المتوسط المرجح أسيًا: لماذا يغير مجموع الأوزان البداية؟

احفظ البسط ومجموع الأوزان

في الطريقة المرجعية، يحدث مجموع الأوزان أولًا، ثم يستعمل مقلوبه في وزن العينة الحالية. يبدأ مجموع الأوزان عند أول عينة بالقيمة 1. [1]

نكتب نسخة المثال بعامل λ=1/2: Uₙ=Uₙ₋₁/2+xₙ وWₙ=Wₙ₋₁/2+1، مع U₀=W₀=0، ثم mₙ=Uₙ/Wₙ للفهرس n≥1. العينات أعداد حقيقية بلا وحدة مادية محددة؛ التحديث عند وصول كل عينة بالترتيب.

البسط U يجمع القيم بعد ترجيحها، بينما W يجمع الأوزان نفسها. عند أول عينة U₁=x₁ وW₁=1، فيكون m₁=x₁. ليس W عددًا لمقدار العينة ولا تباينًا، وليس علينا اختراع عينات صفرية قبل البداية.

بتوسيع التحديث، Uₙ=Σⱼ₌₁ⁿ 2⁻⁽ⁿ⁻ʲ⁾xⱼ، وWₙ=Σⱼ₌₁ⁿ 2⁻⁽ⁿ⁻ʲ⁾. الأوزان قبل القسمة موجبة، ومجموعها Wₙ. بعد القسمة يصبح وزن كل عينة 2⁻⁽ⁿ⁻ʲ⁾/Wₙ، ومجموع الأوزان المطَبَّعة واحدًا.

يمكن أيضًا استنتاج تحديث المتوسط من البسط: mₙ=(1−1/Wₙ)mₙ₋₁+xₙ/Wₙ عندما n≥2. استخدمنا Uₙ₋₁=Wₙ₋₁mₙ₋₁ وWₙ−1=Wₙ₋₁/2. عند الأولى نحسب مباشرة m₁=x₁؛ فالنسبة U₀/W₀ غير معرفة.

تتبع ثلاث عينات وأوزانها

نختار x₁=5 وx₂=1 وx₃=5. عند الأولى U₁=5 وW₁=1، فـm₁=5. عند الثانية U₂=5/2+1=7/2 وW₂=1/2+1=3/2؛ إذن m₂=(7/2)/(3/2)=7/3.

عند الثالثة U₃=(7/2)/2+5=27/4 وW₃=(3/2)/2+1=7/4. المتوسط m₃=(27/4)/(7/4)=27/7، أي نحو 3.8571. نبقي الكسر في الحساب حتى لا نراكم تقريبًا وسيطًا.

الأوزان غير المطَبَّعة للأقدم فالوسط فالحالية هي 1/4 و1/2 و1. قسمتها على 7/4 تعطي 1/7 و2/7 و4/7. نتحقق من مجموعها 7/7=1، ومن المتوسط 5/7+2/7+20/7=27/7.

لو جمعنا مساهمات البسط فقط حصلنا على 27/4، لا 27/7. ولو قسمنا هذا البسط على عدد العينات 3 بدل مجموع الأوزان حصلنا على 9/4؛ كلاهما يغير التعريف. المتوسط الحسابي غير المرجح للعينات نفسها هو 11/3، وهو حساب ثالث.

الأوزان المطَبَّعة موجبة ومجموعها واحد؛ لذلك لأي عينات حقيقية يقع هذا المتوسط بين أصغر قيمة مرصودة وأكبرها. في المثال يقع 27/7 بين 1 و5. هذا فحص للحساب، ولا يثبت أن النتيجة هي قيمة عينة مقبلة.

المعامل الثابت يحتفظ بوزن للبداية

يوضح NIST أهمية تهيئة التنعيم، ويميز الصيغة التي تستخدم الملاحظة السابقة عن صيغة تستخدم الملاحظة الحالية. [2]

للمقارنة هنا نعلن قاعدة تستخدم العينة الحالية: sₙ=(xₙ+sₙ₋₁)/2، مع s₀=0. للعينات [5,1,5] تكون النتائج s₁=5/2، وs₂=(1+5/2)/2=7/4، وs₃=(5+7/4)/2=27/8. لم ننقل فهارس توقع NIST إلى مثالنا دون تعريف.

