المنوال بعد إضافة قيمة واحدة: تعادل أم تغير؟

إطار التكرار والقوائم المؤلفة

يحدد دليل Math Is Fun المنوال بالقيمة الأكثر ظهورًا، ويسمح بوجود أكثر من منوال عند التعادل في أعلى تكرار. وفي اصطلاحه، لا منوال إذا ظهرت كل قيمة مرة واحدة. سنطبق هذا الإطار على قوائم مؤلفة، ونحدث التكرارات بعد إضافة مشاهدة واحدة فقط. ^[1]

كل عنصر في قوائمنا مشاهدة واحدة بالوزن نفسه. الأعداد بلا وحدات، ولا تمثل أعمار أشخاص أو نتائج طلاب أو قياسات جُمعت. لن نجمع القيم في فئات أو نقربها؛ نقارن الأعداد كما كتبناها. إذا تكرر العدد، نحتفظ بكل ظهور له ونضيفه إلى تكرار القيمة نفسها.

سنحسب فرعًا ثم نعود إلى القائمة الأصلية قبل الفرع التالي، إلا إذا صرح التمرين بغير ذلك. كتابة نقطة البدء تمنع أن ننقل تكرارًا تغير في محاولة سابقة إلى محاولة جديدة. ضع عنوانًا للقائمة: «قبل الإضافة» أو «بعد إضافة أربعة»، حتى يمكن لقارئ آخر مراجعة العد دون تخمين.

اقرأ جدول الأصل قبل إضافة شيء

القائمة الأصلية هي 4،4،11،11،11،17. توجد ست مشاهدات، لكن ثلاث قيم مختلفة. يظهر أربعة مرتين، وأحد عشر ثلاث مرات، وسبعة عشر مرة واحدة. نستخرج هذه التكرارات من القائمة نفسها، ثم نفحص مجموعها: 2+3+1=6. اتفاق المجموع مع عدد المشاهدات يساعد على كشف عنصر نسيناه في العد.

المنوال هنا أحد عشر، لأنه يملك التكرار الأعلى في هذه القائمة. لا نجيب ثلاثة؛ الثلاثة عدد مرات الظهور، وليست القيمة التي تكررت. كذلك لا نختار سبعة عشر لمجرد أنها أكبر قيمة عددية. كتبنا السؤال عن التكرار، لا عن الحد الأعلى للأرقام أو عن مجموعها.

إضافة أربعة تخلق منوالين

أضف مشاهدة تحمل أربعة إلى الأصل. أصبحت القائمة 4،4،4،11،11،11،17. تكرار الأربعة ارتفع من اثنين إلى ثلاثة، وتكرار الأحد عشر بقي ثلاثة، والسبعة عشر بقي مرة. مجموع التكرارات الآن 3+3+1=7، فالإضافة زادت العدد الكلي بواحد كما طلبنا، ولم تغير كل صف في الجدول.

يتشارك أربعة وأحد عشر أعلى تكرار، لذلك نكتب المنوالين معًا. لا نختار أربعة وحدها لأنها المشاهدة الجديدة، ولا نحتفظ بأحد عشر وحده لأنه كان المنوال السابق. كذلك لا نحسب (4+11)/2=7.5 ونسميه المنوال؛ العدد سبعة ونصف لا يظهر أصلًا في هذه القائمة المؤلفة.

إضافة أخرى تبقي المنوال وتحسم تعادلًا

ابدأ من الأصل ذي الست مشاهدات من جديد، ثم أضف سبعة عشر. التكرارات تصبح اثنين وثلاثة واثنين للقيم أربعة وأحد عشر وسبعة عشر على الترتيب. بقي أحد عشر وحده عند ثلاث مرات، فهو المنوال. لا تستخدم تكرار الأربعة الثلاثي من الفرع السابق؛ نحن هنا لم نضف الأربعة.

وفي فرع مستقل من الأصل، أضف ثلاثة وعشرين التي لم تظهر فيه. نحافظ على التكرارات القديمة ونضيف صفًا للقيمة الجديدة بتكرار واحد. أحد عشر ما زال صاحب ثلاث مرات، فلم يصبح العدد الجديد منوالًا لمجرد أنه أكبر من الأرقام السابقة. المثال يبين أن قيمة كبيرة جديدة لا تكفي وحدها لتغيير جوابنا.

