تكوين أعداد من رقمين دون تكرار الأرقام يحتاج إلى شرطين نقرأهما معًا: العدد من منزلتين فعلًا، وكل رقم يستخدم مرة واحدة في التكوين. سنعمل على بطاقات مؤلفة للصفر والأربعة والسبعة، ثم نفحص قائمة النتائج. وبعد ذلك نغيّر شرطًا واحدًا لنرى الفرق بين عدد ورمز مكتوب من خانتين.
الخلاصة السريعة
ابدأ برقم غير صفري في العشرات، ثم اختر رقمًا مختلفًا للآحاد من البطاقات المعطاة، واكتب القائمة كاملة دون إعادة عد النتيجة نفسها.
- رموز الكتابة العشرية هي الأرقام من الصفر إلى التسعة؛ اختر منها بطاقات المثال وفق شروط السؤال. [1]
- ببطاقات الصفر والأربعة والسبعة، الأعداد المقبولة دون تكرار هي أربعون وسبعة وأربعون وسبعون وأربعة وسبعون؛ عددها أربعة.
- نثبت العشرات أولًا ونراجع خيارات الآحاد؛ الصفر البادئ لا يصنع عددًا من منزلتين، وإعادة البطاقة نفسها تخالف منع التكرار.
- عندما نسمح بتكرار الرقم في تمرين جديد، نضيف أربعة وأربعين وسبعة وسبعين، فيصبح عدد الأعداد ستة؛ يبقى الصفر ممنوعًا في العشرات.
- في رمز خيالي من خانتين يسمح بصفر البداية، نقبل صفرًا ثم أربعة وصفرًا ثم سبعة؛ ستة رموز دون تكرار تختلف عن ستة الأعداد مع التكرار.
- في التمارين الأخيرة، افحص شروط العشرات والآحاد قبل ضرب عدد الخيارات؛ مع أربع بطاقات بينها الصفر نحصل على تسعة أعداد دون تكرار.
حدد نوع الناتج قبل ترتيب البطاقات
يعرض MathWorld النظام العشري بوصفه نظام كتابة أساسه عشرة، ويحدد رموزه الرقمية من الصفر إلى التسعة. سنختار في ورقتنا ثلاث بطاقات من هذه الرموز، ونفصل قيمة العدد عن شكل البطاقتين الموضوعتين بجوار بعضهما؛ شروط التكوين مكتوبة في كل تمرين. [1]
نعني هنا عددًا صحيحًا موجبًا من منزلتين، مكتوبًا بالطريقة العشرية المعتادة. أما البطاقة فتحمل رقمًا واحدًا. لا نحصل على عدد من منزلتين لمجرد وضع ورقتين بجوار بعضهما؛ سنقرأ قيمة الرقمين ونفحص هل منزلة العشرات تحمل شيئًا غير الصفر. المطلوب في النشاط عدد، لا طول الشريط الورقي الذي كتبناه.
المثال افتراضي، والبطاقات رسوم تساعد على العد؛ لا نصف تجربة أجريت مع أطفال أو نتوقع وقتًا لازمًا لإتقان مهارة. اكتب الشروط قبل المحاولة: الأرقام المتاحة صفر وأربعة وسبعة، نختار رقمين، ولا نكرر رقمًا في العدد الواحد. يمكن استخدام البطاقة مجددًا عند الانتقال إلى نتيجة أخرى في القائمة.
الأعداد الأربعة المقبولة والصفر البادئ
اختر أربعة للعشرات. بقي صفر أو سبعة للآحاد، فنكتب 40 و47. اختر سبعة للعشرات. بقي صفر أو أربعة للآحاد، فنكتب 70 و74. هذه النتائج الأربع تستعمل رقمين مختلفين في كل عدد، وفي كل منها عشرات غير صفرية. احتفظ بالقائمة 40،47،70،74 للمقارنة مع المحاولات التي سنرفضها.
لماذا لا نضيف 04 إلى الأعداد المقبولة؟ قراءتها العددية تعطينا 0×10+4=4. إنها قيمة أربعة، وليست عددًا من منزلتين في هذا السؤال. وكذلك 07 تعني سبعة عند قراءة العدد. لم نقل إن الصفر ممنوع في كل موضع؛ الأعداد 40 و70 تستعمله في الآحاد، وهو اختيار مسموح هنا.
ولماذا نرفض 44؟ قيمة أربعة وأربعين عدد من منزلتين، لكنها تعيد الرقم أربعة في المنزلتين. لذلك تخالف شرطًا آخر هو منع التكرار. يختلف سبب رفضها عن سبب رفض 04؛ الأولى تكرر رقمًا، والثانية لا تعطي عشرات غير صفرية. اكتب سبب الرفض بجوار كل محاولة بدل وضع علامة دون تفسير.
قائمة منظمة تكشف النتيجة الناقصة
اصنع قائمة تبدأ بالعشرات. تحت أربعة اكتب خيارَي الآحاد صفرًا وسبعة، وتحت سبعة اكتب صفرًا وأربعة. لا تبدأ فرعًا للعشرات صفر، لأننا فحصنا هذا الاختيار واستبعدناه. التنظيم يساعد على رؤية أن 74 ليس تكرارًا لنتيجة 47؛ الرقمان تبدلا بين المنزلتين، فتغيرت القيمة العددية.
