نقطة فيرما: أقل مجموع للمسافات إلى رؤوس المثلث

الخلاصة السريعة

إذا كانت زوايا المثلث كلها أصغر من 120°، فإن نقطة فيرما الأولى داخلية وتقلل مجموع المسافات إلى الرؤوس؛ الزوايا بين القطع الثلاث عندها 120°. [1] وإذا كانت زاوية أحد الرؤوس 120° أو أكبر، يتحقق أقل مجموع عند ذلك الرأس. [2]

• المطلوب S(Y)=YA+YB+YC، بمسافات مستقيمة إقليدية متساوية الوزن. لا نجمع مربعات المسافات، ولا أعمدة إلى الأضلاع، ولا نستبدل الإحداثيات بوسيط قائمتين.
• في النموذج A=(6,0)، B=(−4,4√3)، C=(−5,−5√3)، أطوال XA و XB و XC هي 6 و 8 و 10. اتجاهاتها الوحدية تتجمع إلى الصفر، والضرب القياسي بين كل اتجاهين −1/2؛ الزوايا بينها 120°.
• لكل نقطة Y، المتباينة بين طول المتجه وإسقاطه تعطي S(Y)≥24. تحقق X المساواة؛ وفحص شروط المساواة يثبت أنها النقطة الوحيدة التي تحقق الحد في مثالنا، لا مجرد أفضل نقطة في شبكة تجريبية.
• مركز الثقل G=(−1,−√3/3) يعطي مجموع أطوال يقارب 24.125، أكبر من 24. لكن مجموع المربعات عنده 196 بدل 200 عند X؛ تغيير الهدف يغير نقطة الحد الأدنى.
• في مثلث A₀=(0,0)، B₀=(8,0)، C₀=(−3,4)، جيب تمام زاوية A₀ يساوي −3/5، فهي أكبر من 120°. أقل مجموع 13 عند A₀؛ نثبت حدًا عامًا S₀(Y)≥13+(1−2/√5)|Y|.
• حد 120° يحدد متى ينتقل حل مسألة المسافات إلى الرأس. التكبير بعامل 2 يضاعف الحد 24 إلى 48، ومجموع المربعات إلى أربعة أمثاله. هذه مسافات مستقيمة في مستوى؛ أوزان مختلفة أو مسارات طرق تحتاج مسألة أخرى.

حدد ما الذي تريد تصغيره

لأي نقطة Y في المستوى، نرمز بـ YA إلى طول القطعة المستقيمة من Y إلى A، وبالمثل YB و YC. نكتب S(Y)=YA+YB+YC. الوحدات واحدة والأوزان الثلاثة متساوية؛ لا نختار نقطة على أحد الأضلاع فقط ولا نحصر البحث في رؤوس المثلث.

إذا كان Y=(x,y)، فإن YA=√((x−6)²+y²) في مثالنا. أما YB و YC فيحسبان من إحداثيات رأسيهما. الجذر جزء من الطول؛ حذفه يحول السؤال إلى تصغير مجموع المربعات، وهي مسألة مختلفة سنرى حلها.

لا نقصد المسافات العمودية إلى خطوط الأضلاع. تلك المسافات تنتهي بأقدام أعمدة، بينما القطع هنا تنتهي بالرؤوس A و B و C. ولا نعامل الإحداثي الأفقي والرأسي كقائمتين مستقلتين نأخذ وسيط كل منهما.

سنثبت حدًا ينطبق على كل Y في المستوى. فحص نقاط مرسومة كثيرة قد يقترح جوابًا، لكنه لا يستبعد نقطة أفضل بين نقاط الفحص. برهان الحد الأدنى يبدأ بمتباينة صحيحة لكل نقطة، ثم يبين أين تتحقق المساواة.

راجع الأطوال والزوايا عند النقطة المرشحة

نضع X=(0,0). من الإحداثيات نجد XA²=36، و XB²=16+48=64، و XC²=25+75=100. الأطوال الموجبة 6 و 8 و 10، ولذلك S(X)=24. هذه القيم أطوال إلى الرؤوس، وليست أطوال أضلاع المثلث.

الأضلاع نفسها تحقق BC²=244، و CA²=196، و AB²=148. وحواصل الضرب عند الرؤوس A و B و C هي 50 و 98 و 146، كلها موجبة؛ إذن زوايا المثلث حادة، وتحقق شرط كونها أقل من 120°.

اتجاهات الوحدة من X إلى الرؤوس هي uA=(1,0)، uB=(−1/2,√3/2)، uC=(−1/2,−√3/2). مربع طول كل اتجاه 1، ومجموعها (0,0). كل حاصل ضرب بين اتجاهين مختلفين −1/2، وهو جيب تمام 120°.

للتأكد من أن X داخلية، تحقق 20A+15B+12C=(0,0). مجموع الأوزان 47، وكلها موجبة، فيكون X=(20A+15B+12C)/47. يوافق ذلك ثلاث قطع تخرج من نقطة داخلية؛ ومع أن زواياها متساوية فإن أطوالها 6 و 8 و 10 مختلفة.

اثبت الحد الأدنى لكل نقطة في المستوى

إذا كان u متجه وحدة و v أي متجه، فإن|v|≥u·v. هذه متباينة الإسقاط: قيمة الإسقاط على اتجاه واحد لا تتجاوز طول المتجه. يجوز أن يكون الإسقاط سالبًا، بينما الطول لا يكون سالبًا.

