أقل محيط لمستطيل مساحته ثابتة: ماذا يغيّر شرط الأبعاد الصحيحة؟

اكتب المساحة وشرط الأبعاد قبل الحساب

يشرح دليل Mathematics Hub أن مساحة المستطيل تُحسب بضرب طوله في عرضه، وأن محيطه مجموع أطوال أضلاعه الأربعة، أو ضعف مجموع الطول والعرض. سنستخدم هذين الحسابين في جدولنا الأصلي، مع شرط إضافي نكتبه نحن: البعدان عددان صحيحان موجبان. ^[1]

تخيل بطاقة تمرين تقول: ارسم مستطيلًا مساحته 30سم²، وطوله وعرضه مقاسان بالسنتيمتر، وكلاهما عدد صحيح موجب. لا يعني ذلك أن المساحة نفسها تكفي لتحديد البعدين؛ سنرى عدة اختيارات تحققها. كما لا يعني أن كل بعد يجب أن يكون من مضاعفات الثلاثين. نبحث عن عددين حاصل ضربهما ثلاثون، ثم نقارن ما ينتج عن كل زوج.

اكتب سطرين منفصلين في ورقتك: شرط المساحة، وشرط نوع الأعداد. لو أهملت الثاني فقد تختار بعدًا كسريًا، ولو أهملت الأول فقد تختار مربعًا صغيرًا لأن حدوده قصيرة. المطلوب أقل محيط بين المرشحين المقبولين، وليس أقل محيط لأي شكل يمكنك رسمه. كلمة «بين» هنا تربط النتيجة بمجموعة اختيارات واضحة.

كوّن جميع الأزواج دون تكرار الاتجاه

نبدأ بالبعد الأصغر ونسميه أ. إذا كان أ يساوي واحدًا، فالآخر ثلاثون. وإذا كان اثنين، فالآخر خمسة عشر. وإذا كان ثلاثة، فالآخر عشرة. عند أربعة يكون حاصل قسمة ثلاثين عليه سبعة ونصفًا، وهذا لا يوافق شرط الأعداد الصحيحة. عند خمسة يكون الآخر ستة، فيدخل الزوج في القائمة. لم نسقط الأربعة لأنها كبيرة أو صغيرة، بل لأن شريكها غير مقبول.

اكتب الأزواج بالشكل التالي: 1×30، ثم 2×15، ثم 3×10، ثم 5×6. لا تضف 30×1 بوصفه تصميمًا جديدًا في جدول الاختيار؛ إنه المستطيل نفسه بعد تبديل الاتجاه. ويمكنك رسمه أفقيًا أو رأسيًا إذا أردت، لكن هذا لا يمنحك نتيجة مساحة أو محيط جديدة. بهذا التنظيم يقل تكرار العمل من غير أن نخفي مرشحًا مختلفًا.

خصص عمودًا لسبب القبول. بجانب كل زوج مقبول اكتب أن حاصل الضرب ثلاثون وأن البعدين صحيحان موجبان. وبجانب أربعة اكتب أن البعد الثاني سبعة ونصف. هذا السطر المرفوض مفيد؛ فهو يبين للقارئ أنك فحصت المرشح، ويمنع الاعتقاد بأن الجدول اختار الأزواج الملائمة للنتيجة فقط.

قارن المحيطات المحسوبة

نحسب لكل زوج ضعف مجموع البعدين في مثالنا. للزوج الأول: 2×(1+30)=62. للثاني: 2×(2+15)=34. للثالث: 2×(3+10)=26. وللرابع: 2×(5+6)=22. جميع النتائج بالسنتيمتر، لأننا نجمع أطوالًا. المساحة بقيت ثلاثين سنتيمترًا مربعًا في الصفوف الأربعة، فلا ننقل علامة التربيع إلى عمود المحيط.

قارن اثنين وعشرين بالنتائج الثلاث الأخرى: إنه أصغر من ستة وعشرين، وأربعة وثلاثين، واثنين وستين. إذن نختار البعدين خمسة وستة ضمن السؤال. لا تحتاج هذه المقارنة إلى تقريب عشري؛ الحسابات كلها بأعداد صحيحة. وفي الرسم الداخلي نضع المستطيل خمسة في ستة بجانب ثلاثة في عشرة، فتستطيع عد الخلايا وملاحظة اختلاف الحدود مع بقاء عددها ثلاثين.

