متوازي أضلاع بقطرين ومساحة معلومة: نستخرج زاويتي التقاطع، ثم نرى لماذا تحددان شكلًا واحدًا حتى التطابق. [1][2]
الخلاصة السريعة
الزاويتان المتكاملتان تعطيان الشكل نفسه حتى التطابق. [2]
- نفترض متوازي أضلاع محدبًا غير منعدم في مستوى. طولَا القطرين p>0 وq>0، والمساحة S>0. القطران ينصف كل منهما الآخر؛ θ زاوية بين شعاعين إلى رأسي قطرين مختلفين، وليست زاوية رأس المضلع. [1]
- من أربعة مثلثات متساوية المساحة، لكل منها ضلعان p/2 وq/2، نستنتج S=pq sinθ/2. مثال أصلي: p=10cm وq=6cm وS=24cm²؛ إذن sinθ=4/5. [1]
- داخل 0°<θ<180°، الزاويتان نحو 53.13° و126.87°. تختار الثانية بتبديل شعاع قطر واحد إلى مقابله؛ إنها زاوية مجاورة في التقاطع نفسه. وجود حلين للزاوية لا يثبت وجود شكلين غير متطابقين. [2]
- بقانون جيب التمام في مثلثَي نصفي القطرين، مربعا الضلعين هما (p²+q²−2pq cosθ)/4 و(p²+q²+2pq cosθ)/4. تبديل θ بمكملتها يبدل القيمتين فقط. في المثال |cosθ|=3/5؛ الضلعان 4cm و2√13cm. [2]
- تحقق بإحداثيات بالسنتيمتر: مركز التقاطع O=(0,0)، U=(5,0)، V=(9/5,12/5)، ثم −U و−V بالترتيب. القطران 10 و6، والمساحة 24. استبدال V بـ(−9/5,12/5) يعكس المضلع حول المحور الرأسي؛ تتبادل نهايتا القطر الأفقي ويبقى التطابق. عمومًا نضع U=(p/2,0) وV=(x,S/p)، حيث x²=(q/2)²−(S/p)²؛ إشارتا x تعطيان انعكاسًا، أو تتطابقان عند x=0. بذلك يبقى شكل واحد حتى التطابق. [2]
- يلزم 0<S≤pq/2؛ في المثال 0<S≤30cm². عند S=30cm² يتعامد القطران، والضلعان √34cm: معين غير مربع لأن القطرين مختلفان. S=31cm² مستحيلة، وS=0 منعدمة؛ ليستا حلين مقبولين. [1]
سمِّ القطرين وزاوية التقاطع
نفترض متوازي أضلاع محدبًا غير منعدم في مستوى. طولَا القطرين p>0 وq>0، والمساحة S>0. القطران ينصف كل منهما الآخر؛ θ زاوية بين شعاعين إلى رأسي قطرين مختلفين، وليست زاوية رأس المضلع. [1]
استخرج الجيب من المساحة
من أربعة مثلثات متساوية المساحة، لكل منها ضلعان p/2 وq/2، نستنتج S=pq sinθ/2. مثال أصلي: p=10cm وq=6cm وS=24cm²؛ إذن sinθ=4/5. [1]
فسر زاويتي الحل
داخل 0°<θ<180°، الزاويتان نحو 53.13° و126.87°. تختار الثانية بتبديل شعاع قطر واحد إلى مقابله؛ إنها زاوية مجاورة في التقاطع نفسه. وجود حلين للزاوية لا يثبت وجود شكلين غير متطابقين. [2]
استعد طولَي الضلعين
بقانون جيب التمام في مثلثَي نصفي القطرين، مربعا الضلعين هما (p²+q²−2pq cosθ)/4 و(p²+q²+2pq cosθ)/4. تبديل θ بمكملتها يبدل القيمتين فقط. في المثال |cosθ|=3/5؛ الضلعان 4cm و2√13cm. [2]
ابنِ المثال بالإحداثيات
تحقق بإحداثيات بالسنتيمتر: مركز التقاطع O=(0,0)، U=(5,0)، V=(9/5,12/5)، ثم −U و−V بالترتيب. القطران 10 و6، والمساحة 24. استبدال V بـ(−9/5,12/5) يعكس المضلع حول المحور الرأسي؛ تتبادل نهايتا القطر الأفقي ويبقى التطابق. عمومًا نضع U=(p/2,0) وV=(x,S/p)، حيث x²=(q/2)²−(S/p)²؛ إشارتا x تعطيان انعكاسًا، أو تتطابقان عند x=0. بذلك يبقى شكل واحد حتى التطابق. [2]
اختبر إمكان المعطيات
يلزم 0<S≤pq/2؛ في المثال 0<S≤30cm². عند S=30cm² يتعامد القطران، والضلعان √34cm: معين غير مربع لأن القطرين مختلفان. S=31cm² مستحيلة، وS=0 منعدمة؛ ليستا حلين مقبولين. [1]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.