حساب مقياس الرسم على الخريطة: المسافة والتكبير والمقياس الخطي

مقام مجهول: ابنِ النسبة من زوج معلوم

يعرّف المرجع مقياس الرسم بعلاقة الطول المرسوم بالطول المناظر في الطبيعة. في المقياس النسبي واحد إلى عدد، تُستعمل وحدة الطول نفسها في الطرفين. الكيلومتر ألف متر، والمتر مئة سنتيمتر؛ لذلك يساوي الكيلومتر مئة ألف سنتيمتر. [1]

افترض مخططًا أعطى السؤال فيه طولًا قدره ستة سنتيمترات بين نقطتين، والمسافة المناظرة تسعمئة متر. نكتب تسعمئة متر على هيئة تسعين ألف سنتيمتر، ثم نقسم تسعين ألفًا على ستة؛ فيكون المقام خمسة عشر ألفًا. النسبة المطلوبة واحد إلى خمسة عشر ألفًا. نحن نبحث عن عدد الوحدات الأرضية التي تقابل وحدة واحدة في الرسم، ولذلك وضعنا العدد الأرضي في البسط.

للتحقق، نبدأ من الناتج ولا نكرر القسمة ذاتها: كل سنتيمتر في هذا التمرين يمثل خمسة عشر ألف سنتيمتر، أي مئة وخمسين مترًا. ستة أمثال مئة وخمسين تساوي تسعمئة، وهي المدخلة الأولى. يختبر هذا الرجوع اتجاه النسبة ووحدة الناتج معًا. لو كتبنا مقامًا قدره مئة وخمسون فقط ثم سميناه نسبة بلا وحدة، لكانت الستة تمثل تسعمئة سنتيمتر لا تسعمئة متر.

يمكن حل المدخلات نفسها بالمليمتر: ستة سنتيمترات تساوي ستين مليمترًا، والمسافة الأرضية تسعمئة ألف مليمتر. قسمة تسعمئة ألف على ستين تعطي خمسة عشر ألفًا أيضًا. لم تصبح الخريطة مختلفة لأننا غيرنا وحدة الكتابة. ازداد العددان بعامل عشرة فاختزل العامل عند القسمة؛ هذا هو سبب اتفاق الحلين، وهو فحص أقوى من الاكتفاء بأن الناتج يبدو مألوفًا.

أما قلب الكسر فيعطي ستة مقسومة على تسعين ألفًا، أي واحدًا على خمسة عشر ألفًا. هذا كسر يمثل طول الرسم نسبة إلى الأرض، وليس المقام الذي نكتبه بعد النقطتين. تستطيع استعمال الكسر أو النسبة، لكن لا تنقل قيمة الكسر نفسها إلى موضع المقام. اكتب بجانب كل عدد ما يمثله حتى تميز قيمة المقياس عن العدد الصحيح في مقامه.

الحساب العكسي: اختر طول الرسم قبل رسمه

في مسألة جديدة نريد تمثيل مسافة ألف وثمانمئة متر عند مقام ثلاثين ألفًا. نحول المعطى إلى مئة وثمانين ألف سنتيمتر، ثم نقسمه على ثلاثين ألفًا فنحصل على ستة سنتيمترات. هذه المرة المقام معروف والطول المرسوم مجهول؛ لذا نحتاج القسمة لا الضرب. إذا رسمنا ستة سنتيمترات فعلًا على ورقة التمرين، فإن العدد المكتوب للمقياس يطابق معطيات هذه المسألة.

يمكن الوصول إلى النتيجة دون عدد كبير في خطوة وسطية. عند المقام ثلاثين ألفًا يمثل السنتيمتر ثلاثمئة متر في المثال. نقسم ألفًا وثمانمئة على ثلاثمئة فنجد ستة. الحل الأول أبقى الوحدة واحدة داخل النسبة، والحل الثاني حسب أولًا ما تمثله وحدة الرسم. كلا الطريقين صالح هنا؛ المهم ألا نقسم مسافة بالمتر على مقام عومل كأنه عدد أمتار دون توضيح هذا الانتقال.

لنجعل قرار طول الرسم مرتبطًا بمساحة الورقة. لدينا خط أرضي مفترض طوله كيلومتران وأربعمئة متر، ولا نريد أن يتجاوز رسمه ثمانية سنتيمترات. إذا استعملنا الثمانية كلها، نقسم مئتين وأربعين ألف سنتيمتر على ثمانية فيكون المقام ثلاثين ألفًا. وإذا أردنا هامشًا واكتفينا بستة سنتيمترات، يصبح المقام أربعين ألفًا. أعطى السؤال هنا بديلين من طول الرسم، وليس خطأين في قياس المسافة.

