مجموع طبيعيين وفرقُهما: لماذا يستقلان؟

ضمن الفروض الآتية، تنفصل الكثافة المشتركة. [2][3][4]

الخلاصة السريعة

الاستقلال يأتي من التحليل إلى حاصل ضرب. [4]

X,Y~N(0,σ²) مستقلان؛ 0<σ<∞، بلا وحدة. S=X+Y,D=X−Y. المجال هو المستوى الحقيقي كله. [2][4]
العكس x=(s+d)/2,y=(s−d)/2؛ المحدد −1/2، والجاكوبيان المطلق 1/2. [3]
h(s,d)=e^(−(s²+d²)/(4σ²))/(4πσ²)=f_S(s)f_D(d). لذا S,D مستقلان، وكل منهما N(0,2σ²) بانحراف √2σ. [1][2][3][4]
H(s,d)=P(S≤s,D≤d)=Φ(s/(√2σ))Φ(d/(√2σ)) لكل s,d حقيقيين؛ Φ تراكم الطبيعي المعياري. [1][2][4]
عند σ=1، للأزواج المؤلفة (s,d)=(0,0),(1,1),(2,1)، الاحتمالات 0.25,0.577980,0.700457 تقريبًا. تحجيم σ,s,d معًا بعامل موجب يحفظها؛ مشاركة المدخلين لا تمنع الاستقلال هنا. [1][2][4]

ثبت الفروض

X,Y~N(0,σ²) مستقلان؛ 0<σ<∞، بلا وحدة. S=X+Y,D=X−Y. المجال هو المستوى الحقيقي كله. [2][4]

اعكس التحويل

العكس x=(s+d)/2,y=(s−d)/2؛ المحدد −1/2، والجاكوبيان المطلق 1/2. [3]

حلل الكثافة

h(s,d)=e^(−(s²+d²)/(4σ²))/(4πσ²)=f_S(s)f_D(d). لذا S,D مستقلان، وكل منهما N(0,2σ²) بانحراف √2σ. [1][2][3][4]

احسب احتمال المستطيل

H(s,d)=P(S≤s,D≤d)=Φ(s/(√2σ))Φ(d/(√2σ)) لكل s,d حقيقيين؛ Φ تراكم الطبيعي المعياري. [1][2][4]

راجع أمثلة مؤلفة

عند σ=1، للأزواج المؤلفة (s,d)=(0,0),(1,1),(2,1)، الاحتمالات 0.25,0.577980,0.700457 تقريبًا. تحجيم σ,s,d معًا بعامل موجب يحفظها؛ مشاركة المدخلين لا تمنع الاستقلال هنا. [1][2][4]

احتمال المستطيل — تراكم أصلي. [1][2][3][4]

المراجع

مفهوم الاحتمالات

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.