منحنى السلسلة المعلقة: احسب الطول والميل وميّزه من القطع المكافئ

الخلاصة السريعة

في المثال y=4cosh(x/4)، الجزء بين (−4ln2,5) و(4ln2,5) طوله6، وتباعد طرفيه أفقيًا8ln2، وهبوطه1. ميل المماس عند الطرف الأيمن3/4؛ القطع المكافئ y=4+x²/8 قريب منه عند الرأس، لكنه منحنى مختلف.

• نضع a=4 في الصيغة y=a cosh(x/a). [2] الإحداثيات بوحدة طول واحدة، وx/4 بلا وحدة. أدنى نقطة V=(0,4)، والطرفان المختاران A=(−4ln2,5) وB=(4ln2,5) يحددان الجزء المدروس.
• نعرف cosh u=(eᵘ+e⁻ᵘ)/2 وsinh u=(eᵘ−e⁻ᵘ)/2. عند u=ln2 تكون القيم5/4 و3/4، فينتج ارتفاع الطرفين5، والتباعد8ln2، والهبوط من مستواهما إلى الرأس1.
• مشتقة المنحنى y′=sinh(x/4). [1] عند B يكون الميل3/4 ومعادلة المماس y−5=(3/4)(x−4ln2). ميل الوتر VB هو1/(4ln2)، فلا نستبدل بالمماس الخط الواصل إلى الرأس.
• من cosh²u−sinh²u=1 نحصل على عنصر الطول cosh(x/4)dx. التكامل من الرأس إلى B يعطي3، ومن A إلى B يعطي6؛ طول المنحنى يختلف عن الامتداد الأفقي8ln2.
• القطع المكافئ y=4+x²/8 يوافق الرأس والميل0 والمشتقة الثانية1/4 عنده. لكنه عند x=4ln2 يعطي4+2(ln2)²＜5. توافق محلي في المشتقات لا يثبت تطابق المنحنيين.
• الدالة معرفة لكل x حقيقي، متناظرة حول المحور الرأسي، وقيمها y≥4. الطرفان A وB حدود الجزء المختار، لا نهايتا المنحنى كله. المثال حساب هندسي، وليس تصميمًا لكابل أو قياسًا لسلسلة حقيقية.

حدد المنحنى والجزء الذي تقيسه

الصيغة المرجعية للمنحنى السلسلي هي y=a cosh(x/a)، حيث a موجب. [1][2] نختار a=4، فتكون المعادلة y=4cosh(x/4). نثبت هذا المقياس قبل حساب الأطوال؛ لا نعامل العدد4 بوصفه ارتفاع الطرفين.

تسمية المنحنى مرتبطة بشكل سلسلة مرنة معلقة من طرفيها في النموذج المثالي. [2] هنا ندرس معادلته هندسيًا؛ لا نحسب وزنًا أو شدًا، ولا نستنتج أن كل كابل تحت أي حمل يتبع المعادلة نفسها.

نختار نقطتين عند الإحداثيين الأفقيين −4ln2 و4ln2. الرمز ln هو اللوغاريتم الطبيعي، أي عكس الدالة الأسية ذات الأساس e. سنجد ارتفاع الطرفين من التعويض، ثم نقيس الجزء الممتد بينهما.

أدنى نقطة هي V=(0,4). نسمي الطرف الأيسر A والأيمن B. المستقيم AB أفقي لأن الارتفاعين متساويان؛ الهبوط هو الفرق الرأسي بين مستوى الطرفين وأدنى نقطة، لا طول المنحنى ولا المسافة بين الطرفين.

نستخدم وحدة طول واحدة. في النسبة x/4 يلغى مقياس الطول، فيصبح وسيط الدالة الزائدية عددًا بلا وحدة. إذا غيرنا وحدة القياس، يجب تغيير الإحداثيات والمعامل4 معًا؛ لا نغير أحدهما وحده.

قيم لوغاريتمية تعطي ارتفاعات دقيقة

نعرف cosh u=(eᵘ+e⁻ᵘ)/2 وsinh u=(eᵘ−e⁻ᵘ)/2. لا تعني cosh الدالة cos، ولا تعني sinh الدالة sin. الحرف h جزء من اسم الدالة الزائدية، وليس عاملًا نضرب به الجيب أو جيب التمام.

