الدوال المثلثية: المجال والدورة بأمثلة إحداثيات أصلية

نقرأ النسب من نقطة أصلية، ثم نفحص المجال والدورة ومنحنى جيب مزاح.

الخلاصة السريعة

الدوال المثلثية تربط الزاوية بنسب إحداثيات نقطة على دائرة؛ المجال يحدد المدخلات المسموحة، والدورة تحدد مقدار التكرار.

الجيب sin وجيب التمام cos يعرفان لكل زاوية حقيقية؛ ويستثني الظل tan الزوايا π/2+kπ، حيث k عدد صحيح. [3]
في نقطتنا (-8,15) نصف القطر سبعة عشر: الجيب 15/17 وجيب التمام -8/17 والظل -15/8 والقاطع -17/8 وقاطع التمام 17/15 وظل التمام -8/15. تكبير الدائرة بعامل موجب لا يغير هذه النسب.
قيمة الجيب وجيب التمام بين سالب واحد وواحد؛ القاطع وقاطع التمام لا يقعان داخل (-1,1)، والظل وظل التمام مداهما الأعداد الحقيقية.
عند π/2 لا يعرف الظل، لكن ظل التمام يساوي صفرا؛ لذلك لا نستخدم مقلوب الظل هناك. رمز اللانهاية ليس قيمة حقيقية للدالة عند زاوية مستبعدة.
دورة الجيب وجيب التمام 2π؛ ودورة الظل π. انعكاس نقطتنا إلى (-8,-15) يغير إشارة الجيب والظل ويبقي جيب التمام؛ وهو مختلف عن نصف دورة. [3]
في مثالنا g(t)=3sin(2t-π/3)+1 السعة ثلاثة والدورة π وخط المنتصف واحد والإزاحة يمينا π/6. المدى [-2,4]؛ ولا يتحقق التكرار بإضافة نصف الدورة.
راجع الرسم بالحساب: خمس نقاط من π/6 إلى 7π/6 تعطي القيم واحدا وأربعة وواحدا وسالب اثنين وواحدا؛ وفحص المعنى يسبق الاعتماد على قيمة عشرية مقربة.

تعريف الدوال من الإحداثيات

لنقطة (x,y) على دائرة مركزها الأصل ونصف قطرها الموجب r، نستخدم cosθ=x/r وsinθ=y/r. ومنها tanθ=y/x وsecθ=r/x وcscθ=r/y وcotθ=x/y حيث لا يساوي المقام صفرا. على دائرة الوحدة يكون r=1. [1]

نختار نقطة تقع يسار المحور الرأسي وفوق المحور الأفقي: الإحداثي الأفقي سالب ثمانية، والرأسي خمسة عشر. نحسب مربع المسافة من المركز، فنجد أربعة وستين مضافا إليها مئتان وخمسة وعشرون، والمجموع مئتان وتسعة وثمانون. الجذر الموجب لهذا المجموع سبعة عشر. بذلك لا نحتاج إلى تقريب الزاوية نفسها لكي نحصل على النسب. لدينا إحداثيان ونصف قطر محسوب، وكل كسر في المثال يمكن فحصه بهذه الأعداد. لو أخطأنا وجعلنا نصف القطر خمسة عشر لأن النقطة عالية، لصار جيب الزاوية واحدا مع إحداثي أفقي غير صفري. لكن حساب المسافة الذي أجريناه يرفض هذا الاختيار؛ نصف القطر يجمع أثر الإحداثيين ولا يساوي ارتفاع النقطة وحده.

ستة كسور للنقطة المختارة

نقسم خمسة عشر على سبعة عشر لنجد الجيب، ونقسم سالب ثمانية على سبعة عشر لنجد جيب التمام. الكسران لا يحتاجان إلى جذر في المقام لأن المسافة في اختيارنا عدد صحيح. الظل يساوي خمسة عشر مقسوما على سالب ثمانية، أي -15/8. القاطع هو سبعة عشر مقسوما على سالب ثمانية، أي -17/8. قاطع التمام يساوي 17/15، وظل التمام يساوي -8/15. يجمع هذا المثال إشارتين موجبتين وأربع إشارات سالبة: الجيب وقاطع التمام موجبان، وبقية النسب سالبة. راجع كل إشارة من المقام والبسط الفعليين، ثم قارنها بموضع النقطة. لا نبدل سالب ثمانية بثمانية أثناء حساب النسبة؛ الطول الأفقي للمثلث الصغير ثمانية، لكن الإحداثي الذي يدخل في التعريف سالب.

