مساحة السالينون: أربعة أنصاف دوائر وشرط تساوي الجانبين

الخلاصة السريعة

إذا كان نصف الخارجية R ونصف المركزية السفلى r، ونصفا الجانبين متساويين، فمساحة السالينون S=π(R+r)²/4؛ تساوي مساحة دائرة قطرها بين أعلى الشكل وأسفله. [1]

• نضع A=(−6,0)، D=(−2,0)، E=(2,0)، B=(6,0). الخارجية فوق AB، والجانبيتان فوق AD وEB، والمركزية تحت DE. أنصاف الأقطار6 و2 و2 و2، والجانبان قطر كل منهما4.
• المساحة S=18π+2π−2π−2π=16π. نضيف النصف السفلي ونطرح الجانبين؛ قلب النصف المركزي إلى الأعلى يجعل مساحة الشكل الآخر12π، فلا يبقى المثال نفسه.
• أعلى الشكل C=(0,6)، وأسفله T=(0,−2)، فيكون CT=8. منتصفهما K=(0,2)، ونصف الدائرة المقارنة4؛ مساحتها16π. الصيغة تحتاج القطر8، لا نصف قطر8.
• عند تساوي الجانبين، نصف كل منهما t=(R−r)/2. [1] تعويضه في جمع وطرح المساحات يتركπ(R+r)²/4. مجموع أطوال الأقواس P=2πR؛ في المثال12π، دون إضافة القاعدة.
• إذا جعلنا قطر اليسرى3 واليمنى5 مع بقاء الخارجية12 والمركزية4، تصبح المساحة63π/4. أعلى الشكل وأسفله لا يقعان على عمود واحد؛ دائرة قطرها القطعة بينهما مساحتها65π/4، فتفشل المساواة بفارقπ/2.
• للانحراف δ عن تساوي القطرين الجانبيين، المساحةπ((R+r)²−δ²)/4. الفرق عن صيغة التناظرπδ²/4. المثال المتناظر بعد التكبير2 مساحته64π ومحيطه24π؛ الإزاحة تحفظ المقادير وتحرّك القاعدة معها.

ارسم النصف المركزي تحت القاعدة

نختار النقاط A=(−6,0)، D=(−2,0)، E=(2,0)، B=(6,0)، بهذا الترتيب على y=0. قطر الخارجية AB=12، والقطران الجانبيان AD=EB=4، وقطر المركزية DE=4. تساوي AD وEB جزء من بناء السالينون. [2]

نرسم الخارجية والجانبيتين فوق القاعدة، والمركزية تحتها. الظل يتكون من المنطقة العلوية المتبقية بعد إزالة الجانبيتين، مع نصف القرص المركزي السفلي. لا نرسم أربعة أنصاف دوائر في الجهة نفسها ثم نطبق الصيغة.

الخارجية مركزها O=(0,0) ونصفها6. اليسرى مركزها L=(−4,0) ونصفها2، واليمنى مركزها N=(4,0) ونصفها2. المركزية مركزها O أيضًا، لكن نصفها2. اشتراك المركز لا يجعل نصفي الدائرتين على الجهة نفسها.

معادلات الدوائر الكاملة x²+y²=36، و(x+4)²+y²=4، و(x−4)²+y²=4، وx²+y²=4. شرط الجهة يختار من الأخيرة القوس السفلي، ومن الثلاث الأولى الأقواس العلوية. المعادلة وحدها لا تحدد نصف الدائرة المطلوب.

اجمع الخارجية والمركزية واطرح الجانبين

مساحة نصف دائرة نصف قطرهاa هيπa²/2. الخارجية مساحتها18π، والمركزية2π، وكل جانبية2π. لذلك S=18π+2π−2π−2π=16π. إذا كانت الأطوال بالسنتيمتر، فالنتيجة16π سم².