عند u=ln2 لدينا eᵘ=2 وe⁻ᵘ=1/2. لذلك cosh(ln2)=(2+1/2)/2=5/4، وsinh(ln2)=(2−1/2)/2=3/4. نستعمل هذه القيم الدقيقة بدل تقريب اللوغاريتم مبكرًا.

في الطرف B، يكون x/4=ln2، فينتج y=4×5/4=5. ولأن cosh دالة زوجية، يكون الارتفاع نفسه عند الطرف A. إذن A=(−4ln2,5) وB=(4ln2,5).

عند x=0 نجد cosh0=1، فيكون V=(0,4). الهبوط5−4=1، والتباعد الأفقي بين الطرفين4ln2−(−4ln2)=8ln2. هاتان كميتان مختلفتان رغم استعمال وحدة الطول نفسها.

للتصور العددي فقط، ln2≈0.693147، ونصف التباعد4ln2≈2.772589، والتباعد الكامل8ln2≈5.545177. تبقى الصيغ اللوغاريتمية هي القيم المعتمدة؛ التقريب يساعد على توزيع النقاط في المخطط.

الجدول يبين الطرفين والرأس وإسقاط الطرف الأيمن E على المستقيم y=4، والنقطة M=(0,5) فوق الرأس عند مستوى الطرفين. القطعة VM تقيس الهبوط، والقطعة VE تقيس نصف التباعد.

الميل عند الطرف لا يساوي ميل الوتر

باشتقاق التعريف الأسي نحصل على مشتقة cosh u وهي sinh u. تطبيق قاعدة السلسلة على y=4cosh(x/4) يعطي y′=sinh(x/4)، لأن العامل4 يلغى مع مشتقة الوسيط1/4.

عند B نجد y′=sinh(ln2)=3/4. إذن المماس يمر بـB وله المعادلة y−5=(3/4)(x−4ln2). ارتفاع المماس يزيد3/4 لكل زيادة أفقية1؛ هذه نسبة تغير محلية عند النقطة.

في الرسم نأخذ نقطة مساعدة N=(4ln2−1,17/4) على المماس. الفرق من N إلى B أفقيًا1 ورأسيًا3/4. أما N فليست نقطة من منحنى السلسلة؛ دورها بيان اتجاه المستقيم.

الوتر VB يصل بين الرأس والطرف الأيمن. ارتفاعه1، وامتداده الأفقي4ln2، لذلك ميله1/(4ln2)، أي نحو0.360674. هذه النتيجة تختلف عن ميل المماس3/4، أي0.75.

عند الرأس يكون y′=sinh0=0، فيكون المماس أفقيًا. وعند الطرف الأيسر يكون الميل−3/4. التناظر يعكس جهة الميل، ولا يحول المماس عند الطرف إلى الوتر الممتد من الرأس.

لا نقرأ الميل من زاوية خط مرسوم قبل مراجعة مقياس المحورين. في صورنا المقياس متساوٍ أفقيًا ورأسيًا؛ ومع ذلك تحدد المشتقة قيمة الميل، ويعرض الرسم النتيجة فقط.

استخرج طول القوس من التكامل

عنصر طول رسم دالة هو √(1+(y′)²)dx. هنا y′=sinh(x/4)، فتصبح الكمية داخل الجذر1+sinh²(x/4). نحتاج إلى تبسيطها قبل إجراء التكامل.

من التعريفين الأسيين نجد cosh²u−sinh²u=1: فرق مربعي مجموع eᵘ وe⁻ᵘ عن فرقهما يعطي1. لذلك1+sinh²u=cosh²u. ولأن cosh u موجبة، يكون الجذر هو cosh u نفسه.

إذن طول الجزء من الرأس إلى B يساوي تكامل cosh(x/4) بين0 و4ln2. دالة أصلية له هي4sinh(x/4)، فالناتج4sinh(ln2)−4sinh0=3. تتفق الطريقة مع صيغة طول القوس المرجعية. [1]

ومن A إلى B نحسب L=4sinh(ln2)−4sinh(−ln2)=6، لأن sinh دالة فردية. أو نضاعف طول النصف3 بفعل التناظر. الطول هنا موجب، ولا نخلط قيمة الدالة الأصلية السالبة عند الطرف الأيسر بطول سالب.

