الزاوية الصغرى على الساعة تحتاج مقارنة موضع العقربين بالوقت المكتوب، لا بعدد علامات الساعة الواقعة بين رسمين تقريبيين. سنختار ساعة مثالية بعقربين يتحركان باستمرار وبانتظام، ونهمل الثواني وأخطاء الآلية. أوقاتنا وقياسات الرسم محسوبة، وليست رصدًا لساعة حقيقية. سنرى لماذا لا يبقى عقرب الساعات عند الرقم بعد تقدم الدقائق، ولماذا قد يكون فرق موضعي العقربين أكبر من الزاوية المطلوبة.
الخلاصة السريعة
احسب زاوية كل عقرب من علامة اثنتي عشرة في اتجاه الدوران نفسه، ثم خذ الفرق غير السالب بين الموضعين. قارنه بالقوس الآخر الذي يكمل الدورة، واختر الأصغر؛ لا تتوقف عند الفرق إذا تجاوز نصف دورة.
- معدل العقربين مختلف؛ في نموذجنا يتحرك عقرب الساعات بين العلامات أثناء تقدم الدقائق، فلا نثبته عند رقم الساعة. [1]
- كل أمثلتنا نموذج متصل الحركة دون ثوان؛ نقيس بالدرجات من علامة اثنتي عشرة، ونمثلها بالساعة صفر عند كتابة موضع العقرب.
- عند 4:20، موضع عقرب الساعات مئة وثلاثون درجة، والدقائق مئة وعشرون؛ الصغرى عشر درجات، لا صفرًا كما في رسم يثبت الساعات عند الرابعة.
- عند 8:10، فرق الموضع مئة وخمس وثمانون درجة؛ القوس الآخر مئة وخمس وسبعون، وهو الزاوية الصغرى المطلوبة.
- عند 12:50، نستخدم الساعة صفر؛ موضع الساعات خمس وعشرون والدقائق ثلاثمئة درجة، والصغرى خمس وثمانون.
- إذا كان الفرق لا يتجاوز مئة وثمانين درجة نختاره، وإلا نطرح الفرق من دورة كاملة؛ التساوي عند مئة وثمانين يعطي قوسين متساويين.
- في التمرينين، 2:15 تعطي اثنتين وعشرين ونصف درجة، و9:40 تعطي خمسين؛ راجع موضعي العقربين والقوسين، لا الناتج الأخير وحده.
ثبت نموذج الحركة ومرجع الزاوية
يبين مورد NRICH أن عقرب الدقائق يتحرك ثلاثين درجة في خمس دقائق، وأن عقرب الساعات يتحرك ثلاثين درجة في ساعة. سنبني ساعة مثالية تتحرك باستمرار، ونحسب الزاوية الصغرى في أوقات نختارها. [1]
نضع اثنتي عشرة أعلى رسمنا، ونقيس في اتجاه دوران العقربين، ونعتبر الدورة الكاملة 360°. في الحساب نسمي الساعة h، والدقائق m. قيم h من صفر إلى أحد عشر، وm من صفر إلى تسعة وخمسين، بأعداد صحيحة في هذه التمارين. نهمل عقرب الثواني؛ لا نستخرج من الصورة قراءة ثانية أو تعديلًا لساعة فعلية.
من العددين الواردين في الفقرة المرجعية نحسب في نموذجنا 30/5=6، و30/60=0.5. لذلك نكتب موضع الدقائق 6m، وموضع الساعات 30h+0.5m. الجزء الثاني يحتفظ بتقدم الساعات أثناء الدقائق. هذه حسابات للمقادير المعطاة في النموذج؛ لا نختبر بها ضبط آلية أو دقة جهاز.
الرابعة وعشرون دقيقة: لماذا لا تكون الزاوية صفرًا؟
نختار 4:20، أي h=4 وm=20. موضع الدقائق 6×20=120°. وموضع الساعات 30×4+0.5×20=120+10=130°. نطرح الموضعين بالترتيب الذي يعطي فرقًا موجبًا، فيكون الفرق عشر درجات. العقربان قريبان، لكنهما لا يتطابقان في هذا الوقت من نموذجنا.
يرسم البديل الخاطئ عقرب الدقائق عند علامة الرابعة، ثم يضع عقرب الساعات عند الرابعة نفسها. هذا البديل أهمل عشر درجات من تقدم الساعات، فيوحي بزاوية صفر. لا نصححه بتغيير وقت الورقة إلى الرابعة تمامًا؛ نعيد العقرب القصير إلى موضع مئة وثلاثين. في الرسم الصحيح يبقى عقرب الساعات بين الرابعة والخامسة، أقرب إلى الرابعة.
قبل الاعتماد على طول القوس في الصورة، راجع الرقمين المكتوبين عليه. الأطوال البصرية للعقربين مختلفة لتمييزهما، ولا تدخل في حساب الزاوية. كما أن تكبير الرسم على الشاشة لا يغير الموضعين؛ المطلوب مقارنة اتجاهين من المركز نفسه، لا المسافة بين طرفي العقربين.
الثامنة وعشر دقائق: الفرق ليس دائمًا الصغرى
لوقت 8:10، موضع الدقائق 6×10=60°، وموضع الساعات 30×8+0.5×10=245°. الفرق الموجب بين الموضعين 245−60=185°. لكنه يزيد على نصف الدورة. يوجد طريق آخر من أحد الاتجاهين إلى الآخر عبر بقية الدائرة، ومقداره 360−185=175°. إذن نختار مئة وخمسًا وسبعين درجة.
