نقطة ناغل: اجتماع الوصلات إلى تماس الدوائر المماسة الخارجية

الخلاصة السريعة

نقطة ناغل هي نقطة اجتماع الوصلات بين رؤوس مثلث غير منعدم ونقاط تماس الدوائر المماسة الخارجية المقابلة لها مع الأضلاع المقابلة. نختار تماس دائرة مختلفة لكل رأس؛ لا نأخذ التماسات الثلاثة من الدائرة الداخلية. [1]

• اختر الدائرة المماسة الخارجية المقابلة لكل رأس. تمس هذه الدائرة ضلعه المقابل وامتدادي الضلعين الآخرين؛ صل الرأس بتماسها على الضلع المقابل. [1]
• في مثالنا، مراكز الدوائر IA=(21,14)، IB=(−7,21/2)، IC=(8,−12)، وأنصاف أقطارها 14 و 21/2 و 12. لكل دائرة مسافات عمودية متساوية إلى خطوط الأضلاع الثلاثة.
• التماسات المختارة D=(49/5,28/5)، E=(35/13,84/13)، F=(8,0) تقع داخل الأضلاع. نسب التقسيم BD/DC=7/8، CE/EA=6/7، AF/FB=8/6؛ حاصل ضربها 1.
• النقطة N=(7,4) تحقق الخطوط 4x−7y=0 و 4x+7y=56 و 4x+y=32. الأوزان الموجبة 6 و 8 و 7 تعطي N=(6A+8B+7C)/21؛ ونشرح الصيغة العامة.
• كل وصلة في المثال تقسم محيط المثلث إلى مسارين طول كل منهما 21. هذا تقسيم للمحيط على جانبي الرأس، وليس قولًا بأن نقطة التماس منتصف الضلع.
• تماس الدائرة الداخلية على BC هو K=(46/5,32/5). استبدال D به يغيّر AD إلى AK؛ عند N يكون 16x−23y=20، لا صفرًا. ناغل ليست جيرغون ولا مركز الدائرة الداخلية في المثال.

دائرة مختلفة مقابل كل رأس

الدائرة المماسة الخارجية المقابلة للرأس A تمس الضلع BC وخطَّي AB و AC على امتداديهما. ويناظرها اختياران مقابل B و C. نقطة ناغل هي اجتماع الوصلات إلى التماسات الثلاثة المختارة على الأضلاع المقابلة. [1]

سمِّ التماس على BC بالنقطة D، وعلى CA بالنقطة E، وعلى AB بالنقطة F. القطع المطلوبة AD و BE و CF. النقطة D تخص الدائرة المقابلة لـ A، و E تخص دائرة B، و F تخص دائرة C. تثبيت هذا الاقتران يمنع جمع نقاط من دوائر غير مناسبة.

نستعمل هنا عبارة «الدائرة المماسة الخارجية» للدائرة التي تمس خطوط الأضلاع من خارج المثلث. لا نقصد الدائرة المحيطة التي تمر بالرؤوس. التماس على ضلع شيء، والمرور برأس شيء آخر؛ لذلك لا تختَر دائرة بمجرد أن مركزها خارج المثلث.

راجع مراكز الدوائر وأنصاف أقطارها

في المثلث المختار AB=14، و AC=13، و BC=15، لأن AC²=5²+12²=169 و BC²=(5−14)²+12²=225. مساحته 14×12/2=84 ونصف محيطه s=21. خطوط الأضلاع هي y=0 و 12x−5y=0 و 4x+3y=56.

للدائرة المقابلة لـ A نختار IA=(21,14) ونصف قطر 14. بعدها عن AB هو 14. عند التعويض في خط AC نجد|12×21−5×14|/13=182/13=14، وفي BC نجد|4×21+3×14−56|/5=70/5=14. إذن خطوط الأضلاع الثلاثة مماسة لهذه الدائرة.

الدائرة المقابلة لـ B مركزها IB=(−7,21/2) ونصف قطر 21/2. بعدها عن AB يساوي 21/2. قيمة 12x−5y عند المركز هي −273/2، فالبعد عن AC هو (273/2)/13=21/2. وعن BC يكون البعد|−28+63/2−56|/5=(105/2)/5=21/2.

أما المقابلة لـ C فمركزها IC=(8,−12) ونصف قطر 12. البعد عن AB هو 12، وعن AC هو|96+60|/13=12، وعن BC هو|32−36−56|/5=12. المراكز الثلاثة خارج المثلث، ويحدد موضع كل منها الدائرة المقابلة المناسبة.

أقدام الأعمدة إلى الخطين الآخرين تقع على امتدادي الضلعين. مثلًا دائرة A تمس امتداد AB عند (21,0)، وامتداد AC عند (105/13,252/13). النقطة الأولى بعد B، والثانية بعد C؛ أما التماس المختار D فيقع على BC نفسها. الرسم الثاني يظهر الامتدادات بالرمادي.

استخرج التماسات ونسب التقسيم

قدم العمود من IA إلى BC هي D=(49/5,28/5). تتحقق معادلة الضلع لأن 4×49/5+3×28/5=56. المتجه من IA إلى D هو (−56/5,−42/5)، ومربع طوله 196؛ وحاصل ضربه القياسي مع اتجاه BC=(−9,12) يساوي 0.

