صفيحة مثلثة بكثافة متزايدة: هل يبقى المركز عند المتوسطات؟

مركز الكتلة يعتمد على توزيعها داخل الشكل. [4]

الخلاصة السريعة

الكثافة المتغيرة تحتاج ترجيح المواضع بالكتلة. [4]

مثلث كامل برؤوس (0,0),(b,0),(0,h)، وأطوال منتهية b,h>0 سم. كثافته السطحية σ=σ₀(1+kx/b)؛ σ₀>0 غ/سم²، وk≥0 منتهٍ بلا وحدة. [1]
مركز المساحة G=(b/3,h/3) سم، وهو ملتقى المتوسطات. عند k=0 تتجانس الكثافة فيطابقه مركز الكتلة C؛ شكل المثلث وحده لا يحدد C. [2][3]
نحسب الكتلة m=∬σdA=σ₀bh(k+3)/6 غ. والعزمين Qx=∬xσdA وQy=∬yσdA بوحدة غ·سم؛ المركز (Qx/m,Qy/m). [1]
الناتج C=(b(k+2)/(2(k+3)),h(k+4)/(4(k+3))) سم. الإزاحة عن G هي (bk/(6(k+3)),−hk/(12(k+3))) سم؛ موجبة أفقيًا وسالبة رأسيًا عند k>0. [1]
مثالنا b=24,h=15 سم، وσ₀=2 غ/سم²، وk=3: m=720 غ، وG=(8,5)، وC=(10,35/8) سم؛ الإزاحة (2,−5/8) سم. [4]
عند زيادة k يقترب C من (b/2,h/4) سم على خط مستقيم؛ لا يبلغ الحد عند k منتهٍ. ضرب الكثافة كلها بعامل موجب لا يغيّر المركز. [4]

مثلث كامل برؤوس (0,0),(b,0),(0,h)، وأطوال منتهية b,h>0 سم. كثافته السطحية σ=σ₀(1+kx/b)؛ σ₀>0 غ/سم²، وk≥0 منتهٍ بلا وحدة. [1]

المجال 0≤x≤b,0≤y≤h(1−x/b). الكثافة موجبة؛ x/b بلا وحدة. لا ثقب ولا سلك. [1]

مركز المساحة G=(b/3,h/3) سم، وهو ملتقى المتوسطات. عند k=0 تتجانس الكثافة فيطابقه مركز الكتلة C؛ شكل المثلث وحده لا يحدد C. [2][3]

المركز الهندسي يعتمد على المساحة؛ مركز الكتلة يعتمد على أوزانها. عند الكثافة الثابتة فقط تتطابق الصيغتان هنا. [2][3]

نحسب الكتلة m=∬σdA=σ₀bh(k+3)/6 غ. والعزمين Qx=∬xσdA وQy=∬yσdA بوحدة غ·سم؛ المركز (Qx/m,Qy/m). [1]

التكاملان يعطيان Qx=σ₀b²h(k+2)/12 وQy=σ₀bh²(k+4)/24. الرمزان يشيران إلى الإحداثيين، لا محوري العزم التقليديين. [1]

الناتج C=(b(k+2)/(2(k+3)),h(k+4)/(4(k+3))) سم. الإزاحة عن G هي (bk/(6(k+3)),−hk/(12(k+3))) سم؛ موجبة أفقيًا وسالبة رأسيًا عند k>0. [1]

بطرح G نحصل على الإزاحة؛ تنعدم إذا وفقط إذا k=0. [1]

مثالنا b=24,h=15 سم، وσ₀=2 غ/سم²، وk=3: m=720 غ، وG=(8,5)، وC=(10,35/8) سم؛ الإزاحة (2,−5/8) سم. [4]

العزمان 7200,3150 غ·سم؛ قسمتهما على 720 تعطي الإحداثيين. الكثافة من 2 إلى 8 غ/سم²؛ القيم مؤلفة. [4]

عند زيادة k يقترب C من (b/2,h/4) سم على خط مستقيم؛ لا يبلغ الحد عند k منتهٍ. ضرب الكثافة كلها بعامل موجب لا يغيّر المركز. [4]

الإزاحة تحقق Δy=−hΔx/(2b). وعند ضرب σ₀ بعامل موجب، يتضاعف البسط والمقام بالعامل نفسه فيُلغى. [4]

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.