متباينة شور: لماذا تسمح المساواة بوجود صفر؟

الخلاصة السريعة

في الصيغة التي نشرحها، المساواة تتحقق مثلًا عند 2,2,2، وعند 2,2,0 أيضًا: الطرفان 48 في الأولى و 16 في الثانية. وجود صفر وحده لا يكفي؛ 0,0,2 يعطي 8 في طرف و 0 في الآخر.

• لثلاثة أعداد حقيقية غير سالبة، L مجموع المكعبات مع 3xyz، و R مجموع الحدود الستة من صورة مربع عدد مضروب في آخر؛ عندئذ L ≥ R. [1]
• في 1,2,4، نحسب L = 73 + 24 = 97 و R = 2 + 4 + 4 + 16 + 16 + 32 = 74. لا نستبدل الحدود الستة بثلاثة حدود دورية.
• المساواة عند تساوي الثلاثة، أو عند صفر وتساوي الاثنين الآخرين. [1] المثال 2,2,3 فرق طرفيه 3؛ تساوي اثنين وحده لا يكفي.
• بعد ترتيب مثالنا 4,2,1، يظهر الفرق 23 بوصفه 20 + 3 من حدين غير سالبين. البرهان التالي يوضح التحليل والإشارات؛ لا يفترض أن كل حد في الصيغة الأصلية غير سالب.
• «غير سالبة» تشمل 0. نراجع 2,2,0 و 0,0,0 و 0,0,2 كلًّا على حدة؛ لا نقسم على حاصل ضرب القيم، كي لا نحذف الحالات التي تحتوي صفرًا.
• عند −1,−2,−4 يصبح L=−97 و R=−74، والفرق −23. إذن هذه الصيغة لا تصح لجميع الأعداد الحقيقية دون قيد الإشارة. الأرقام أمثلة جبرية وليست قياسات.

نكتب الطرفين دون إخفاء عدد الحدود

في هذا المقال L = x³+y³+z³+3xyz، و R = x²y+x²z+y²x+y²z+z²x+z²y. نبحث الصيغة التكعيبية لثلاث قيم غير سالبة؛ لا نتناول صيغ شور للمصفوفات أو أي أس عام. [1]

ضع القيم 1 و 2 و 4. المكعبات 1 و 8 و 64 مجموعها 73. حاصل ضرب القيم 8، وثلاثة أمثاله 24؛ الجمع يعطي 97. لا نخلط 3xyz مع (xyz)³: مكعب الحاصل 8 هو 512، وهو حد مختلف تمامًا.

في R نأخذ مربع 1 مع 2 ثم مع 4، فنحصل على 2 و 4. مربع 2 مع 1 ثم مع 4 يعطي 4 و 16. ومربع 4 مع 1 ثم مع 2 يعطي 16 و 32. مجموعها 74؛ الصورة الرئيسية تسجل كل حد مرة واحدة.

الحد x²y لا يساوي y²x عمومًا: في القيم 1 و 2 يعطي الأول 2 والثاني 4. لهذا لا نحذف أحدهما باعتباره تكرارًا. الطرف المطلوب يحوي الاتجاهين لكل زوج، أما مجموع ثلاث ضربات مختارة فيعرّف سؤالًا آخر.

فرق الطرفين قد يحتوي حدًا سالبًا

لنكتب D = L−R. بالتوسيع، يساوي D مجموع x(x−y)(x−z) و y(y−z)(y−x) و z(z−x)(z−y). [1]

نرتب المثال 4,2,1 ونسميها x و y و z بهذا الترتيب. الحد الأول 4 × 2 × 3 = 24، والثاني 2 × 1 × (−2) = −4، والثالث 1 × (−3) × (−1) = 3. المجموع 24 − 4 + 3 = 23، ويوافق 97 − 74.

إذن العبارة «كل حد ظاهر موجب» لا تبرهن المقارنة: الحد الأوسط في مثالنا سالب. المطلوب إعادة تجميع تحافظ على قيمة D وتكشف علامة المجموع. لا نغير الإشارة السالبة إلى موجبة بحجة أن النتيجة النهائية ينبغي أن تكون موجبة.