جمع الخارجية مع المركزية صحيح لأن الأولى فوق القاعدة والثانية تحتها، ولا تتداخلان في مساحة موجبة. الجانبيتان داخل النصف الخارجي ومفصولتان بالنصف المركزي على القاعدة؛ نطرح كل واحدة مرة واحدة.

هذا الجمع والطرح هو تقسيم المناطق المستعمل في خاصية السالينون. [2] لا يعني أن المساحة تساوي مجموع مساحات أنصاف الدوائر الأربعة، الذي سيكون24π في مثالنا. الإشارات تعكس ما نضيفه إلى الظل وما نستبعده منه.

لو قلبنا النصف المركزي نفسه إلى الأعلى وأزلناه مع الجانبيتين، تصبح مساحة المنطقة الأخرى18π−2π−2π−2π=12π. اختلاف4π يساوي ضعفي مساحة النصف المركزي؛ تغيرت إشارته من الجمع إلى الطرح.

الجدول يعرض مساحات الأنصاف قبل تركيب الظل. وجود2π في ثلاثة صفوف لا يجعل أدوارها واحدة: النصف المركزي يضاف، والجانبيان يطرحان. نحتفظ بالرمزπ إلى آخر العملية حتى تبقى المساواة دقيقة.

قطر الدائرة المقارنة يصل الأعلى بالأسفل

في البناء المتناظر، مساحة الشكل تساوي مساحة دائرة قطرها القطعة بين قمة النصف الخارجي وقاع النصف المركزي السفلي. [2] هنا C=(0,6) وT=(0,−2)، وهما على العمود المار بالمركز O.

طول CT هو6−(−2)=8. المنتصف K=(0,2)، ونصف الدائرة المقارنة4. معادلتها x²+(y−2)²=16، ومساحتهاπ×4²=16π. نراجع C وT بالتعويض: في كل حالة مربع البعد عن K هو16.

المسافة من O إلى C تساوي6، ومن O إلى T تساوي2. لذلك CT=R+r في الصيغة العامة. ليست R−r، لأن الطرفين على جهتين مختلفتين من القاعدة. ولو اعتبرنا8 نصف قطر الدائرة المقارنة، لأصبحت المساحة64π خطأ.

نقطة K ليست O؛ إحداثيها الرأسي(R−r)/2، وفي المثال2. لا نضع دائرة نصفها4 حول O ثم نقول إن CT قطر لها؛ C تبعد6 عن O فلا تقع عليها. مركز الدائرة المقارنة هو منتصف القطر المحدد.

المقارنة هنا للمساحة. لا نستخرج من16π وحدها معلومات عن طول الأقواس أو مواضع التماس. رسم الدائرة بالبنفسجي يساعد على قراءة قطرها ومركزها، بينما الحساب هو الذي يثبت قيمة مساحتها.

تساوي الجانبين يبسط الحساب

نكتب نصف الخارجية R ونصف المركزية r، مع R أكبر منr وكليهما موجبان. طول AB=2R وطول DE=2r. عندما يتساوى الجانبان، طول كل قطر جانبي R−r، ونصفه t=(R−r)/2. [1]

من تقسيم المساحة نحصل على S=(π/2)(R²+r²−2t²). نعوض قيمةt فنجد S=(π/2)(R²+r²−(R−r)²/2). نشر المربع يعطي S=π(R+r)²/4، وهي مساحة دائرة نصفها(R+r)/2.

في R=6 وr=2، نحصل على t=2، وR+r=8، ومساحة16π. هذا الاشتقاق يعمل لأي نصفين بالشروط السابقة؛ العددان6 و2 اختيار للمثال، وليسَا قيدًا على الخاصية.

المحيط يجمع أطوال الأقواس الأربعة: P=πR+πr+2πt=2πR. في المثال6π+2π+2π+2π=12π. خط AB مساعد للإنشاء؛ الأجزاء الوسطية منه تقع داخل المنطقة المركبة، ولا نضيف12 إلى المحيط.