الرسم يساعد على الفهم، لكن جدول الحساب هو الذي يحدد النتيجة. قد تبدو مستطيلات مرسومة بأحجام مختلفة متقاربة بصريًا، وقد تختلف طباعة الصفحة بين الهاتف والشاشة. لهذا نكتب الأبعاد والنتائج صراحة، ولا نقيس صورة الشاشة بمسطرة ثم نعتمدها بدل الأرقام التي حددها التمرين.

لماذا يكفي هذا الحصر؟

نريد التأكد أن قائمة الأزواج كاملة. اخترنا دائمًا البعد الأصغر أولًا. لو كان هذا البعد ستة أو أكثر، لكان البعد الآخر ستة أو أكثر أيضًا، فيصبح حاصل الضرب ستة وثلاثين على الأقل، لا ثلاثين. لذلك لا يمكن أن يبدأ زوج مقبول بعدد أكبر من خمسة. وقد فحصنا الواحد والاثنين والثلاثة والأربعة والخمسة جميعًا.

هذا برهان خاص بمساحتنا وشروطها: كل زوج يمكن تدويره ليصبح البعد الأصغر أولًا، وهذا البعد أحد الأعداد التي اختبرناها. لم نعتمد على أن الجدول طويل بما يكفي، أو على أن خمسة وستة يبدوان الأقرب إلى التساوي. ولو تغيرت المساحة، نعيد الحصر وفقها قبل إطلاق حكم على أقل محيط. لا تنقل آخر صف آليًا إلى أي سؤال جديد.

اختبر خطأ التقريب وتغيير الشرط

يقترح قارئ أن يرسم خمسة في خمسة، لأنه مربع قريب من خمسة في ستة. افحص اقتراحه: 5×5=25، والمحيط عشرون. المحيط أصغر بالفعل، لكن المساحة المطلوبة ضاعت، فيُستبعد الاقتراح. ليست كل نتيجة أصغر حلًا أفضل؛ يجب أن تبقى نتيجة داخل شروط المسألة. وقد استبعدنا أربعة في سبعة ونصف للسبب الآخر: المساحة صحيحة، لكن أحد البعدين غير صحيح.

إذا سمح سؤال آخر بالأبعاد الكسرية، تتغير مجموعة الاختيارات. عندئذ لا يكفي جدول الأزواج الصحيحة لإثبات أقل محيط في المجال الجديد. لا ندعي في هذه الورقة أننا بحثنا جميع الأبعاد الحقيقية، ولا نستخدم نتيجة المجال الصحيح حكمًا عامًا عليها. ضع هذه الملاحظة قرب الإجابة حتى يعرف القارئ ما أثبتناه وما لم يدخل في الحساب.

تدريبان مع تحقق مستقل

جرّب مساحة 20سم² مع الشرط نفسه قبل قراءة الحل. الأزواج دون تكرار هي واحد مع عشرين، واثنان مع عشرة، وأربعة مع خمسة. محيطاتها اثنان وأربعون، وأربعة وعشرون، وثمانية عشر. نختار أربعة وخمسة. البعد الأصغر لا يمكن أن يبلغ خمسة، لأن خمسة في خمسة أكبر من عشرين؛ المرشح ثلاثة لا يقسم المساحة إلى بعد صحيح.

ولمساحة 36سم²، الأزواج هي واحد مع ستة وثلاثين، واثنان مع ثمانية عشر، وثلاثة مع اثني عشر، وأربعة مع تسعة، وستة مع ستة. المحيطات أربعة وسبعون، وأربعون، وثلاثون، وستة وعشرون، وأربعة وعشرون. هنا المربع مقبول ويعطي الأقل؛ تحقق من حاصل ضربه، ولا تفترض وجود مربع مقبول في كل مساحة. اختم ورقتك بالمساحة والشرط والزوج المختار ومحيطه، ثم احتفظ بسطر يثبت اكتمال الحصر.

للمراجعة، غط عمود المحيط وأعد الحساب من كل زوج، ثم غط عمود الأبعاد واستعده من المساحة. إن وجدت صفًا مكررًا بالتدوير، ادمجه مع شريكه ولا تعده اختيارًا جديدًا. وإن وجدت ناتجًا أصغر، افحص شرط القبول قبل تغيير إجابتك النهائية.