أوجه ملونة على مكعبات صغيرة: احصر المواضع قبل العد

نموذج محدد لا عملية طلاء فعلية

يصف MathWorld المكعب بأنه مجسم من ستة أوجه مربعة، وله ثمانية رؤوس واثنتا عشرة حافة. سنفرض في ورقتنا تقسيمًا منتظمًا وتلوين السطح الأصلي فقط، ثم نحسب الفئات من مواضع الخلايا. ^[1]

نفرض مكعبًا من 4×4×4 خلايا مكعبة متساوية، بلا فراغات أو تداخل. اللون علامة على السطح الأصلي فقط، ولا ينتقل عبر الخلايا ولا يضاف إلى وجه جديد بعد الفصل المتخيل. نهمل سماكة اللون، ولا نمثل مادة حقيقية. هذه الفروض تحدد ما نعده؛ تغيير طريقة التلوين يعني مسألة أخرى تحتاج وصفًا.

نسمي موضع الخلية (i,j,k). الرقم الأول عمودها من اليسار إلى اليمين، والثاني صفها من الأعلى إلى الأسفل في رسم الطبقة، والثالث رقم الطبقة. كل رقم أحد الأعداد واحد واثنين وثلاثة وأربعة. على كل محور، الواحد والأربعة عند الطرف، والاثنان والثلاثة داخليان. بذلك نستطيع تحديد كل خلية، بما فيها التي تخفيها صورة منظورية.

ثلاثة أوجه ملونة: ثلاثة أرقام طرف

خذ الموضع (1,1,1) في نموذجنا. الأرقام الثلاثة طرفية، فالخلية تصل إلى السطح الأصلي في ثلاث جهات، وتحمل ثلاثة أوجه ملونة. والموضع (4,1,4) من الفئة نفسها، لأن كل رقم فيه واحد أو أربعة. لا نحتاج رؤية الأوجه الثلاثة في صورة؛ شروط الموضع تحددها داخل النموذج المعلن.

لعد هذه الفئة، نختار قيمة الطرف على المحور الأول بطريقتين، وعلى الثاني بطريقتين، وعلى الثالث بطريقتين. حاصل الضرب 2×2×2=8. هذه ثمانية مواضع مختلفة، لا أربعة وعشرون مكعبًا. ضرب الثمانية في ثلاثة يعد الأوجه الملونة على خلايا هذه الفئة، وهو مطلوب آخر سنستعمله لاحقًا.

اكتب قائمة قصيرة لتراجع الحصر: تثبيت الرقم الأول عند واحد يترك أربعة اختيارات للرقمين الآخرين، وتثبيته عند أربعة يترك أربعة أخرى. لا تتداخل القائمتان لأن الرقم الأول مختلف. هذا يوضح سبب اكتمال العد دون الاعتماد على تسمية الخلية بأنها ركن فقط.

وجهان ملونان: اختر المحور الداخلي

في الموضع (1,4,2)، الرقمان الأول والثاني طرفيان، والثالث داخلي. لذلك يصل الموضع إلى السطح في جهتين فقط، فيحمل وجهين ملونين. لا تنقل إليه وجهًا ثالثًا بعد الفصل المتخيل؛ اللون الذي نعده هو علامة السطح الأصلي. ولو استبدلت الاثنتين بأربعة، لصار الموضع في الفئة السابقة.

نحتاج رقمًا داخليًا واحدًا بالضبط. نختار المحور الذي يحمله بثلاث طرق، ثم نختار قيمته الداخلية بطريقتين، ثم نختار قيمتي الطرف للمحورين الآخرين بأربع طرق. الناتج 3×2×4=24. اختيار المحور جزء من العد؛ عد مواضع محور واحد فقط يعطي ثمانية ويفوت بقية المواضع.

ولا يتكرر موضع بين هذه المجموعات الثلاث، لأن لكل خلية من الفئة محورًا داخليًا وحيدًا. تستطيع معرفة المجموعة التي تنتمي إليها من أرقامها. ضع علامة على الرقم الداخلي في بطاقة كل مثال، ثم تأكد أن الرقمين الباقيين من الطرفين، لا من الداخل.

