل الطرفين، لا تحريك نقطة في الرسم أو تغيير نصف قطر كي يصير التجميع الخاطئ صحيحًا.

إذا قلبنا النسب الثلاث كلها، يبقى الحاصل 1 لأنه مقلوب 1. أما قلب a/b وحدها إلى b/a مع إبقاء النسبتين الأخريين، فيعطي 25/36. تغيير اتجاه نسبة واحدة يغير الحساب، رغم أن القطع الأصلية لم تتغير.

افصل الوحدات والتكبير من الحالات المنحلة

إذا كانت الأطوال بالسنتيمتر، فلكل حاصل من ثلاثة أطوال وحدةسم³. هذه وحدة حاصل الضرب، ولا تعني أننا حسبنا حجم مجسم؛ البناء كله مستوٍ. أما حاصل النسب (a/b)(c/d)(e/f) فلا وحدة له، لأن وحدة كل طول تلغى مع وحدة المقام.

عند تكبير جميع الإحداثيات وأنصاف الأقطار بعامل 2، تتضاعف الأطوال الستة مرتين. لذلك كل حاصل من ثلاثة أطوال يتضاعف بعامل 8، ويصير ace=bdf=1632√26/13. مربعات الأطوال تتضاعف بعامل 4، وحاصل ثلاثة مربعات بعامل 64.

الإزاحة بمقدار (1,−2) ترسل A إلى (3,−5)، وتنقل كل نقطة ومركز بالمقدار نفسه. تبقى فروق الإحداثيات والأطوال والحاصلان كما كانت. لا ننقل نقاط التقاطع وحدها ونترك مراكز الدوائر في أماكنها القديمة.

استعملنا ست نقاط مختلفة وقطعًا موجبة. لو تماست دائرتان، فلن نحصل على نقطتين مختلفتين لذلك الزوج، ولن يبقى البناء نفسه. ولو تطابق طرفا قطعة، صار طولها 0 وتعذرت بعض نسب القسمة. هذه الحالات لا تدخل في حسابنا ولا نستنتج لها امتدادًا من المثال.

قبل التطبيق، افحص نقاط التقاطع ودائرتَي كل نقطة، ثم اكتب الدورة وأسماء القطع، واحسب الأطوال بدقة. راجع ترتيب المجموعتين والوحدات قبل المقارنة. ولا تستعمل المساواة وحدها لإثبات أن ست نقاط عشوائية تنتمي إلى ثلاث دوائر؛ لم نقدم هنا عكس المبرهنة.