حجم منتهٍ وسطح لا نهائي: كيف يجتمعان؟

الحجم والمساحة يتبعان تكاملين مختلفين. [4]

الخلاصة السريعة

حجم منتهٍ، ومساحة جانبية غير محدودة. [4]

نثبت طولًا منتهيًا ℓ>0 سم. ندير المنطقة 0≤r≤ℓ²/x حول محور x، عند x≥ℓ؛ الأطوال بالسنتيمتر. هذا نموذج مثالي غير محدود، يسمى قرن غابرييل. [1]
حتى موضع منتهٍ L>ℓ، مساحة القرص πℓ⁴/x² سم²؛ حجم الجزء V_L=πℓ³(1−ℓ/L) سم³. الحد الأعلى للتكامل هو موضع القطع L. [2]
عندما L→∞ يصبح V∞=πℓ³ سم³. الحجم وراء L هو V_tail=πℓ⁴/L سم³، ونسبته إلى الإجمالي ℓ/L؛ لا ينعدم عند قطع منتهٍ. [2][4]
نصف القطر r(x)=ℓ²/x ومشتقته r′=−ℓ²/x². المساحة الجانبية S_L=2πℓ²∫_[ℓ,L]√(1+ℓ⁴/x⁴)dx/x سم²؛ نستبعد قرص البداية. [3]
الجذر لا يقل عن 1، لذلك S_L≥2πℓ²ln(L/ℓ). الحد الأدنى ينمو بلا حد عند L→∞؛ كل قطع منتهٍ له مساحة منتهية. ln اللوغاريتم الطبيعي. [3][4]
في مثالنا ℓ=3,L=12 سم: V_L=81π/4≈63.617251 سم³، أي 3/4 من V∞=27π≈84.823002 سم³. هذا حساب هندسي، لا تجربة ملء أو طلاء. [2][4]

نثبت طولًا منتهيًا ℓ>0 سم. ندير المنطقة 0≤r≤ℓ²/x حول محور x، عند x≥ℓ؛ الأطوال بالسنتيمتر. هذا نموذج مثالي غير محدود، يسمى قرن غابرييل. [1]

يدل r على البعد عن المحور؛ المقطع قرص ممتلئ. لا يصل نصف القطر إلى صفر عند أي x منتهٍ. الرسم يعرض جزءًا فقط. [1]

حتى موضع منتهٍ L>ℓ، مساحة القرص πℓ⁴/x² سم²؛ حجم الجزء V_L=πℓ³(1−ℓ/L) سم³. الحد الأعلى للتكامل هو موضع القطع L. [2]

نحسب V_L=π∫_[ℓ,L]ℓ⁴/x²dx. الدالة الأصلية −ℓ⁴/x تعطي عند الطرفين ℓ³−ℓ⁴/L قبل ضربها في π. [2]

عندما L→∞ يصبح V∞=πℓ³ سم³. الحجم وراء L هو V_tail=πℓ⁴/L سم³، ونسبته إلى الإجمالي ℓ/L؛ لا ينعدم عند قطع منتهٍ. [2][4]

نعرّف التكامل غير السليم بنهاية الأجزاء. الباقي V∞−V_L موجب. [2][4]

نصف القطر r(x)=ℓ²/x ومشتقته r′=−ℓ²/x². المساحة الجانبية S_L=2πℓ²∫_[ℓ,L]√(1+ℓ⁴/x⁴)dx/x سم²؛ نستبعد قرص البداية. [3]

الدالة موجبة وملساء على كل فترة مغلقة [ℓ,L]؛ تتحقق شروط صيغة سطح الدوران. الجذر يصحح طول القوس؛ الحجم يستخدم مربع نصف القطر. [3]

الجذر لا يقل عن 1، لذلك S_L≥2πℓ²ln(L/ℓ). الحد الأدنى ينمو بلا حد عند L→∞؛ كل قطع منتهٍ له مساحة منتهية. ln اللوغاريتم الطبيعي. [3][4]

لـk=0,…,N−1، كل فترة [2^kℓ,2^(k+1)ℓ] تسهم بـπℓ² على الأقل، لأن 1/x≥1/(2^(k+1)ℓ). المجموع ≥Nπℓ² لكل صحيح موجب N؛ لا حد أعلى. [3][4]

في مثالنا ℓ=3,L=12 سم: V_L=81π/4≈63.617251 سم³، أي 3/4 من V∞=27π≈84.823002 سم³. هذا حساب هندسي، لا تجربة ملء أو طلاء. [2][4]

الباقي 27π/4 سم³، أي ربع الإجمالي؛ النسب بلا وحدة. المساحة بوحدة سم². [2][4]

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.