لإثبات اكتمال هذه القائمة الصغيرة، نفحص خيارات العشرات كلها من المجموعة المعطاة: الصفر مرفوض، والأربعة والسبعة مقبولان. بعد كل واحد منهما بقي رقمان مختلفان يصلحان للآحاد. إذن عدد النتائج 2×2=4. الحساب هنا يلخص الخيارات التي وصفناها، ولا ينشئ قائمة جديدة خارج البطاقات المعطاة.
قد يكتب متعلم 40 و47 و70، ثم يعلن أن لديه ثلاثة أعداد. القائمة صحيحة فيما احتوته، لكنها ناقصة. نطلب مراجعة فرع السبعة لا إعادة ترتيب النتائج الثلاث فقط. وقد يكتب آخر 47 مرتين؛ نعده نتيجة واحدة وإن ظهر في سطرين، لأن السؤال عن الأعداد المختلفة التي يمكن تكوينها.
ماذا يتغير إذا سمحنا بالتكرار؟
في تمرين جديد نسمح بتكرار الرقم، مع الاحتفاظ بالأرقام المتاحة وبطلب عدد من منزلتين. نفهم السماح بالتكرار على أنه كتابة الرمز نفسه في المنزلتين عند الحاجة؛ لا نلزم النشاط بإبقاء بطاقة مادية واحدة في موضعين. يبقى اختيار العشرات أربعة أو سبعة، لكن الآحاد الآن صفر أو أربعة أو سبعة.
القائمة الجديدة هي 40،44،47،70،74،77، وعددها 2×3=6. أضفنا 44 و77 اللذين رفضناهما بسبب التكرار في السؤال السابق. لم نضف 00 أو04 أو07، لأن تغيير شرط التكرار لم يغير شرط العدد ذي المنزلتين. افحص ما تغير في الطلب، وما ظل ثابتًا، قبل توسيع قائمتك.
لا تتعامل مع عبارة «يجوز التكرار» كأنها تجيز كل شيء. إنها تتعلق بإعادة الرقم، وليست إذنًا بإضافة رقم ثمانية إلى البطاقات، أو تكوين ثلاثة أرقام بدل اثنين. إذا أردت تأليف سؤال آخر يسمح بهذه الأشياء، فاكتب شروطه صراحة. نريد مقارنة محاولتين تختلفان في شرط واحد هنا.
رمز من خانتين ليس السؤال نفسه
لنؤلف طلبًا مختلفًا: رمز تسمية خيالي يتكون من خانتين، نستخدم فيه صفرًا أو أربعة أو سبعة، دون تكرار، ويسمح بصفر البداية. نحتفظ بالخانتين كما كتبتا لأنهما جزء من التسمية. هذه ليست قاعدة عن كلمات مرور أو تسجيل حقيقي؛ نحدد اتفاقًا كتابيًا داخل ورقة التدريب فقط.
الرموز المقبولة هي 04،07،40،47،70،74. يوجد ثلاثة خيارات للخانة الأولى، ثم خياران مختلفان للثانية، فيكون العدد 3×2=6. يظهر الصفر في أول رمزين، ولا نحذف تلك الخانة عند تسجيل التسمية في هذا المثال. إذا قرأنا 04 بوصفه قيمة عددية بدل تسمية، عدنا إلى الأربعة كما شرحنا سابقًا.
قارن هذه الرموز الستة بالأعداد الستة مع التكرار: المجموعان متساويان في العدد، لكنهما لا يحتويان النتائج نفسها. في الرموز توجد 04 و07، وفي الأعداد توجد 44 و77. لذلك لا يكفي اتفاق العدد الكلي لإثبات أنك نفذت الشروط الصحيحة. افحص أفراد القائمة ومعنى الناتج، لا الرقم الأخير في الحساب وحده.
تمارين للتحقق من الشروط
تمرين أول: البطاقات صفر واثنان وخمسة وثمانية، ونريد أعدادًا من منزلتين دون تكرار. العشرات اثنان أو خمسة أو ثمانية، وبعد اختيارها تبقى ثلاث بطاقات للآحاد. العدد 3×3=9، والقائمة 20،25،28،50،52،58،80،82،85. راجع أن كل فرع يضم ثلاث نتائج، ولا توجد نتيجة تبدأ بصفر أو تكرر رقمها.
تمرين ثان: البطاقات واحد وثلاثة وستة، والشرطان كما هما. هذه المرة لا توجد بطاقة صفر؛ لكل اختيار في العشرات خياران مختلفان للآحاد. النتائج 13،16،31،36،61،63، وعددها ستة. لم يتغير معنى عدم التكرار، وإنما تغيرت مجموعة البطاقات التي نستطيع البدء بها.
للمراجعة، سمّ المطلوب، وعد البطاقات المسموحة لكل منزلة، ثم افحص القائمة. إذا كان جوابك مختلفًا عن الحل، ابحث عن صفر بادئ أو رقم مكرر أو نتيجة ناقصة أو سطر يعيد العدد نفسه. تستطيع تغيير البطاقات وتأليف سؤال جديد، لكن احتفظ بشروطه مكتوبة بجوار الإجابة.
المصادر ومتابعة القراءة
- MathWorld: النظام العشري ورموزه الرقمية (يفتح في نافذة جديدة)mathworld.wolfram.com
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.