ويمكن اختبار أي اختيار ثالث بالعلاقة نفسها. مقام قدره عشرون ألفًا يجعل طول الخط اثني عشر سنتيمترًا، فيتجاوز الحد المحدد للورقة. مقام قدره ستون ألفًا يجعله أربعة سنتيمترات، فيحقق الحد لكنه لا يستعمل الطول المتاح كله. الاختيار لا يغير المسافة الأرضية المفترضة. لقد غيرنا مقدار التصغير، ثم تحققنا من شرط صريح يتعلق بطول الرسم، بدل اختيار مقام لمجرد شيوعه في أمثلة أخرى.

إذا أعطاك التمرين مسارين مجموع أطوالهما الأرضية مختلف، فاحسب كل طول رسم على حدة. في مقام ثلاثين ألفًا يمثل خط طوله تسعمئة متر ثلاثة سنتيمترات، وخط طوله ألف ومئتا متر أربعة سنتيمترات. جمعهما على الورق سبعة سنتيمترات إذا كان المطلوب وصل المقطعين، ومجموع المسافتين ألفان ومئة متر. لا يساوي هذا طول الوصلة المباشرة بين بداية الأول ونهاية الثاني إلا إذا نصت الهندسة على ذلك.

اختبار مقام واحد ببيانات إضافية

افترض أن المقام مجهول، ولدينا زوجان من الأطوال المناظرة: أربعة سنتيمترات تقابل ثمانمئة متر، وسبعة سنتيمترات تقابل ألفًا وأربعمئة متر. الزوج الأول يعطي عشرين ألفًا بعد توحيد الوحدات، والزوج الثاني يعطي العدد نفسه. هذه المطابقة تختبر توافق الزوجين مع فرض التمرين أن المخطط ثابت المقياس. لا نكتفي باستعمال الأول ثم تجاهل الثاني؛ المدخلة الإضافية يمكن أن تتحقق من الحساب.

غير الآن المعطى الثاني فقط، واجعل السبعة سنتيمترات تقابل ألفًا وخمسمئة متر. يصبح مقام ذلك الزوج مئة وخمسين ألفًا مقسومة على سبعة، أي نحو واحد وعشرين ألفًا وأربعمئة وتسعة وعشرين. لا يساوي هذا عشرين ألفًا. في هذه المسألة المحددة لا يوجد مقام واحد يطابق العددين تمامًا. ينبغي إظهار التعارض بدل أخذ متوسط المقامين واعتباره حلًا دقيقًا لمعلومات لم تعد متوافقة.

قد يسأل التمرين عن إصلاح عدد واحد مع الاحتفاظ بالمقام المستنتج من الزوج الأول. عند عشرين ألفًا، يجب أن تقابل السبعة ألفًا وأربعمئة متر، لا ألفًا وخمسمئة. وإذا احتفظنا بالألف والخمسمئة بدلًا من السبعة، فإن طول الرسم المطلوب سبعة ونصف سنتيمتر. هذان إصلاحان مختلفان؛ الأول يغير مسافة الأرض المكتوبة والثاني يغير طول الرسم. حدد العدد المسموح بتغييره قبل اختيار جواب.

وتوجد حالة نقص لا تعارض: طول مرسوم معلوم بلا مسافة مناظرة ولا مقام. إذا أخبرك السؤال أن الخط أربعة سنتيمترات فقط، تستطيع إنتاج مسافات مختلفة باختيار مقامات مختلفة؛ ثمانمئة متر عند عشرين ألفًا، وألف ومئتا متر عند ثلاثين ألفًا. لا تستطيع استنتاج أيهما المقصود من الأربعة وحدها. المطلوب حينئذ معلومة إضافية تربط الرسم بالأرض، لا عملية حسابية أكثر تعقيدًا.

مساحة المستطيل: طبّق التحويل على الضلعين

ننتقل إلى مخطط افتراضي له مقام أربعين ألفًا. مستطيل فيه طوله خمسة سنتيمترات وعرضه ثمانية أعشار السنتيمتر. يمثل السنتيمتر أربعمئة متر في هذا المثال؛ فيكون الطول ألفي متر والعرض ثلاثمئة وعشرين مترًا. بضربهما نحصل على ستمئة وأربعين ألف متر مربع. مساحة الرسم أربعة سنتيمترات مربعة، لكنها لم تتحول بضربها في أربعين ألفًا مرة واحدة، لأن المقام يربط أطوالًا لا مساحات.

