التخميد الحرج: حدد سرعة البداية قبل الحكم على عبور الاتزان. [2]
الخلاصة السريعة
التخميد الحرج يمنع التأرجح المتكرر، لكنه يسمح بعبور واحد حسب سرعة البداية. [2]
- نفترض كتلة m>0 على نابض خطي ثابت k>0، ومخمّد لزج قوته −bv، حيث b ثابت موجب وv السرعة بإشارة. الحركة أفقية في بُعد واحد، بلا قوة دفع خارجية أو احتكاك آخر؛ نبقى ضمن صلاحية النموذج الخطي. [1]
- نقيس x عن الاتزان؛ اليمين موجب. المعادلة mẍ+bẋ+kx=0؛ النقطتان تعنيان التسارع والنقطة السرعة. التخميد حرج عند b=2√(mk). نعرّف β=b/(2m)=√(k/m)، بوحدة s⁻¹. m بالكيلوغرام، k بوحدة N/m، وb بوحدة N·s/m. [1]
- عند x(0)=x0>0 وv(0)=v0، الحل x(t)=[x0+(v0+βx0)t]e^(−βt). الزمن t بالثانية، والإزاحة بالمتر، وv0 بالمتر/ثانية. نحدد المعامل الخطي من مشتقة الحل عند t=0. [2]
- الأسّي موجب دائمًا؛ لذلك يوجد عبور عند t>0 فقط إذا v0<−βx0، وزمنه tc=x0/(−v0−βx0). إذا v0≥−βx0 فلا عبور. ولأن القوس خطي لا يحدث عبور ثانٍ؛ هذا لحركة حرة بهذا النموذج. [2]
- مثال حسابي: m=1kg وk=4N/m وb=4N·s/m، فتكون β=2s⁻¹؛ x0=0.10m. عند v0=0 يصبح x=(0.10+0.20t)e^(−2t)، وعند v0=−0.20m/s يصبح x=0.10e^(−2t)؛ لا عبور في الحالتين. [2]
- عند v0=−0.40m/s لنفس المثال: x=(0.10−0.20t)e^(−2t)، وtc=0.50s. عند t=1s نجد x≈−0.01353m؛ يقترب بعدها من الاتزان من اليسار. العبور ليس استقرارًا لحظيًا: عنده v≈−0.07358m/s. [2]
ثبت نموذج القوة
نفترض كتلة m>0 على نابض خطي ثابت k>0، ومخمّد لزج قوته −bv، حيث b ثابت موجب وv السرعة بإشارة. الحركة أفقية في بُعد واحد، بلا قوة دفع خارجية أو احتكاك آخر؛ نبقى ضمن صلاحية النموذج الخطي. [1]
افحص شرط التخميد الحرج
نقيس x عن الاتزان؛ اليمين موجب. المعادلة mẍ+bẋ+kx=0؛ النقطتان تعنيان التسارع والنقطة السرعة. التخميد حرج عند b=2√(mk). نعرّف β=b/(2m)=√(k/m)، بوحدة s⁻¹. m بالكيلوغرام، k بوحدة N/m، وb بوحدة N·s/m. [1]
احسب حل البداية
عند x(0)=x0>0 وv(0)=v0، الحل x(t)=[x0+(v0+βx0)t]e^(−βt). الزمن t بالثانية، والإزاحة بالمتر، وv0 بالمتر/ثانية. نحدد المعامل الخطي من مشتقة الحل عند t=0. [2]
استخرج شرط العبور
الأسّي موجب دائمًا؛ لذلك يوجد عبور عند t>0 فقط إذا v0<−βx0، وزمنه tc=x0/(−v0−βx0). إذا v0≥−βx0 فلا عبور. ولأن القوس خطي لا يحدث عبور ثانٍ؛ هذا لحركة حرة بهذا النموذج. [2]
قارن حالتين دون عبور
مثال حسابي: m=1kg وk=4N/m وb=4N·s/m، فتكون β=2s⁻¹؛ x0=0.10m. عند v0=0 يصبح x=(0.10+0.20t)e^(−2t)، وعند v0=−0.20m/s يصبح x=0.10e^(−2t)؛ لا عبور في الحالتين. [2]
افحص عبورًا واحدًا
عند v0=−0.40m/s لنفس المثال: x=(0.10−0.20t)e^(−2t)، وtc=0.50s. عند t=1s نجد x≈−0.01353m؛ يقترب بعدها من الاتزان من اليسار. العبور ليس استقرارًا لحظيًا: عنده v≈−0.07358m/s. [2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.