لدينا فحص إضافي للحساب قبل استعمال القيم. مربع الجيب يساوي 225/289، ومربع جيب التمام يساوي 64/289. مجموع الكسرين واحد بالضبط، لأن البسط صار مئتين وتسعة وثمانين. وفي فحص القاطع نحصل على 289/64، بينما واحد مضافا إليه مربع الظل يعطي 1+225/64=289/64. كذلك مربع قاطع التمام 289/225 يطابق 1+64/225. هذه حسابات خاصة بالنقطة التي اخترناها؛ لا نعتمد توافق الأعداد في نقطة واحدة كبرهان لجميع الزوايا. فائدتها هنا أنها تكشف تبديل البسط والمقام أو ضياع إشارة قبل أن ينتقل الخطأ إلى رسم أو مسألة أخرى. أما الإشارة نفسها فلا يكشفها التربيع: لو قلبنا إشارة الجيب ظل مجموع المربعين صحيحا، ولذلك يبقى فحص الموضع ضروريا.

ما الذي يتغير عند تكبير الدائرة؟

لنضاعف إحداثيي نقطتنا ثلاث مرات. نحصل على النقطة (-24,45) ونصف قطر واحد وخمسين. الجيب الجديد 45/51 يختصر إلى خمسة عشر على سبعة عشر، وجيب التمام الجديد -24/51 يختصر إلى سالب ثمانية على سبعة عشر. وفي الظل يلغي العامل ثلاثة نفسه من البسط والمقام، فيبقى سالب خمسة عشر على ثمانية. لا تخبرنا هذه الكسور بأن حجم الرسمين واحد؛ المسافة من الأصل تغيرت فعلا. إنها تخبرنا أن الاتجاه الذي اخترناه بقي واحدا عند هذا التكبير الموجب. نرسم لهذا السبب نسخة على دائرة الوحدة: نقسم الإحداثيين الأصليين على سبعة عشر، فتتحول النقطة إلى (-8/17,15/17). لا ننقل الإحداثيين الأصليين كما هما إلى دائرة نصف قطرها واحد، لأن ذلك يناقض حساب المسافة.

نستطيع إجراء مقارنة مختلفة تكشف حدود هذه الفكرة. إذا بدلنا النقطة إلى (8,15) حافظنا على نصف القطر سبعة عشر، لكن الاتجاه صار في جهة أخرى. الجيب يبقى خمسة عشر على سبعة عشر، وجيب التمام يصير موجبا، والظل يصير خمسة عشر على ثمانية. لذلك لا يكفي تطابق نصف القطر ولا تطابق الجيب لاستنتاج أن الزاويتين واحدة. وإذا ضربنا الإحداثيين في سالب واحد حصلنا على (8,-15)؛ هذا اختيار الاتجاه المقابل، لا تكبير موجب للاتجاه الأول. يتغير فيه الجيب وجيب التمام معا، ويبقى حاصل قسمتهما سالب خمسة عشر على ثمانية. سنعود إلى هذه المقارنة حين نميز دورة الظل من دورة الجيب. الأعداد نفسها توفر لنا مثالا مرئيا على اختلاف ما يحتفظ به كل تابع من المعلومات.

المجال والدورة: جدول للزوايا الحقيقية

الجدول بالراديان؛ R مجموعة الأعداد الحقيقية، وk أي عدد صحيح. الاستثناء جزء من المجال، لا قيمة بديلة عنده.

الدالة	المجال	الدورة الأساسية
الجيب sin	R	2π
جيب التمام cos	R	2π
الظل tan	R، عدا π/2+kπ	π

يعرض MathCentre مجال الجيب وجيب التمام والظل ودوراتها؛ نلخص هنا هذه الدوال الثلاث بالراديان. [3]

المقام الصفري في ثلاث نقاط واضحة

نختبر التعريف على النقطة العليا لدائرة الوحدة، حيث الإحداثيان (0,1). الجيب واحد وجيب التمام صفر. في الظل سنقسم واحدا على صفر، وفي القاطع سنقسم نصف القطر واحدا على صفر أيضا؛ فلا نسجل ناتجا حقيقيا لهذين الكسرين. لكن ظل التمام يستعمل الإحداثي الأفقي في البسط والرأسي في المقام، فيكون 0/1=0. ويكون قاطع التمام واحدا. هذه الزاوية هي π/2، أي تسعون درجة. لا يوجد تعارض بين غياب الظل ووجود ظل التمام: التعريفان يستعملان مقامين مختلفين. لو كتبنا ظل التمام كمقلوب الظل ثم حاولنا حسابه هنا، لبدأنا بتعبير ليس معرفا. نرجع إلى كسر الإحداثيات أو إلى جيب التمام مقسوما على الجيب، فنحصل على القيمة المسموحة دون اختراع قيمة للظل.