يمكن كتابة الفحص كله بالسنتيمتر أيضًا. الطول الأرضي مئتا ألف سنتيمتر، والعرض اثنان وثلاثون ألفًا، وحاصل ضربهما ستة مليارات وأربعمئة مليون سنتيمتر مربع. كل متر مربع يتكون في حسابنا من مئة سنتيمتر في أحد الضلعين ومئة في الآخر؛ لذلك نقسم هذا العدد على عشرة آلاف لنعود إلى ستمئة وأربعين ألف متر مربع. ظهر عامل التحويل مرتين لأننا ضربنا ضلعين.

لنشتق العلاقة بدل حفظ عدد المثال. إذا كان الطول المرسوم س والعرض ص، فإن الضلعين المناظرين هما ن مضروبة في س ون مضروبة في ص. حاصل الضرب ن تربيع مضروبة في س مضروبة في ص. ومن ثم فإن نسبة المساحة الأرضية إلى مساحة الرسم تساوي مربع مقام الطول، حين نكتب المساحتين بالوحدة المربعة نفسها. لا تتطلب هذه النتيجة مستطيلًا بالأعداد السابقة؛ البرهان يتبع عملية ضرب الضلعين.

الفحص العكسي يكشف خطأ شائعًا بوضوح. لو ضربنا مساحة الرسم أربعة في أربعين ألفًا مرة واحدة، لوجدنا مئة وستين ألف سنتيمتر مربع، أي ستة عشر مترًا مربعًا. هذا العدد لا يساوي مساحة مستطيل ضلعه ألفا متر والآخر ثلاثمئة وعشرون. مقارنة الناتج بحساب الضلعين تكشف أن عامل طول قد استُعمل مكان عامل مساحة. لا يكفي أن تكون الوحدة الأخيرة مكتوبة مترًا مربعًا إذا كانت عملية التحويل نفسها خاطئة.

المساحة العكسية: استخرج الضلع أو الجذر

لدينا في تمرين جديد قطعة مستطيلة مفترضة مساحتها ستة وثلاثون ألف متر مربع، وطولها الأرضي مئتا متر. نبدأ بإيجاد العرض: ستة وثلاثون ألفًا مقسومة على مئتين تساوي مئة وثمانين مترًا. نريد رسم الطول بسنتيمترين، فيعطي تحويل المئتي متر إلى عشرين ألف سنتيمتر ثم قسمتها على اثنين مقامًا قدره عشرة آلاف. عند هذا المقام يصبح العرض سنتيمترًا وثمانية أعشار.

تبلغ مساحة الرسم في هذه الحالة ثلاثة سنتيمترات وستة أعشار السنتيمتر المربع. نتحقق بالضلعين أولًا: مئتان في مئة وثمانين تساوي المعطى الأصلي. ثم نتحقق بالمربع: ثلاثة وستة أعشار مضروبة في مئة مليون تعطي ثلاثمئة وستين مليون سنتيمتر مربع، أي ستة وثلاثين ألف متر مربع. يتفق المساران لأن العرض المستنتج والمقام المختار ينتميان إلى المستطيل نفسه، لا إلى مثالين جمعت أرقامهما عرضًا.

قد تُعطى المساحتان وحدهما. افترض مساحة رسم قدرها خمسة سنتيمترات مربعة، ومساحة مناظرة اثنان وسبعون ألف متر مربع، مع فرض ثابت للمقياس في البعدين. نكتب الثانية بالسنتيمتر المربع فتصبح سبعمئة وعشرين مليونًا، ثم نقسم على خمسة فنجد مئة وأربعة وأربعين مليونًا. هذا مربع المقام، لا المقام ذاته. الجذر الموجب يساوي اثني عشر ألفًا؛ فالمقياس واحد إلى اثني عشر ألفًا.

للتحقق من الجذر دون الاعتماد على شكل الكتابة، اضرب اثني عشر ألفًا في نفسها فتحصل على مئة وأربعة وأربعين مليونًا. ثم اضرب النتيجة في مساحة الرسم خمسة فتحصل على سبعمئة وعشرين مليون سنتيمتر مربع. أما اتخاذ العدد الكبير مقامًا للطول مباشرة فيعني تربيعه مرة أخرى عند حساب المساحة، ويغير المسألة تمامًا. الجذر السالب حل جبري لمعادلة التربيع، لكنه لا يمثل مقام طول موجب في هذا التمرين.