غيّر نقطة البدء إلى 4،4،11،11،17، حيث يتعادل أربعة وأحد عشر عند مرتين. إضافة أحد عشر ترفع تكراره إلى ثلاثة وتحسم التعادل لصالحه. وفي القائمة 4،11،17 تظهر القيم مرة واحدة، فلا منوال وفق الإطار المعلن؛ إضافة أربعة تجعل تكرارها اثنين والبقية مرة، فيظهر منوال مفرد هو أربعة.

ماذا تستطيع إضافة واحدة أن تغير؟

فكر في تكرارات الأصل دون النظر إلى مقادير الأرقام. الإضافة الواحدة ترفع تكرار صف واحد بمقدار واحد، وتبقي بقية الصفوف ثابتة؛ والقيمة الجديدة التي لم تظهر تبدأ بتكرار واحد. لهذا يمكن التحقق من أي تعديل بمقارنة الجدول القديم بالجديد، لا بمجرد مشاهدة آخر عدد أضيف.

لنؤلف قائمة يظهر فيها أحد عشر ثلاث مرات، وكل من أربعة وسبعة عشر مرة: 4،11،11،11،17. الفجوة بين التكرار الأعلى وكل تكرار آخر اثنان. إذا أضفنا أربعة أو سبعة عشر صار تكراره اثنين فقط؛ وإذا أضفنا الأحد عشر صار تكراره أربعة. وفي كل هذه المحاولات يظل المنوال أحد عشر.

يمكن تعليل الشرط نفسه: إذا سبق التكرار الأعلى المنفرد كل منافس باثنين على الأقل، فلن يلحق به المنافس بعد زيادة واحدة. وإضافة ظهور للقيمة المتقدمة لا تجعلها تفقد تقدمها. أما إذا كانت الفجوة واحدًا، فقد تنشأ حالة تعادل، لكنها ليست لازمة؛ في أصلنا إضافة أربعة تعادل، وإضافة سبعة عشر تبقي الأحد عشر منفردًا.

هذا شرط كافٍ لثبات قيمة المنوال، وليس شرطًا يجب توافره في كل مثال ثابت. كذلك لا نطبق الفكرة على استبدال مشاهدة؛ الاستبدال ينقص تكرار القيمة التي أزلناها ويزيد تكرار الأخرى. وصف العملية بدقة جزء من المراجعة، لأن عدد الصفوف المتغيرة يختلف بين الإضافة والاستبدال.

تمارين مع مجموع تكرارات واضح

تمرين أول: القائمة 13،13،13،22،22،31، ثم أضف اثنين وعشرين. التكرارات الجديدة ثلاثة وثلاثة وواحد، والمنوالان ثلاثة عشر واثنان وعشرون. مجموعها سبعة مشاهدات. ابدأ من القائمة نفسها ثم أضف واحدًا وثلاثين؛ التكرارات ثلاثة واثنان واثنان، ويبقى المنوال ثلاثة عشر. وضح في كل سطر إلى أي نقطة بدء عدت.

تمرين ثان: القائمة 13،22،31، ثم أضف اثنين وعشرين. قبل الإضافة لا منوال وفق اصطلاحنا، وبعدها يظهر اثنان وعشرون مرتين فيكون المنوال. لا تعلن أن التكرار اثنان هو الجواب؛ إنه دليل الاختيار، بينما الجواب قيمة اثنين وعشرين. راجع أن العدد الكلي أصبح أربع مشاهدات، لا ثلاثًا.

قبل تسليم الورقة، اكتب القيمة المضافة، وتكرارها السابق والجديد، ومجموع المشاهدات، ثم النتيجة بكل قيم التعادل إن وجدت. إذا اختلف جوابان، قارنا نقطة البدء أولًا ثم التكرارات، ولا تستعملا كبر القيمة لحسم الخلاف. احتفظ بالجدولين كي يكون سبب الثبات أو التغير واضحًا لمن يقرأهما بعد الحل. قارن الصف المتغير قبل إعلان النتيجة.