مساحة الأربيلوس: دائرة مساوية لها وحد أقصى عند التناظر

الخلاصة السريعة

إذا كان القطـران الداخليان u وv، فمساحة الأربيلوس S=πuv/4 ومحيطه P=π(u+v). وتساوي مساحته مساحة دائرة قطرها العمود من نقطة القسمة إلى القوس الخارجي. [1]

• نختار A=(0,0)، B=(7,0)، C=(11,0). الأقطار11 و7 و4، وأنصافها11/2 و7/2 و2. المنطقة داخل النصف الأكبر وخارج النصفين الأصغر؛ لا نجمع المساحات الثلاث.
• في هذا المثال S=(π/8)(121−49−16)=7π. وبوجه عام فرق مربعات الأقطار يساوي2uv؛ لذا نحصل على S=πuv/4 بوحدة مساحة، لا بوحدة طول.
• العمود BD يقطع القوس عند D=(7,2√7)، فيكون h=2√7. دائرة قطرها BD مركزها V=(7,√7) ونصفها√7؛ مساحتها7π، مثل مساحة الأربيلوس. [2]
• الأقواس أطوالها11π/2 و7π/2 و2π، ومجموعها11π. الخط AC خط إنشاء، وليس ضلعًا مستقيمًا إضافيًا لحد المنطقة. لهذا لا نضيف11 إلى المحيط.
• الدائرة المساوية للمساحة ليست بالضرورة محتواة في الأربيلوس. نقطة W=(7−√7,√7) تقع عليها، لكنها داخل نصف الدائرة اليسرى المستبعد من المنطقة. تساوي المساحتين لا يثبت التماس أو الاحتواء.
• مع ثبات القطر الخارجي11، المساحة القصوى121π/16 عند قسمة القطر إلى11/2 و11/2. فرقها عن مساحة مثال7 و4 هو9π/16. الإزاحة تحفظ المقادير؛ والتكبير2 يجعل المساحة28π والمحيط22π.

حدد المنطقة والأقطار قبل الحساب

ضع A=(0,0)، B=(7,0)، C=(11,0) على y=0. ارسم أنصاف الدوائر فوق هذا الخط، ذات الأقطار AC وAB وBC. المنطقة بين أقواسها الثلاثة تسمى أربيلوس. [1]

مركز الدائرة الخارجية O=(11/2,0)، ومركز اليسرى L=(7/2,0)، ومركز اليمنى R=(9,0). أنصاف الأقطار11/2 و7/2 و2؛ تقابلها أقطار11 و7 و4، وليس11 و7 و4 أنصاف أقطار.

معادلات الدوائر الكاملة هي(x−11/2)²+y²=121/4، و(x−7/2)²+y²=49/4، و(x−9)²+y²=4. نستخدم الأقواس العلوية فقط. لا تدخل الأنصاف الواقعة تحت خط الأقطار في المنطقة المرسومة.

القرصان الصغيران يلتقيان عند B، ويقعان داخل القرص الأكبر. مساحة الأربيلوس هي ما يتبقى من النصف الكبير بعد إزالة النصفين الصغيرين؛ الظل الأزرق في الرسم يحدد هذا الباقي. النقاط A وB وC أطراف أقواس، وليست رؤوس مثلث نطلب مساحته.

اطرح مساحتي النصفين الصغيرين

مساحة نصف دائرة قطرها d هيπd²/8؛ فمساحتهاπr²/2 ونصفها r=d/2. في مثالنا مساحة الخارجية121π/8، واليسرى49π/8، واليمنى16π/8. لا نقارن مساحة قطرها7 بمساحة نصف قطره7.

طرح المساحتين الصغيرتين يعطي S=(π/8)(121−49−16)=7π. إذا كانت الأقطار بالسنتيمتر، فالنتيجة7π سم². نحتفظ بالرمزπ لأن النتيجة الدقيقة لا تحتاج تقريبًا عشريًا.

لنكتب AB=u وBC=v، مع u وv موجبين. القطر الخارجي u+v، ولذلك S=(π/8)((u+v)²−u²−v²). نشر المربع يترك2uv؛ نحصل على S=πuv/4. هذا اشتقاق جبري لأي قسمة داخلية للقطر، لا مجرد تحقق للمثال العددي.

تبديل u وv لا يغير حاصل ضربهما ولا المساحة. القسمة7 و4 والقسمة4 و7 تعطيان المساحة نفسها، وتنعكس الصورة أفقيًا. لكن هذا لا يعني أن كل قسمة للقطر11 تعطي7π؛ القسمة1 و10، مثلًا، تعطي5π/2.

دائرة قطرها الارتفاع لها المساحة نفسها

تنص خاصية الأربيلوس على أن مساحته تساوي مساحة دائرة قطرها العمود من نقطة القسمة إلى القوس الخارجي. [2] نسمي قدم العمود B وطرفه العلوي D، ونرمز لطوله بـh.

في مثالنا x=7 على العمود. نعوض في الدائرة الخارجية: (7−11/2)²+h²=121/4. المربع الأول9/4، فيبقى h²=28. لأن D فوق القاعدة، نأخذ h=2√7 لا الجذر السالب؛ لذلك D=(7,2√7).

نقطة منتصف BD هي V=(7,√7). الدائرة ذات القطر BD نصف قطرها√7، ومساحتهاπ(√7)²=7π. لو استعملنا ارتفاع BD نفسه بوصفه نصف قطر، لحصلنا على28π، أربعة أمثال المساحة الصحيحة.