وجه واحد أو لا وجه ملون

لوجه واحد ملون، نحتاج رقم طرف واحدًا ورقمين داخليين. الموضع (4,2,3) مثال مناسب. نختار المحور الطرفي بثلاث طرق، ونختار طرفه بطريقتين، ثم نختار الرقمين الداخليين بأربع طرق. العدد 3×2×4=24. هنا أيضًا المحور المختلف وحيد، فتظل المجموعات منفصلة ولا يتكرر الموضع بين محاور الاختيار.

أما الموضع (2,3,2)، فأرقامه كلها داخلية، فلا يصل أي وجه منه إلى السطح الأصلي. لكل محور قيمتان داخليتان، فيكون عدد هذه الخلايا 2×2×2=8. تستطيع تصورها كتجمع داخلي من طبقتين وصفين وعمودين، لكن هذا تصور للمواضع، وليس مكعبًا جديدًا يجب إضافته إلى العدد الأصلي.

وجود ستة أوجه لأي خلية بعد فصلها لا يعني أن الستة ملونة. السؤال عن العلامة الأصلية، لا عن عدد الأوجه التي يمكن رؤيتها بعد الفصل. لذلك لا نعد ظهور وجه كان ملاصقًا لجاره تغيرًا في فئة اللون. راجع تعريف اللون قبل تفسير صورة تفصل الخلايا عن بعضها. نعد جهتين لكل محور في نموذجنا المحدد ذي المحاور الثلاثة.

تحقق من مجموع الخلايا ومجموع الأوجه

نجمع الفئات دون أوزان: 8+24+24+8=64. ونراجع العدد الأصلي بحصر المحاور: أربع قيم للرقم الأول، وأربع للثاني، وأربع للثالث، فيكون 4×4×4=64. لكل خلية عدد محدد من أرقام الطرف: صفر أو واحد أو اثنان أو ثلاثة. لا توجد فئة خامسة في هذا النموذج، ولا خلية تنتمي إلى فئتين معًا.

ولعد الأوجه الصغيرة الملونة، نضرب عدد خلايا كل فئة في أوجهها الملونة: 3×8+2×24+1×24+0×8=96. يمكن مراجعة الستة والتسعين بطريقة أخرى: على كل جهة طرفية يوجد ستة عشر موضعًا، ولدينا ست جهات في نموذج المحاور الثلاثة. لا يساوي هذا العدد كمية طلاء، ولا عدد المكعبات؛ إنه عدد علامات الأوجه الصغيرة وفق الفروض.

مخطط الطبقات يعرض المواضع الأربعة والستين كاملة. الرقم داخل المربع يبين فئته، لا رقمه التسلسلي ولا مساحة وجهه. اقرأ طبقة ثم أخرى، واجمع الخلايا التي تحمل الرقم نفسه. اللون يساعد على التمييز، لكن الرقم يتيح مراجعة الفئة حتى في نسخة لا تظهر فيها الألوان جيدًا.

غيّر التقسيم وأعد الحصر

جرّب نموذج 3×3×3 بالعلامة الخارجية نفسها. أرقام الطرف الآن واحد وثلاثة، والرقم الداخلي الوحيد اثنان. لثلاثة أوجه توجد ثمانية مواضع؛ ولوجهين نختار المحور الداخلي بثلاث طرق وقيمته بطريقة واحدة والطرفين بأربع طرق، فالناتج اثنا عشر. لوجه واحد نختار المحور الطرفي وطرفه، بينما الرقمان الداخليان محددان، فيكون العدد ستة.

أما فئة بلا وجه ملون ففيها الموضع (2,2,2) وحده. المجموع 8+12+6+1=27، وهو عدد خلايا ثلاث طبقات من تسع خلايا. لا تنقل ثمانية الخلايا الداخلية من نموذج الأربع إلى هذا النموذج. اختم ورقتك بوصف التقسيم وطريقة العلامة، ثم جدول الفئات ومجموعه؛ بهذه البيانات يستطيع قارئ آخر مراجعة العد دون تخمين ما كان ملونًا.