نصيب مربع طبيعي من مجموع مربعين: لماذا لا يكون منتظمًا؟

نصيب مربع طبيعي غير منتظم. [1][2]

الخلاصة السريعة

يتبع قوس الجيب. [1]

X,Y~N(0,σ²) مستقلان؛ 0<σ<∞، بلا وحدة. T=X²+Y²,Q=X²/T؛ الأصل احتماله صفر. [2][4]
أربعة فروع للإشارتين: x=±√(qt),y=±√((1−q)t)؛ لكل فرع جاكوبيان مطلق 1/(4√(q(1−q))). نجمع الفروع؛ 0<q<1,t>0. [2][3][4]
الكثافة h(q)=1/(π√(q(1−q))) داخل (0,1)، وصفر خارجه؛ Beta(1/2,1/2). التراكم F(q)=2asin(√q)/π على [0,1]؛ صفر قبلها، وواحد بعدها. [1][2][3][4]
كثافة المجموع k(t)=e^(−t/(2σ²))/(2σ²) لـt>0، وصفر خارجه. المشترك h(q)k(t)؛ لذا النصيب مستقل عن المجموع. [2][3][4]
للقيم المؤلفة q=1/4,1/2,3/4، التراكم 1/3,1/2,2/3. الكثافة تتباعد قرب الطرفين، لكن P(Q=0)=P(Q=1)=0؛ ليست كتلة طرفية ولا توزيعًا منتظمًا. [1][2][4]

حدد النصيب

X,Y~N(0,σ²) مستقلان؛ 0<σ<∞، بلا وحدة. T=X²+Y²,Q=X²/T؛ الأصل احتماله صفر. [2][4]

اجمع فروع الإشارات

أربعة فروع للإشارتين: x=±√(qt),y=±√((1−q)t)؛ لكل فرع جاكوبيان مطلق 1/(4√(q(1−q))). نجمع الفروع؛ 0<q<1,t>0. [2][3][4]

احسب توزيع النصيب

الكثافة h(q)=1/(π√(q(1−q))) داخل (0,1)، وصفر خارجه؛ Beta(1/2,1/2). التراكم F(q)=2asin(√q)/π على [0,1]؛ صفر قبلها، وواحد بعدها. [1][2][3][4]

افصل النصيب والمجموع

كثافة المجموع k(t)=e^(−t/(2σ²))/(2σ²) لـt>0، وصفر خارجه. المشترك h(q)k(t)؛ لذا النصيب مستقل عن المجموع. [2][3][4]

قارن الاحتمالات والأطراف

للقيم المؤلفة q=1/4,1/2,3/4، التراكم 1/3,1/2,2/3. الكثافة تتباعد قرب الطرفين، لكن P(Q=0)=P(Q=1)=0؛ ليست كتلة طرفية ولا توزيعًا منتظمًا. [1][2][4]

احتمال النصيب — تراكم أصلي. [1][2][3][4]

المراجع

مفهوم الاحتمالات

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.