التباعد الأفقي8ln2≈5.545177 أقل من طول القوس6. الوتر AB طوله أيضًا8ln2 لأن الطرفين عند الارتفاع نفسه. أما الوتر VB فطوله√(16(ln2)²+1)، ولا يساوي طول نصف القوس3.

كل قيمة تجيب عن سؤال محدد: الهبوط1 فرق رأسي، والتباعد8ln2 امتداد أفقي، والطول6 يتبع المنحنى. مجرد معرفة اثنتين من هذه الكميات لا يسمح باستبدال الثالثة بإحداهما دون حساب.

اختبر التشابه مع القطع المكافئ

نقارن بالدالة q(x)=4+x²/8. رأسها V=(0,4)، ومشتقتها q′=x/4، فتكون صفرًا عند الرأس. ومشتقتها الثانية q″=1/4. في منحنى السلسلة y″=cosh(x/4)/4، فتساوي1/4 عند الرأس أيضًا.

إذن يتفق المنحنيان في القيمة والميل والمشتقة الثانية عند الرأس. هذا يفسر التشابه القريب منه، لكنه لا يجعل cosh دالة تربيعية. عند الطرف الأيمن، q(4ln2)=4+2(ln2)²، بينما ارتفاع السلسلة5.

لإثبات الفرق دون الاعتماد على صورة صغيرة، نستخدم ln2＜7/10. يمكن تبريرها من الدالة الأسية: e^(7/10) أكبر من1+7/10+49/200+343/6000، وهذا المجموع أكبر من2. إذن اللوغاريتم الطبيعي2 أصغر من7/10.

بالتالي2(ln2)²＜98/100＜1، فيكون4+2(ln2)²＜5. الفرق دقيق رغم أنه صغير في هذا الجزء: قيمة القطع المكافئ نحو4.960906 عند x=4ln2، وليست5.

لننظر إلى موضع أبعد عند x=8ln2. يصبح وسيط cosh هو ln4، وتكون cosh(ln4)=(4+1/4)/2=17/8. ارتفاع السلسلة17/2=8.5، بينما ارتفاع القطع المكافئ4+8(ln2)²≈7.843624؛ يظهر الفرق أوضح.

الصورة الداخلية تقارن المنحنيين في نطاق أوسع، وتضع H=(8ln2,17/2) على السلسلة وJ=(8ln2,4+8(ln2)²) على القطع المكافئ. لا نكبر المحور الرأسي وحده لإظهار الفرق؛ المقياس واحد، والنقاط محسوبة.

الرأس والتماثل وحدود المثال

الدالة cosh معرفة لكل عدد حقيقي، وهي زوجية. لذلك y=4cosh(x/4) متناظرة حول المحور الرأسي. ولأن cosh u≥1، تكون y≥4، وتتحقق المساواة عند x=0 وحدها.

عندما x موجب يكون sinh(x/4) موجبًا، فيزداد الارتفاع يمين الرأس. وعندما x سالب يكون الميل سالبًا، فينخفض الارتفاع عند التحرك من اليسار نحو الرأس. المشتقة الثانية موجبة في كل موضع.

الرأس نقطة عادية ذات مماس أفقي، وليس رأسًا مدببًا يحتاج إلى نسبة0/0. الطرفان A وB ليسا نهاية مجال الدالة؛ اخترناهما لحساب طول محدود. الجزء المرسوم في كل صورة كذلك لا يمثل المنحنى غير المحدود كاملًا.

يمكن إزاحة المخطط أفقيًا ورأسيًا مع بقاء شكله وأطوال الجزء المختار؛ الإحداثيات تتغير، لكن فرق الارتفاعات والمسافات لا يتغير. مثالنا اختار محور التناظر x=0 وارتفاع الرأس4 لتبسيط الحساب.

لا نستنتج من الرسم وزن سلسلة أو شدها أو أمان كابل. اختلاف توزيع الحمل قد يغير النموذج الفيزيائي. ما أثبتناه هو خصائص المعادلة المختارة: نقاطها وميلها وطول جزء منها والفرق بينها وبين دالة تربيعية محددة.