نقطة D تساوي B+(7/15)(C−B)، ولذلك BD=7 و DC=8. تقع على القطعة لأن 7/15 بين 0 و 1. للدائرة B نجد E=(35/13,84/13)=C+(6/13)(A−C)، فتكون CE=6 و EA=7. للدائرة C نجد F=(8,0)، فتكون AF=8 و FB=6.

المتجه IB إلى E هو (126/13,−105/26). مربع طوله 441/4، وهو مربع نصف القطر 21/2؛ وضربه القياسي مع اتجاه CA=(−5,−12) يساوي 0. أما IC إلى F فهو (0,12)، عمودي على AB وطوله 12.

النسب الدورية BD/DC=7/8، و CE/EA=6/7، و AF/FB=8/6. حاصل (7/8)×(6/7)×(8/6)=1. نحافظ على اتجاه النسب حول المثلث؛ الفحص الدقيق للقدم والتعامد والموضع أهم من تقدير التماس بالنظر إلى الصورة.

افحص اجتماع الخطوط ثم برهنه بالأوزان

خط AD هو 4x−7y=0، وخط BE هو 4x+7y=56. بجمع المعادلتين نجد 8x=56، أي x=7، ثم y=4. الخط الثالث CF هو 4x+y=32، وتتحققه النقطة نفسها لأن 4×7+4=32. إذن N=(7,4) نقطة اجتماع الوصلات.

للبرهان العام، اكتب a=BC، b=CA، c=AB و s=(a+b+c)/2. ضع u=s−a، v=s−b، w=s−c؛ وهي موجبة في مثلث غير منعدم. عندئذ a=v+w و b=w+u و c=u+v.

تماس الدائرة المماسة الخارجية على BC يقسمه إلى BD=w و DC=v. لنرَ السبب: من A يتساوى طولا المماس على امتدادي AB و AC. إذا كان طول كل منهما L، فإن BD=L−c و CD=L−b. مجموعهما a، فينتج 2L=a+b+c، أي L=s. فتكون BD=s−c=w و CD=s−b=v.

وبالتبديل الدوري CE=u و EA=w، ثم AF=v و FB=u. بالمتجهات تصبح D=(vB+wC)/(v+w)، E=(wC+uA)/(w+u)، F=(uA+vB)/(u+v). عرّف N=(uA+vB+wC)/(u+v+w).

نجمع الحدين vB+wC في البسط لنكتب N=(uA+(v+w)D)/(u+v+w). هذه أوزان موجبة مجموعها 1 بعد القسمة، ولذلك تقع N داخل AD. وبالمثل N=(vB+(w+u)E)/(u+v+w) و N=(wC+(u+v)F)/(u+v+w)، فتقع داخل BE و CF أيضًا. هذا يثبت الاجتماع العام.

في مثالنا u=6 و v=8 و w=7، فمجموع الأوزان 21. نحصل على N=(6A+8B+7C)/21. الإحداثي الأفقي (112+35)/21=7، والرأسي 84/21=4، فتكون N=(7,4). الحساب بهذه الأوزان يوافق حل معادلتي الخطين، ولا يعتمد على تقريب الكسور في نقاط التماس.

كل وصلة تقسم المحيط إلى مسارين متساويين

على جانبي AD نسير على حدود المثلث من A إلى D: المسار الأول عبر B طوله AB+BD=14+7=21، والثاني عبر C طوله AC+CD=13+8=21. الوصلة AD نفسها ليست جزءًا من أي من هذين المسارين.

وعند BE، المسار من B عبر C إلى E طوله BC+CE=15+6=21، والمسار من B عبر A إلى E طوله BA+AE=14+7=21. وعند CF نحصل على CA+AF=13+8=21 و CB+BF=15+6=21.

ينتج هذا التساوي العام من الحساب السابق: c+BD=c+(s−c)=s، و b+CD=b+(s−b)=s. لذلك تصل الوصلة إلى نقطة تقسم المحيط على جانبي الرأس إلى نصفين. لكنها لا تنصف طول الضلع المقابل بالضرورة؛ عند D مثلًا 7≠8.

اختبر الخلط مع تماس الدائرة الداخلية

الدائرة الداخلية لهذا المثلث مركزها I=(6,4) ونصف قطرها 4. تماسها على BC هو K=(46/5,32/5)، وتماسها على AB هو (6,0). هاتان النقطتان تختلفان عن D=(49/5,28/5) و F=(8,0) المستعملتين في بناء ناغل.

إذا أبقينا E و F من الدائرتين الخارجيتين واستبدلنا D بالنقطة K، صار الخط الخارج من A هو AK ومعادلته 16x−23y=0. عند N=(7,4) تكون 16×7−23×4=20، وهي غير صفر. إذن AK لا يمر باجتماع BE و CF؛ لا يكفي أن تكون K نقطة تماس لدائرة ما.

اجتماع وصلات الدائرة الداخلية يسمى جيرغون؛ اختيار التماسات المقابلة للدوائر المماسة الخارجية يعطي ناغل. [1] في نموذجنا ناغل N=(7,4) تختلف عن مركز الدائرة الداخلية I=(6,4). تقارب نقطتين في صورة لا يغني عن فحص تعريفهما وإحداثياتهما.

راجع ثلاث خطوات قبل اعتماد الرسم: دائرة مناسبة مقابل كل رأس، قدم عمود صحيحة على ضلعه المقابل، ثم مرور الخط الثالث بتقاطع الخطين الأولين. احتفظ بالكسور في الحساب، واستخدم الصورة لشرح البناء لا لإثبات أن البواقي تساوي صفرًا.