الطباعة والمقياس الخطي: راجع نسخة الحساب

يمثل المقياس الخطي أطوالًا مناظرة بأجزاء شريط مرسوم. يوضح المرجع أن الشريط يصغر أو يكبر مع الخريطة بالنسبة نفسها. لذلك يلزم أن تخص المعطيات النسخة التي يجري الحساب عليها. [1]

نطبق فحصًا قصيرًا على المستطيل السابق ذي المقام أربعين ألفًا. طبعت النسخة بأطوال تساوي خمسة أرباع الأصل؛ يتغير طولها من خمسة سنتيمترات إلى ستة وربع السنتيمتر، ويتغير عرضها من ثمانية أعشار السنتيمتر إلى سنتيمتر واحد. لا يتغير المستطيل الأرضي، فيصبح مقام النسخة اثنين وثلاثين ألفًا. ستة وربع مضروبة في ثلاثمئة وعشرين مترًا تعطي ألفي متر، وعرض سنتيمتر واحد يعطي ثلاثمئة وعشرين مترًا.

ومساحة النسخة الجديدة ستة سنتيمترات وربع السنتيمتر المربع، بدل أربعة في الأصل. ازداد كل ضلع بعامل خمسة أرباع، فازدادت المساحة بعامل خمسة وعشرين على ستة عشر. ضرب مساحة النسخة الجديدة في مربع مقامها يعيد مساحة الأرض نفسها. هذا فحص لحساب المساحة الذي سبق، وليس طريقة جديدة لقياس مسار على خريطة مكبرة؛ يمكن الرجوع إلى دليل المقياس الخطي لذلك السؤال العملي.

إذا كان السؤال لا يذكر أي نسخة استعملت، فلا تجمع طولًا من النسخة الجديدة مع مقام الأصل. مثلًا ستة وربع مضروبة في أربعمئة تعطي ألفين وخمسمئة متر، وهي زيادة ناتجة عن خلط المدخلات. دوّن في رأس الحل المقام وطول الرسم من النسخة نفسها. يكفي هذا التعريف لتتبع الخطأ؛ لا نحتاج إلى افتراض أن الأرض اتسعت أو أن وحدة المتر تغيرت بعد الطباعة.

مدخلات مقربة وتمرين مستقل للمراجعة

في مثال أخير، المسافة الأرضية معطاة بألف متر، وطول الرسم ليس قيمة دقيقة واحدة؛ بل يقع بين ثلاثة وتسعة أعشار وأربعة وواحد من الأعشار سنتيمتر. عند الطرف الأصغر يكون المقام مئة ألف مقسومة على ثلاثة وتسعة أعشار، أي نحو خمسة وعشرين ألفًا وستمئة وواحد وأربعين. عند الطرف الأكبر يقارب أربعة وعشرين ألفًا وثلاثمئة وتسعين. ازدياد المقسوم عليه يخفض الناتج، لذلك يرتبط الحد الأعلى للمقام بأصغر طول.

لو استعملنا أربعة سنتيمترات قيمة وسطية، لوجدنا خمسة وعشرين ألفًا، وهو عدد يقع داخل المجال السابق. يجوز تقديمه بوصفه نتيجة هذا الاختيار، لكن لا يجوز وصفه بأنه المقام الدقيق الوحيد للمدخلات ذات المجال. إن كان التمرين يطلب المجال فأعط الطرفين ورتبهما من الأصغر إلى الأكبر. هذه مراجعة أثر التقريب في البيانات، لا قياسًا لأداة أو تقديرًا لخطأ فعلي أجريناه.

اختبر فهمك بمسألة تجمع المجهولات دون تكرار أمثلة الدليل. خط أرضي طوله ألف وخمسمئة متر مرسوم بطول خمسة سنتيمترات. استخرج المقام، ثم احسب طول رسم ثمانمئة وأربعين مترًا عنده. تعطي القسمة الأولى ثلاثين ألفًا، وتعطي الثانية ثمانمئة وأربعين مقسومة على ثلاثمئة، أي اثنين وثمانية أعشار سنتيمتر. الضرب العكسي يعيد ثمانمئة وأربعين مترًا، فتتحقق من اختيار العملية والوحدة.

في المخطط نفسه، مستطيل رسمه ثلاثة سنتيمترات في اثنين. يمثل الضلعان تسعمئة متر وستمئة متر، فتكون المساحة خمسمئة وأربعين ألف متر مربع. وإذا أعطيت هذه المساحة وستة سنتيمترات مربعة فقط، فإن نسبتهما بعد توحيد الوحدة تساوي تسعمئة مليون، وجذرها ثلاثون ألفًا. بذلك يتفق حل الطول وحل المساحة على المقام نفسه؛ وإذا لم يتفقا فراجع وحدة المساحة وعدد مرات تطبيق عامل الطول.