عند النقطة اليمنى (1,0) تختلف النتيجة: الجيب صفر وجيب التمام واحد والظل صفر والقاطع واحد، بينما يغيب ظل التمام وقاطع التمام لأن مقامهما هو الإحداثي الرأسي الصفري. وعند النقطة اليسرى (-1,0) نجد الجيب صفرا أيضا، لكن جيب التمام والقاطع يساويان سالب واحد. يظل الظل صفرا، ولا يعود ظل التمام إلى المجال بسبب اختلاف الإشارة الأفقية. هكذا يسمح لنا المرور على ثلاث نقاط بأن نفصل بين الصفر المسموح في البسط والصفر الممنوع في المقام. في دفتر المثال نكتب «غير معرف» في الموضع المستبعد. إذا رأينا عددا كبيرا من حاسبة عند إدخال قيمة مقربة للتسعين، فهو حساب لمدخل مقرب أو لأخطاء عددية، ولا يغير نتيجة الكسر الدقيق الذي فحصناه.

مدى القيم من شكل الدائرة

نقطتنا على دائرة الوحدة لها ارتفاع أقل من واحد وإحداثي أفقي أكبر من سالب واحد. يمكن فحص الحدود من معادلة هذه الدائرة: x²+y²=1. إذا كان مربع أحد الإحداثيين أكبر من واحد، فلن يترك ذلك قيمة غير سالبة لمربع الآخر. لذلك لا يخرج أي منهما عن المجال المغلق بين سالب واحد وواحد. وتوجد النقاط العليا والسفلى واليمنى واليسرى بالفعل، فتتحقق النهايات أيضا. بذلك نفهم من نموذج الإحداثيات لماذا لا ينتج الجيب اثنين في أي زاوية حقيقية. هذا الاستنتاج يتعلق بتعريف الجيب نفسه؛ في نموذج سنبنيه لاحقا سنضربه في ثلاثة ثم نضيف واحدا، وهناك يمكن أن يبلغ الناتج أربعة. يجب التمييز بين قيمة الجيب وقيمة تابع يحتوي على الجيب مع عمليات أخرى.

يمكننا أيضا بناء اتجاه يجعل الظل أي عدد حقيقي نختاره، وليكن خمسة. نأخذ نقطة على اتجاه (1,5)؛ نسبة الإحداثي الرأسي إلى الأفقي خمسة، ولا يهم أن نصف القطر هنا ليس واحدا. وللحصول على سالب خمسة نأخذ (1,-5)، وللحصول على صفر نأخذ (1,0). بالمثل يعطي الاتجاه (q,1) ظل تمام يساوي q لأي عدد حقيقي. أما القاطع فهو مقلوب إحداثي أفقي لا تتجاوز قيمته المطلقة واحدا: إذا اخترنا x=1/2 حصلنا على قاطع اثنين، وإذا اخترنا x=-1/2 حصلنا على سالب اثنين. لا يعطينا أي إحداثي مسموح قاطعا بين سالب واحد وواحد. ويطبق البناء نفسه على قاطع التمام باستعمال الإحداثي الرأسي. هذه أمثلة واستدلالات على النموذج؛ لا نمثل النقاط المستبعدة بوصفها قيما لا نهائية في المدى.

التكرار والتناظر في مثالنا

نعود إلى الاتجاه الذي فيه الإحداثيان سالب ثمانية وخمسة عشر. بعد دورة كاملة نصل إلى النقطة نفسها على الدائرة، فنحصل على الكسور الستة نفسها. بعد نصف دورة نصل إلى ثمانية وسالب خمسة عشر؛ سبق أن حسبنا أن الجيب وجيب التمام يغيران إشاراتهما، بينما يبقى الظل سالب خمسة عشر على ثمانية. ويبقى ظل التمام سالب ثمانية على خمسة عشر كذلك. القاطع يتغير من سالب سبعة عشر على ثمانية إلى موجب سبعة عشر على ثمانية، وقاطع التمام يتغير من موجب سبعة عشر على خمسة عشر إلى سالبها. يوضح هذا الحساب سبب اختلاف التكرار في جدولنا: نسبة إحداثيين يتغيران معا تستطيع العودة قبل أن يعود كل إحداثي منفردا إلى قيمته الأولى.