بتوسيع القاعدة الثابتة نحصل على sₙ=2⁻ⁿs₀+Σⱼ₌₁ⁿ 2⁻⁽ⁿ⁻ʲ⁺¹⁾xⱼ. مجموع أوزان العينات المرصودة هو 1−2⁻ⁿ، ووزن البداية 2⁻ⁿ؛ مجموعهما واحد. عند n=3، أوزان العينات 1/8 و1/4 و1/2، ووزن s₀ هو 1/8.

تغيير s₀ إلى 5 يعطي للمثال نفسه 5 ثم 3 ثم 4. كما أن فرق أي تشغيلين بالعينات نفسها، وبدايتين a وb، يساوي 2⁻ⁿ(a−b). أثر البداية ينخفض، لكنه غير صفري في عدد منتهٍ من الخطوات إذا اختلفت البدايتان، في حسابنا الدقيق.

إذا كان xⱼ=c لجميع العينات المرصودة، فإن Uₙ=cWₙ، فيعطي المتوسط المطَبَّع c منذ الأولى. أما الثابت مع s₀=0 فيعطي c(1−2⁻ⁿ)؛ مع c=1 تكون أول ثلاث نتائج 1/2 و3/4 و7/8. لا ننسب هذا النقص إلى ضوضاء: افترضنا قيمًا دقيقة وبداية مختلفة.

في النسخة المطَبَّعة Wₙ=2(1−2⁻ⁿ). يمكن التحقق بالضرب: Wₙ−Wₙ/2=1−2⁻ⁿ. لذا يقترب W من 2 ويقترب وزن العينة الحالية 1/W من 1/2، لكنه لا يساويه في بداية منتهية. لا نستبدل معامل البداية المتغير بمعامل ثابت دون تغيير الحساب.

استئناف السجل يحفظ المقام أيضًا

تحتفظ الطريقة المرجعية بحالة من الخطوة السابقة أثناء تدفق البيانات. [1]

بعد [5,1] احفظ U₂=7/2 وW₂=3/2، أو احفظ m₂=7/3 وW₂=3/2. إذا وصلت 5 بعد توقف أو في دفعة جديدة، وأكملت بالحالة نفسها، حصلت على 27/7 كما سبق. حجم الدفعة لا يغير الحساب إذا بقي ترتيب العينات وحالتها نفسها.

أما إذا أعدت U وW إلى الصفر قبل العينة الأخيرة، فهي أول عينة في حساب جديد ويصبح المتوسط 5. هذه إعادة بداية فعلية، لا مجرد تقسيم الملف إلى دفعتين. لا نجمع متوسطَي الدفعتين بوزنين متساويين ونزعم أننا استأنفنا القاعدة الأصلية.

المتوسط وحده لا يحدد الحالة دائمًا. التاريخ A هو العينة [7/3] وحدها: m=7/3 وW=1. التاريخ B هو [5,1]: m=7/3 وW=3/2. وصول عينة 5 إلى A يعطي U=7/6+5=37/6 وW=3/2، أي m=37/9. وصولها إلى B يعطي 27/7. تطابق المتوسط السابق لم يفرض تطابق التالي.

لنبضة في بداية سجل جديد، x₁=1 وما بعدها صفر، يكون Uₙ=2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾. قسمته على Wₙ=2(1−2⁻ⁿ) تعطي mₙ=1/(2ⁿ−1): القيم الأولى 1 و1/3 و1/7 و1/15. لا تصبح صفرًا عند فهرس موجب منتهٍ في الحساب الدقيق؛ هذا وصف لذاكرة القاعدة، لا ضمان لسلوك التقريب في برنامج.

نختبر حدود التعريف العام Uₙ=λUₙ₋₁+xₙ وWₙ=λWₙ₋₁+1 من بداية صفرية. عند λ=0 يصيران xₙ و1. وعند λ=1 يصير U مجموع القيم وW عددها، فينتج المتوسط الحسابي التراكمي. للعينات [5,1,5] تكون النتيجة الأخيرة 5 في الأولى و11/3 في الثانية.

اخترنا λ=1/2 للحساب، لا لأنه عامل مثالي لبيانات واقعية. سمِّ تعريف المتوسط وعامله وحالة بدايته وما تحفظه عند الاستئناف؛ اسم «أسي» وحده لا يحدد التهيئة أو التطبيع أو جودة التوقع.