عند ثباتR يمكن تغييرr مع بقاء المحيط2πR وتغير المساحة. مثلًا R=6 وr=1 يعطي49π/4، وr=2 يعطي16π، مع محيط12π في الحالتين. لذلك محيط هذه الأسرة لا يحدد المساحة وحده.

اختبر المثال بعد جعل الجانبين مختلفين

أبقِ A=(−6,0) وB=(6,0)، ثم اختر D=(−3,0) وE=(1,0). صار AD=3 وEB=5، مع بقاء DE=4. النصف المركزي السفلي مركزه M=(−1,0) ونصفه2؛ الخارجية ما زالت مركزهاO ونصفها6.

نصفا الجانبيتين3/2 و5/2. مساحتهما9π/8 و25π/8، ومجموعهما17π/4. لذلك مساحة الظل S=18π+2π−17π/4=63π/4. تطبيق صيغة التناظر16π يعطي قيمة أكبر بمقدارπ/4.

أعلى الشكل C=(0,6)، وأسفله الآن T=(−1,−2). القطعة CT مائلة، ومربع طولها1+64=65. منتصفها K=(−1/2,2)، ونصف الدائرة التي قطرها CT هو√65/2، ومساحتها65π/4.

فرق مساحة هذه الدائرة عن الظل65π/4−63π/4=π/2. هذا مثال صريح على فشل المساواة عند ترك شرط الجانبين المتساويين. لا نصحح الفشل بتغيير المركز فقط؛ طول القطر نفسه ومساحة الظل لم يعودا مرتبطين بقانون التناظر.

في الصورة الثانية تحرك النصف المركزي إلى اليسار، والجانبان مختلفان. القطعة البنفسجية تصل C إلىT رغم ميلها، والدائرة مركزها منتصفها. لا نستعمل العمود المار بـO قطرًا ونفترض أنه يصل إلى قاع النصف المركزي الجديد.

قِس مقدار أثر غياب التناظر

يمكن وصف التغيير عمومًا بقطرين جانبيين R−r+δ وR−r−δ، مع بقائهما موجبين. ينزاح مركز النصف السفلي إلى(δ,0)، بينما يبقى مركز الخارجية(0,0). في المثال السابق δ=−1.

جمع مربعي القطرين يساوي2(R−r)²+2δ². باستخدام مساحة نصف الدائرة بدلالة قطرهاπd²/8، ثم إضافة الخارجية والمركزية وطرح الجانبين، نجد S=π((R+r)²−δ²)/4. هذا حساب مستقل لتأثير اختلاف الجانبين.

فرق مساحة الظل عن صيغة السالينون المتناظر هوπδ²/4. لذلك لا يكفي بقاءR وr ثابتين؛ يلزمδ=0 لاسترجاع صيغة التناظر. اختلاف الإشارةδ يبدل جهة الإزاحة، لكن مربعه يجعل نقص المساحة نفسه.

وعندما يكون الأعلى(0,R) والأسفل(δ,−r)، مربع المسافة بينهما(R+r)²+δ². دائرة قطرها هذه القطعة مساحتهاπ((R+r)²+δ²)/4، فتزيد على الظل بمقدارπδ²/2. عندδ=−1 نحصل على الفارقπ/2 الذي حسبناه.

الإزاحة(2,−1) للمثال المتناظر تنقل C إلى(2,5)، وT إلى(2,−3)، وK إلى(2,1). طول القطر يبقى8، والقاعدة تصيرy=−1. المساحة16π والمحيط12π لا يتغيران، لأن كل الأجزاء تتحرك معًا.

التكبير الموحد2 يجعل R=12 وr=4 وt=4، ويصبح القطر المقارن16. المساحة64π والمحيط24π. راجع ترتيب النقاط وجهة كل نصف، وتساوي القطرين الجانبيين، ثم نصف القطر ووحدات المساحة؛ هذه الشروط تسبق استعمال الصيغة.