أما انعكاس اتجاهنا حول المحور الأفقي فيعطينا النقطة (-8,-15). هنا يبقى جيب التمام سالب ثمانية على سبعة عشر، ويصبح الجيب سالب خمسة عشر على سبعة عشر، ويصبح الظل موجبا. هذا انعكاس، وليس حركة نصف دورة إلى الاتجاه المقابل. إذا جمعنا الإحداثيات في سطرين، يظهر الفرق مباشرة: الاتجاه المقابل يغير علامتي الإحداثيين، والانعكاس الذي اختبرناه يغير علامة الرأسي وحده. لا نستبدل هذا التفريق بعبارة عامة مثل «الرسم متناظر» دون تحديد المحور والعملية. في المثال الرقمي يمكننا تعيين ما تغير وما بقي ثم الرجوع إلى الرسم. وهو فحص مستقل للإشارات؛ لا يساوي حل معادلة لإيجاد جميع الزوايا الممكنة.

نموذج جيب مزاح: التحويل قبل الرسم

لصيغة A sin(wt-C)+d مع A≠0 وw≠0 تكون السعة |A| والدورة 2π/|w|، والإزاحة الأفقية C/w. نخرج عامل المدخل أولا لتحديد موضع الإزاحة. [2]

نختار بأنفسنا g(t)=3sin(2t-π/3)+1. نفك معنى المدخل بالتوزيع العكسي: 2t-π/3=2(t-π/6). لذلك نقارن هذا النموذج مع z(t)=3sin(2t)+1، ثم نكتب g(t)=z(t-π/6). إن نقل أي نقطة من منحنى المقارنة بمقدار سدس ط إلى اليمين يعطي النقطة المناظرة على المنحنى الجديد. ليس المطلوب هنا طرح ثلث ط من الإحداثي الأفقي النهائي؛ ثلث ط يقع داخل المدخل الذي ضرب في اثنين. نستطيع فحص الفرق عند موضع واضح: حين يكون المدخل t=π/6 يصبح ما داخل الجيب صفرا، فيعطي النموذج واحدا. لو وضعنا خط المنتصف عند t=π/3 على افتراض أنه أول المواضع المناظرة للصفر، لحصلنا بدلا من ذلك على 1+3√3/2. فحص عدد واحد يكشف هذا الاختيار الخاطئ للإزاحة.

خمس نقاط تبني دورة النموذج

نبدأ من سدس ط، حيث وجدنا الناتج واحدا. للوصول إلى المدخل الداخلي ربع دورة، أي π/2، نزيد المتغير الخارجي ربع ط لأن معامل المدخل اثنان. يصير الموضع الخارجي 5π/12 ويصير الجيب واحدا، فتبلغ القيمة أربعة. بعد زيادة أخرى بمقدار ربع ط نصل إلى 2π/3، حيث المدخل الداخلي ط والناتج واحد. وبعد الزيادة الثالثة نصل إلى 11π/12، فيكون الجيب سالب واحد والناتج سالب اثنين. والزيادة الرابعة توصلنا إلى 7π/6، حيث يعود الناتج واحدا. المسافة بين أول موضع وآخره ط كامل، وليست اثنين ط. لقد فحصنا بذلك نقاط المنتصف والقمة والمنتصف والقاع ثم الرجوع إلى الوضع الأول، بحساب داخلي وخارجي في كل مرة.

المدى في هذا الاختيار يمتد من سالب اثنين إلى أربعة لأننا حولنا النهايتين سالب واحد وواحد بالعملية نفسها: نضرب في ثلاثة ثم نضيف واحدا. منتصف هاتين القيمتين واحد، والمسافة من المنتصف إلى كل نهاية ثلاثة. لا نقول إن السعة أربعة لأنها قيمة القمة؛ ذلك يخلط الارتفاع عن الصفر بالارتفاع عن خط المنتصف. ويمكن اختبار نصف الدورة عند أول نقطتين متناظرتين: عند خمسة على اثني عشر ط الناتج أربعة، وبعد نصف ط يصل المدخل إلى أحد عشر على اثني عشر ط ويصير الناتج سالب اثنين. القيمتان مختلفتان، فيرفض المثال نصف ط بوصفه دورة. وفي كتابة عامة لهذا الاختيار، إضافة نصف ط تقلب إشارة الجيب داخل النموذج، فتبدل موضع القيمة بالنسبة إلى المنتصف بدلا من تكرارها.