إذا بدّلنا أسماء 1 و 2 و 4، يبقى L كما هو، لأن جمع المكعبات وحاصل الضرب لا يتغيران. ويبقى R لأن الحدود الستة موجودة جميعًا. لذلك يجوز إعادة تسمية القيم وفق ترتيبها قبل فحص الإشارات؛ لا نبدل قيمة عدد أو نحذف حدًا.

نجمع الحدين الأولين ثم نفحص الإشارات

رتب x ≥ y ≥ z ≥ 0. تجميع الحدين الأولين يحوّل D إلى مجموع (x−y)²(x+y−z) و z(x−z)(y−z). الحدّان غير سالبين؛ لذلك D ≥ 0. [1]

في 4 و 2 و 1، الحد الأول (4−2)² مضروبًا في 4 + 2 − 1، أي 4 × 5 = 20. الحد الثاني 1 مضروبًا في 4−1 ثم 2−1، أي 3. نحصل على 20 + 3 = 23، دون الحاجة إلى تقرير علامة −4 وحده.

داخل العامل x−y نجد x(x−z)−y(y−z). هذا يساوي (x−y)(x+y−z)، فتنتج صورة المربع السابقة. [1]

للمثال نفسه، داخل القوس 4 × 3 − 2 × 1 = 10. ضربه في 4−2 يعطي 20. وهذه هي 24 − 4 بعد جمع الحدين الأصليين. إعادة كتابة المجموع تفسر لماذا يكفي التعويض الصحيح مرة أخرى لمراجعة الحساب، لكنها لا تستبدل الهوية العامة بجدول أمثلة.

المساواة لها حالتان مع شرط الصفر

في الترتيب السابق، انعدام D يستلزم x=y، ثم z(x−z)²=0. لذلك إما x=y=z، أو z=0 و x=y. تشمل النتيجة الأعداد الثلاثة الصفرية. [1]

للثلاثية 2,2,2، مجموع المكعبات 24 وثلاثة أمثال الحاصل 24؛ L=48. كل حد من حدود R الستة يساوي 8، فالمجموع 48. التساوي واضح دون قسمة على عدد مجهول.

في 2,2,0، مجموع المكعبات 16 والحاصل 0؛ L=16. يبقى في R حدان فقط، كل منهما 8، فالمجموع 16. مع أن 2 لا يساوي 0، تحققت المساواة لأن الصفر يرافق العددين المتساويين الآخرين.

لكن 2,2,3 يعطي L=79 و R=76، والفرق 3. كما أن 0,0,2 يعطي L=8 و R=0، والفرق 8؛ هنا تساوى الصفران، لكن العددين الآخرين عند اختيار أحد الصفرين هما 0 و 2 ولا يتساويان. الصورة الداخلية والجدول يمنعان اختصار الشرط إلى «وجود عددين متساويين».

الجدول يعرض قيم الطرفين والفرق L−R. الصف 0,0,0 يراجع الحد الصفري مباشرة. جميع الأعداد في هذه الصفوف غير سالبة؛ لا نضع صفًا سالبًا ضمن نطاق المبرهنة ثم نخفي اختلافه.

قيد الإشارة لا يسقط بعد نجاح مثال

نغير الثلاثية 1,2,4 إلى −1,−2,−4. كل حد في الطرفين من الدرجة الثالثة، فيتغير إلى سالب قيمته السابقة. لذلك L=−97 و R=−74. العلاقة L ≥ R تفشل، لأن −97 أصغر من −74؛ فرق الطرفين −23.

قد تنجح المقارنة لبعض القيم السالبة، لكن هذا المثال يكفي لرفض عبارة «لكل ثلاث قيم حقيقية». نجاح قيمة خارج المجال لا يوسع مجال المبرهنة، كما أن فشل هذا المثال لا يقول إن كل ثلاثية تحوي سالبًا تفشل.

عند فحص حل، تأكد من أن القيم غير سالبة، وأن R يضم الحدود الستة، وأن 3xyz ليس مكعب الحاصل. ثم اجمع الطرفين أو احسب الفرق بصورته المحللة. إذا كان الفرق 0، فافحص شرطَي المساواة بدل افتراض تساوي الثلاثة فقط.

لا نقسم التعبير على xyz في هذا الشرح؛ هذه القسمة تستبعد حالات 2,2,0 و 0,0,0 التي نحتاجها. إبقاء الصفر جزءًا من المجال يجعل الاستثناء الظاهر في العنوان حالة مساواة صحيحة، لا خللًا في القاعدة.