مربع متغير طبيعي: هل يكشف إشارة المتوسط؟

مربع متغير طبيعي لا يميز متوسطين متعاكسين، عند ثبات التباين. [1][2]

الخلاصة السريعة

لا، عند ثبات التباين. [1][2]

X~N(μ,σ²)؛ μ حقيقي منتهٍ، و0<σ<∞، بلا وحدة. Y=X²؛ P(Y=0)=0. [2][4]
لـy>0، العكسان ±√y؛ مطلق مشتقة كل فرع 1/(2√y). φ,Φ كثافة وتراكم الطبيعي المعياري. [2][3]
بجمع الفرعين: h(y)=[φ((√y−μ)/σ)+φ((−√y−μ)/σ)]/(2σ√y) لـy>0، وصفر خارجه. [2][3]
F(y)=Φ((√y−μ)/σ)−Φ((−√y−μ)/σ) لـy≥0، وصفر قبله؛ احتمال المجال −√y≤X≤√y. Y/σ² كاي تربيع غير مركزي بدرجة واحدة ومعامل λ=(μ/σ)²؛ مركزي عند μ=0. [1][2][3]
مع ثبات σ، تبديل μ بسالبه يحفظ التوزيع كله؛ |μ| قد يغيره. للأمثلة المؤلفة σ=1,y=1,μ=0,1,−1، F(y)≈0.682689,0.477250,0.477250. التربيع لا يكشف إشارة المتوسط. [1][2]

حدد النموذج

X~N(μ,σ²)؛ μ حقيقي منتهٍ، و0<σ<∞، بلا وحدة. Y=X²؛ P(Y=0)=0. [2][4]

اعكس التربيع

لـy>0، العكسان ±√y؛ مطلق مشتقة كل فرع 1/(2√y). φ,Φ كثافة وتراكم الطبيعي المعياري. [2][3]

اجمع الكثافتين

بجمع الفرعين: h(y)=[φ((√y−μ)/σ)+φ((−√y−μ)/σ)]/(2σ√y) لـy>0، وصفر خارجه. [2][3]

احسب التراكم والتحجيم

F(y)=Φ((√y−μ)/σ)−Φ((−√y−μ)/σ) لـy≥0، وصفر قبله؛ احتمال المجال −√y≤X≤√y. Y/σ² كاي تربيع غير مركزي بدرجة واحدة ومعامل λ=(μ/σ)²؛ مركزي عند μ=0. [1][2][3]

قارن إشارة المتوسط

مع ثبات σ، تبديل μ بسالبه يحفظ التوزيع كله؛ |μ| قد يغيره. للأمثلة المؤلفة σ=1,y=1,μ=0,1,−1، F(y)≈0.682689,0.477250,0.477250. التربيع لا يكشف إشارة المتوسط. [1][2]

تراكم المربع؛ المتوسطان المتعاكسان متطابقان. [1][2][3][4]

المراجع

الجذر التربيعي

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.