الرسم الداخلي يبين القوسين، لا زاويتين لوقتين مختلفين. كلاهما يصل الاتجاهين نفسيهما؛ أحدهما يمر عبر الجزء الأكبر من الدائرة، والآخر عبر الجزء الباقي. إذا اكتفيت بالقيمة المطلقة للفرق، بقيت عند مئة وخمس وثمانين ولم تنفذ طلب الصغرى. أضف خطوة المقارنة حتى حين يكون طرح الموضعين صحيحًا.
ولمراجعة النتيجة، اجمع القوسين: مئة وخمس وثمانون مع مئة وخمس وسبعين تساوي دورة كاملة. ثم قارن كل قوس بنصفها؛ مئة وخمس وسبعون أصغر من مئة وثمانين. هذه المراجعة تكشف اختيار القوس الكبير، لكنها لا تصلح خطأ في موضع عقرب الساعات إن كنت قد أهملت الدقائق أولًا.
اثنتا عشرة وخمسون دقيقة: ابدأ من الصفر في الحساب
نستخدم للوقت 12:50 القيمة h=0، لأن علامة اثنتي عشرة هي بداية مواضع رسمنا. موضع الساعات 0.5×50=25°، وموضع الدقائق 6×50=300°. الفرق الموجب 300−25=275°. القوس الآخر 360−275=85°، وهو الأصغر. لا نجعل عقرب الساعات على اثنتي عشرة رغم مرور خمسين دقيقة.
وضع الصفر في خانة h هنا اختيار لتمثيل الموضع من العلامة العليا، وليس تغييرًا لوقت البطاقة. في وصف الوقت نستمر في قول اثنتي عشرة وخمسون دقيقة. إذا احتفظت بأكثر من دورة في أحد الموضعين، فقد تحتاج إعادة تمثيله داخل الدورة قبل المقارنة؛ ورقتنا تتجنب ذلك باختيار المجال المذكور للساعة.
اكتب الوصف والتمثيل الحسابي بجوار بعضهما كي لا تختلط علامة الساعة برقم الموضع. ثم تحقق من أن عقرب الساعات يقع بين اثنتي عشرة والواحدة، وأن عقرب الدقائق يشير إلى علامة العاشرة. هذه فحوص لرسمنا المحدد، وليست رصدًا لحركة عقربين على جهاز.
خطوات فحص القوسين وحدود الجواب
رتب الحل في جدول: وقت البطاقة، وموضع الساعات، وموضع الدقائق، والفرق غير السالب، وبقية الدورة، ثم الأصغر. إذا كان الفرق أقل من نصف دورة، فهو الأصغر؛ وإذا زاد، نختار البقية. وإذا بلغ نصف دورة، يتساوى القوسان. في نموذجنا عند السادسة تمامًا يكون الموضعان مئة وثمانين وصفرًا، فتكون الصغرى مئة وثمانين.
وعند بداية النموذج، العقربان في الاتجاه نفسه، والفرق صفر، وهو الزاوية الصغرى. لا نحسب الدورة الكاملة بدل الصفر لمجرد وجود طريق يكمل الالتفاف. لذلك ينبغي أن يكون الجواب النهائي من صفر إلى مئة وثمانين شاملًا. جواب خارج هذا المجال يحتاج مراجعة اختيار القوس قبل أي تقريب.
ولا تستنتج الوقت بصورة فريدة من زاوية صغيرة واحدة. سؤال الورقة يعطي وقتًا ونحسب له اتجاهين؛ عكس السؤال يحتاج معلومات إضافية أو حصر أوقات ممكنة. نحن لا نعد جميع لحظات التطابق، ولا نحل مسألة زمن وقوع زاوية معينة خلال اليوم. احتفظ بما طلبته البطاقة عند تفسير الناتج.
تمرينان مع حل ومراجعة
جرّب 2:15 قبل قراءة الحل. موضع الدقائق تسعون درجة، وموضع الساعات ستون زائد سبع ونصف، أي سبع وستون ونصف. الفرق اثنتان وعشرون ونصف درجة، والبقية ثلاثمئة وسبع وثلاثون ونصف؛ نختار الأولى. لا تبق عقرب الساعات عند الثانية، وإلا حصلت على ثلاثين بدل النتيجة المحسوبة.
ثم احسب 9:40: موضع الساعات مئتان وتسعون، والدقائق مئتان وأربعون. الفرق خمسون، والبقية ثلاثمئة وعشر؛ الصغرى خمسون درجة. اختم الحل بالوقت وموضعي العقربين واختيار القوس. إذا اختلف رسمك عن الحساب، عد إلى المرجع واتجاه القياس ومساهمة الدقائق، بدل تحريك العقرب الطويل وحده حتى يبدو القوس مناسبًا.
وفي تمرين الثانية وخمس عشرة دقيقة، نبقي الحساب على أنصاف الدرجات: مساهمة الدقائق في الساعات خمسة عشر على اثنين، وفرق الموضعين خمسة وأربعون على اثنين. النتيجة اثنتان وعشرون ونصف، دون تقريب الرسم أو الحساب.
المصادر ومتابعة القراءة
- NRICH: حركة عقربي الساعة (يفتح في نافذة جديدة)nrich.maths.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.