قراءة الرسم ومراجعة القيمة المقربة

في الرسم الثاني المنحنى المتقطع هو نموذج المقارنة قبل الإزاحة، والمتصل هو النموذج الذي كتبناه. وضعنا خمس النقاط المحسوبة على المتصل كي تبقى الصلة بين الحساب والشكل مرئية. لا يتغير أعلى ارتفاع ولا أدنى ارتفاع بين المنحنيين؛ التغير الذي اختبرناه أفقي. عند الموضع صفر يعطي النموذج المزاح 1-3√3/2، أي نحو سالب واحد فاصلة ستة صفر. أما نموذج المقارنة عند الصفر فيعطي واحدا. هذا الفرق في الموضع نفسه مفيد لمراجعة أننا رسمنا دالتين مختلفتين ولم نكرر المنحنى ذاته بلون آخر. والأرقام العشرية هنا تقريبات لقيم حسبناها، وليست بيانات مشاهدة أو قياسات جهاز.

إذا حسبنا ارتفاع نقطة البداية باستعمال قيمة عشرية قصيرة لسدس ط، فقد لا يظهر الناتج واحدا تماما. نميز هذا الأثر من الخطأ في القانون: الصيغة الدقيقة تعطي صفرا داخل الجيب ثم واحدا بعد الجمع، بينما المدخل المقرب قد يترك مقدارا صغيرا داخل الجيب. لا نصحح القانون ليوافق العدد المقرب. وبالمثل لا نستنتج من اقتراب خط مرسوم من محور أن قيمة ما غير معرفة أو أنها صفر؛ نعود إلى البسط والمقام في النقاط التي فحصناها. الرسم يعرض عددا محدودا من عينات الحساب، وله حدود في إظهار التفاصيل الصغيرة. في مثالي الدائرة والمنحنى عرفنا أولا ما يجب أن تظهره النقطة أو القيمة، ثم استعملنا الشكل لفهم تلك النتيجة ومراجعتها.

منحنى المثال المزاح وخمس نقاط محسوبة مع منحنى المقارنة — رسم أصلي للنموذجين؛ المحور الأفقي بالراديان، ولا يمثل قياسات حركة حقيقية.

مسار مراجعة يجمع الأمثلة

يمكن مراجعة العمل السابق بثلاث بطاقات قصيرة بدلا من جدول طويل من الكسور المنفصلة. البطاقة الأولى تبدأ بنقطتنا وتكتب بجوارها نصف القطر المحسوب؛ منها نشتق الكسور الستة ونفحص الإشارات، ثم نضرب الإحداثيات بثلاثة لنتأكد أن تكبير هذا الاتجاه لا يغير النسب. البطاقة الثانية تبدأ بالنقطة العليا من دائرة الوحدة وتفصل النسب المسموحة من غير المعرفة؛ نضيف إليها النقطة اليمنى لكي نرى أن الصفر ينتقل بين البسط والمقام ولا يحمل الحكم نفسه في الحالتين. البطاقة الثالثة تبدأ بقانون النموذج المزاح وتكتب العامل المشترك في المدخل، ثم تبني خمس نقاط دورة واحدة. هذه البطاقات تلخص خطوات هذا المثال المحدد؛ لم نختبرها على متعلمين ولم نقس سرعة إنجازها.

ولفحص ذاتي محدد، حاول إعادة حساب القاطع في النقطة الأصلية، ثم تفسير وجود ظل التمام عند النقطة العليا، ثم حساب الموضع الذي يصل فيه النموذج إلى القاع. جواب الأول سالب سبعة عشر على ثمانية؛ يجب أن تبقى الإشارة السالبة لأن المقام سالب. جواب الثاني صفر من قسمة الإحداثي الأفقي الصفري على الرأسي الذي يساوي واحدا، مع بقاء الظل غير معرف. وجواب الثالث أحد عشر على اثني عشر ط وقيمة سالب اثنين. إن خرج أحد الأجوبة مختلفا، ارجع إلى الخطوة التي تغير فيها المقام أو المدخل الداخلي أو الإشارة. بهذا نراجع التعريف والحساب والموضع معا، دون تحويل المقال إلى قائمة لحل المثلثات أو جمع حلول المعادلات المثلثية.

المصادر ومتابعة القراءة

أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.