طبقها على A−Y والاتجاه uA. بما أن uA·A=6، نحصل على YA≥6−uA·Y. وبالمثل YB≥8−uB·Y و YC≥10−uC·Y. كل متباينة تستعمل الاتجاه الثابت من X إلى رأسها؛ لا نغير الاتجاه مع Y.

عند الجمع نحصل على S(Y)≥24−(uA+uB+uC)·Y=24، لأن مجموع الاتجاهات صفر. وتحقق X الحد، فكل مسافة عندها تساوي القيمة التي استعملناها في الإسقاط. إذن 24 أقل مجموع على المستوى كله.

للمساواة، يلزم أن يكون A−Y في اتجاه uA غير السالب، وأن يكون B−Y في اتجاه uB، وكذلك C−Y. الشرطان الأولان يضعان Y على خطي XA و XB؛ وهما خطان مختلفان لا يلتقيان إلا عند X. لذلك الحد يتحقق عند X وحدها في نموذجنا.

لماذا لا يعطي مركز الثقل أقل مجموع أطوال؟

مركز الثقل هو G=(A+B+C)/3=(−1,−√3/3). مربعات المسافات منه إلى A و B و C هي 148/3 و 196/3 و 244/3. بعد أخذ الجذور وجمعها نحصل على S(G)≈24.12517؛ التقريب هنا للمقارنة، أما الحد 24 فمثبت بدقة.

عند X، مجموع المربعات 36+64+100=200. وعند G، مجموعها (148+196+244)/3=196. إذن G تحسن هدف المربعات، لكنها لا تحسن هدف الأطوال. لا نستنتج ترتيب مجموع الجذور من ترتيب مجموع الأعداد تحتها.

لكل Y، هوية مجموع المربعات هي YA²+YB²+YC²=196+3|Y−G|². تأتي من كتابة Y−A=(Y−G)+(G−A) وتوسيع المربع، ثم جمع الحدود؛ يلغي مجموع G−A و G−B و G−C الحد المختلط.

الحد 3|Y−G|² غير سالب ويساوي صفرًا عند G، فيثبت أنها تقلل مجموع المربعات. أما برهان 24 فاستعمل اتجاهات الوحدة وجمع الأطوال. الجدول يجمع النتيجتين تحت اسم الهدف المناسب كي لا نستبدل إحداهما بالأخرى.

ماذا يحدث عندما تبلغ زاوية رأس مئة وعشرين؟

إذا كانت زاوية رأس 120° أو أكبر، فإن ذلك الرأس يعطي أقل مجموع للمسافات إلى الرؤوس. [2] نتحدث هنا عن حل مسألة الحد الأدنى؛ لا نخلط هذا الرأس مع امتداد تعريف مركز إيزوغوني بإنشاء هندسي خارج النطاق الداخلي.

خذ A₀=(0,0)، B₀=(8,0)، C₀=(−3,4). الطولان A₀B₀=8 و A₀C₀=5؛ جيب تمام زاوية A₀ هو −24/(8×5)=−3/5، أصغر من −1/2، فتزيد الزاوية على 120°. عند A₀ يكون المجموع 0+8+5=13.

اتجاها الوحدة إلى B₀ و C₀ هما u=(1,0)، v=(−3/5,4/5). مجموعهما (2/5,4/5)، ومربع طوله 4/5، فيكون طوله 2/√5، أصغر من 1. وبمتباينة الإسقاط نحصل على YB₀≥8−u·Y و YC₀≥5−v·Y.

إضافة YA₀=|Y| تعطي S₀(Y)≥13+|Y|−(u+v)·Y≥13+(1−2/√5)|Y|. معامل|Y| موجب؛ لذلك أي Y≠A₀ تعطي أكثر من 13. هذا برهان للحد الأدنى الوحيد في المثال، دون قسمة على مسافة صفرية عند الرأس.

راجع الحد الفاصل والتكبير وطبيعة المسافة

لتفسير الحد 120° عامة، انقل الرأس A₀ إلى الأصل، وسمِّ زاويتهθ. اتجاها الوحدة u و v إلى الرأسين الآخرين يحققان|u+v|²=2+2cosθ. إذا كانتθ≥120°، تكون هذه القيمة≤1، فيكون 1−|u+v| غير سالب.

الحساب السابق يعطي S₀(Y)≥A₀B₀+A₀C₀+(1−|u+v|)|Y|. عندθ=120° يصبح المعامل صفرًا، وتظل المتباينة تثبت أن الرأس يحقق الحد. لا نستخدم حينها حجة «المعامل موجب» التي أثبتت الانفراد في مثال الزاوية الأكبر.

إذا كبرنا المثلث الأول وكل إحداثياته بعامل 2، تصبح المسافات عند X12 و 16 و 20، ومجموعها 48. ومجموع المربعات عند X800، وعند مركز الثقل 784. تتضاعف الأطوال، بينما تتضاعف المربعات أربع مرات.

المسألة هنا لثلاث نقاط غير مستقيمة ومسافات إقليدية مستقيمة متساوية الوزن. أوزان مختلفة، أو منع المرور بمنطقة، أو استعمال طرق فعلية يغير دالة الهدف. احسب الأطوال المطلوبة كما عرّفتها المسألة، وافحص شرط الزوايا قبل اختيار نقطة داخلية.