فيما يأتي تمارين محلولة في المنطق الرياضي عن المجال والمكممات، بأمثلة أصلية نحلها وفق المنطق الكلاسيكي.[1]
الخلاصة السريعة
حدد المجال، وميّز «لكل» من «يوجد»، ثم اكتب النفي واختبر الجواب.[1]
- الرمز ∀ يعني «لكل»، و∃ يعني «يوجد»؛ المجالات هنا هي الأعداد الصحيحة والنسبية.[1]
- للمعادلة 3x=10 حل في الأعداد النسبية، ويغيب الحل في الأعداد الصحيحة.
- في المنطق الكلاسيكي، نفي «لكل» يكفيه شاهد مضاد؛ ونفي «يوجد» يعني عدم تحقق العبارة لأي عنصر في المجال.[1]
- في المثال n≥4⇒n+5≥10، يكفي n=4 لرفض التعميم على الأعداد الصحيحة.
- قد يتغير الشاهد y مع x في ∀x∃y؛ أما ∃y∀x فيحتاج شاهدًا واحدًا للجميع.[2]
- في مثال y=2x+5 على الأعداد الصحيحة، يوجد شاهد لكل x؛ ولا توجد قيمة ثابتة لـ y تحقق العلاقة للجميع.
- لفحص «لكل» في مجال منتهٍ، افحص جميع العناصر. للمجال غير المنتهي، استخدم برهانًا عامًا.[2]
اقرأ المجال والمكمم قبل الحساب
الرمز ∀ يعني «لكل»، و∃ يعني «يوجد واحد على الأقل». نستعمل Z للأعداد الصحيحة، وQ لكسور أعداد صحيحة بمقام غير صفري.[1]
نسمّي المجال D، ونكتب P(x) لعبارة عن x. واقرأ x∈D: «x ينتمي إلى D».[3]
توضح تمارين الترجمة في كتيب جامعة ترينتو أن وجود عنصر والتعميم على العناصر ادعاءان مختلفان. لا نستخدم مسائل الكتيب هنا؛ التمارين العددية التالية من إعدادنا.[3]
تمرين 1: هل يوجد حل في المجال المحدد؟
اختبر ∃x∈Z(3x=10)، ثم اختبر العبارة نفسها مع المجال Q. أيهما صحيحة؟
في الأعداد الصحيحة لا يوجد حل: مضاعفا 3 المجاوران للعدد 10 هما 9 و12؛ والعدد 10 ليس مضاعفًا لـ 3. أما في الأعداد النسبية فالشاهد x=10/3 يحقق 3×(10/3)=10.
يجب اختيار الشاهد من المجال؛ لا يكفي حل خارجه.[1]
تمرين 2: انْفِ العبارة وابحث عن مثال مضاد
نفي ∀x∈D P(x) هو ∃x∈D ¬P(x). يكفي العثور على عنصر مخالف.[1]
العبارة المختارة هي ∀n∈Z(n≥4⇒n+5≥10). عند n=4 يتحقق الفرض، لكن 4+5=9، فلا تبلغ النتيجة 10. لذلك هذا العدد مثال مضاد، والعبارة العامة خاطئة.
نفيها: ∃n∈Z(n≥4∧n+5<10). الشاهد n=4 يحقق الجزأين؛ تغير المكمم ونُفيت العبارة الشرطية.[1]
تمرين 3: شاهد لكل عنصر أم شاهد واحد للجميع؟
في ∀x∃y يمكن أن يتغير y مع x. أما ∃y∀x فيحتاج شاهدًا واحدًا للجميع؛ تبديلهما يغير المعنى.[2]
اختبر ∀x∈Z∃y∈Z(y=2x+5). العبارة صحيحة: اختر y=2x+5، وهو عدد صحيح لكل x صحيح، ويحقق المساواة ببنائه. مثلًا x=−2 يعطي y=1، وx=3 يعطي y=11.
أما ∃y∈Z∀x∈Z(y=2x+5) فخاطئة. عند x=0 نحتاج y=5، وعند x=1 نحتاج y=7. لا يستطيع عدد واحد أن يساوي 5 و7 معًا.
راجع الحل: شاهد أم برهان عام؟
نفي ∃x∈D P(x) هو ∀x∈D ¬P(x). لإثبات التعميم برهن لعنصر اعتباطي.[1]
في المجال المنتهي، افحص جميع العناصر. أمثلة قليلة لا تثبت تعميمًا على Z. الرسم للتوضيح؛ البرهان هو بناء y=2x+5 لأي x صحيح.[2]
راجع المجال والأقواس ومعنى كل رمز، ثم اسأل: هل أثبتُّ وجود شاهد، أم شمول جميع العناصر؟ وفي مسألة الترتيب، هل سمحت للشاهد أن يتغير أم ألزمته بالبقاء ثابتًا؟
المصادر ومتابعة القراءة
- Cornell CS3110 — المكممات والنفي الكلاسيكي وقواعد الشاهد (يفتح في نافذة جديدة)cs.cornell.edu
- جامعة تكساس — نطاق المكمم والفرق بين المجالات المنتهية وغير المنتهية (يفتح في نافذة جديدة)cs.utexas.edu
- جامعة ترينتو — Mathematical Logic Exercises، الفصل الثالث (يفتح في نافذة جديدة)disi.unitn.it
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.