يمكن إثبات المساواة للقطرين u وv من معادلة الدائرة. مركزها الأفقي(u+v)/2، والإحداثي الأفقي للعمودu. إذن h²=((u+v)/2)²−(u−(u+v)/2)²=uv. مساحة الدائرة التي قطرهاh هيπh²/4، فتساويπuv/4.

يجب أن يكون h طول القطعة من خط الأقطار إلى القوس الأعلى. لا نستخدم كامل الوتر العمودي تحت الخط وفوقه؛ ذلك الوتر طوله2h. كما لا نطلب دائرة قطرها AC، ولا نصف دائرة قطرها BD. تغيير الشكل أو القطر يغير المساحة.

المحيط يتبع الأقواس الثلاثة

طول القوس الخارجي يساوي مجموع طولي القوسين الداخليين. [1] كل قوس يمثل نصف محيط دائرته، فطولهπd/2 عندما يكون قطرهd. في المثال نحصل على11π/2 و7π/2 و2π.

حد الأربيلوس الكامل يتبع القوس الخارجي ثم القوسين الداخليين؛ مجموعها P=11π. لا نكتفي بالقوس الأكبر فنكتب11π/2؛ هذا نصف طول الحد الكامل. ولا نضيف القطعة المستقيمة AC إلى الأقواس.

لماذا لا تعد القاعدة حدًا إضافيًا؟ النقاط داخل AB أو BC تقع أسفل نصف دائرة مستبعدة، ولا تلامس مساحة الأربيلوس بالقرب منها. وحدها أطراف الأقواس A وB وC تنتمي إلى الحد على خط القاعدة. الخط المرسوم يصل هذه الأطراف لأغراض الإنشاء والقياس.

بالقطرين u وv، المجموع P=π(u+v)/2+πu/2+πv/2=π(u+v). عند ثبات القطر الخارجي11 يظل المحيط11π مهما تغيرت نقطة القسمة الداخلية، بينما تتغير المساحة. لذلك معرفة المحيط وحده لا تحدد مساحة هذه الأسرة.

تساوي المساحة لا يعني احتواء الدائرة

نرسم الدائرة ذات المركز V=(7,√7) والنصف√7 فوق الرسم نفسه. هي دائرة مساوية للمساحة؛ لا نصفها تلقائيًا بأنها دائرة داخلية مماسة للأقواس. يكفي إيجاد نقطة منها خارج منطقة الأربيلوس لرفض الاحتواء.

اختر نقطتها اليسرى W=(7−√7,√7). متجه VW هو(−√7,0)، ومربع طوله7؛ لذا تقع W على الدائرة المقارنة. إحداثيها الرأسي موجب، فتقع فوق خط الأقطار.

بالنسبة إلى L=(7/2,0)، نجد LW²=(7/2−√7)²+7=105/4−7√7. اطرح مربع نصف اليسرى49/4؛ الفرق14−7√7، وهو سالب لأن√7 أكبر من2. إذن W داخل نصف الدائرة اليسرى الذي أزلناه.

النتيجة واضحة حتى لو لم تكن تقاطعات الأقواس سهلة القراءة في الصورة. دائرة مساحتها7π ومنطقة مساحتها7π قد تتداخلان دون أن تحتوي إحداهما الأخرى. القطعة VW في اللوحة توضح نصف القطر؛ لا تمثل مماسًا.

أكبر مساحة عند القسمة المتساوية

ثبت القطر الخارجي L=11، واجعل طول الجزء الأيسر u بين0 و11؛ الجزء الآخر11−u. المساحة S=πu(11−u)/4. لإيجاد أقصاها نكمل المربع: S=121π/16−(π/4)(u−11/2)².

المربع الأخير غير سالب. لذا أكبر مساحة121π/16، وتتحقق فقط عندما u=11/2، أي عندما يتساوى القطـران الداخليان. في مثالu=7، فرق المساحة عن القصوى هو(π/4)(3/2)²=9π/16.

لأي قطر خارجي موجبL، الحساب نفسه يعطي S=πL²/16−(π/4)(u−L/2)². المساحة القصوىπL²/16 عندu=L/2، مع ثبات المحيطπL. لا نقارن أقصى مساحات لأقطار خارجية مختلفة ثم ننسب الفرق إلى موضع القسمة وحده.

إذا اقتربu من0 أوL، اقتربت المساحة من الصفر. عند الطرف نفسه ينهار أحد النصفين، فلا يبقى أربيلوس غير منحل بالشروط السابقة. عبارة ثبات المحيط تخص القسمة الداخلية؛ لا نتخذ الشكل المنحل نموذجًا جديدًا للحد.

الإزاحة(2,−1) تنقل B إلى(9,−1) وD إلى(9,2√7−1). الارتفاع يبقى2√7 عن القاعدةy=−1، وليس الإحداثي الرأسي وحده. المساحة والمحيط لا يتغيران بالإزاحة.

التكبير الموحد2 يجعل الأقطار22 و14 و8، والارتفاع4√7، ومساحة الأربيلوس28π، ومحيطه22π. المساحة تتضاعف أربع مرات والمحيط مرتين. راجع الأقطار والوحدات ونوع الحد قبل الحساب، وحدد هل المقارنة في المساحة أم في الاحتواء.