ضرب عددين حول منتصف: افحص التناظر قبل اختصار الحساب

المركز المختار يجب أن يطابق العددين

يوضح دليل mathcentre أن الفرق بين مربعين يساوي حاصل ضرب مجموع العددين في الفرق بينهما. سنستعمل هذه الهوية لفحص ضرب عددين متناظرين حول منتصف نختاره بدقة. ^[1]

في نموذجنا نسمي المركز م، والبعد المشترك د. يجب أن يكون أحد العددين م ناقص د، والآخر م زائد د. هذه كتابة للعددين الأصليين، لا خطوة تسمح بتغييرهما. قبل حساب أي مربع، اطرح الأصغر من المركز، ثم اطرح المركز من الأكبر، وقارن الناتجين. إذا اختلفا، فلا تكتب العددين في صورة متناظرة حول هذا المركز.

سنحافظ على ثلاثة أسطر في الورقة: العددان، والمركز المقترح، والبعدان المحسوبان. يختلف هذا الفحص عن رؤية عدد صغير على يسار رقم كبير وآخر على يمينه. نريد تساوي المسافتين العدديتين، لا تشابه طول خطين رسمناهما بلا مقياس. تستطيع إجراء الفحص دون رسم؛ الشكل يساعد على متابعة الأعداد، لكنه لا يقوم بالحساب بدلًا منك.

حساب كامل: سبعة وأربعون في ثلاثة وخمسين

اختر خمسين مركزًا للعددين 47 و53. الحساب الأول 50−47=3، والثاني 53−50=3. تحقق التناظر، فنكتب 47×53=(50−3)×(50+3). في المثال، مربع خمسين ألفان وخمسمئة، ومربع ثلاثة تسعة؛ طرح الثاني من الأول يعطي 2491. لم نطرح الثلاثة نفسها؛ المقدار الذي نحذفه هنا مربع البعد.

لنراجع النتيجة بطريقة أخرى: 47×53=47×50+47×3. الجزء الأول 2350، والثاني 141، والجمع 2491. هذه مراجعة مستقلة للتعويض العددي، وليست نتيجة إضافية ينبغي جمعها مع نتيجة الاختصار. إذا اختلف الحسابان، عد إلى كتابة العددين والبعد المشترك، ثم إلى التربيع والطرح، بدل تعديل آخر رقم كي يتفق الجوابان.

يمكنك تبديل ترتيب العاملين، لكن المركز والبعد لا يتغيران. الفرق بين ثلاثة وخمسين وسبعة وأربعين ستة؛ البعد عن منتصفهما نصف هذا الفرق، أي ثلاثة. لو استعملت الستة نفسها بدل الثلاثة، طرحت ستة وثلاثين وحصلت على جواب لا يطابق الضرب الأصلي. لاحظ الفرق بين طول المسافة الكاملة وبين كل نصف منها.

قرب العددين من خمسين لا يثبت التناظر

غيّر العدد الثاني إلى اثنين وخمسين، وأبق الأول سبعة وأربعين. نريد الآن 47×52. عن المركز المقترح خمسين، البعد الأيسر ثلاثة والبعد الأيمن اثنان. لذلك لا يجوز أن نكتب العاملين خمسين ناقص ثلاثة وخمسين زائد ثلاثة؛ العامل الثاني في تلك الكتابة ثلاثة وخمسون، وليس اثنين وخمسين.

إذا طرحت مربع ثلاثة من مربع خمسين، حصلت على 2491، وهو جواب المثال السابق. وإذا طرحت مربع اثنين، حصلت على 2496، وهو أيضًا ليس المطلوب. لا نعالج عدم التناظر بالاختيار بين البعدين؛ علينا إيجاد مركز صحيح للعددين أو استعمال طريقة أخرى. الضرب المباشر يعطي 47×50+47×2=2350+94=2444، فيكشف الخطأين.

لا نقول إن الاقتراب من عدد سهل غير مفيد. يمكن استخدام خمسين في التجزئة الأخيرة، حيث كتبنا اثنين وخمسين خمسين زائد اثنين. لكن هذه طريقة مختلفة لا تشترط بعدين متناظرين. تسمية العملية وتسجيل شروطها يمنعان استعمال نتيجة إحدى الطريقتين بوصفها خطوة صالحة تلقائيًا في الأخرى.

المنتصف الكسري يحافظ على العددين

نجمع سبعة وأربعين واثنين وخمسين، فنحصل على تسعة وتسعين. قسمته على اثنين تعطينا تسعة وأربعين ونصفًا. البعد عن كل طرف اثنان ونصف؛ نتحقق بالطرح قبل التربيع. إذن في 47×52 نستخدم المركز 49.5 والبعد 2.5، لا المركز خمسين بعد تقريب المنتصف.

مربع 49.5 يساوي 2450.25، ومربع 2.5 يساوي 6.25. الفرق 2444، وهو ما أعاده الضرب المباشر. تستطيع تجنب العشريات بكتابة المركز 99/2 والبعد 5/2؛ فرق المربعين هو (9801−25)/4=9776/4=2444. كلا المسارين دقيق؛ لا يوجد تقريب في النتيجة أو في اختيار منتصف هذه الورقة.

إذا قرّبت المركز إلى خمسين وحافظت على البعد اثنين ونصف، فستكتب عددين آخرين: سبعة وأربعين ونصفًا واثنين وخمسين ونصفًا. لذلك لا نحكم على خطوة تقريب من سهولة تربيع العدد وحدها. ارجع إلى العاملين الناتجين، وقارنهما بالمطلوب قبل متابعة الحساب؛ هذه المقارنة تكشف تغير السؤال.

لماذا يساوي جمع العددين ضعف المركز؟

من الكتابة التي فرضناها في نموذجنا، العددان م ناقص د وم زائد د. عند جمعهما، يلغي نقص د زيادته، فيبقى ضعف م. لذلك يجب أن يكون المركز نصف مجموع العددين. وعند طرح الأصغر من الأكبر، يبقى ضعف د، فيكون البعد المشترك نصف الفرق. بهذا الاستنتاج نجد القيم المطلوبة بدل تخمين مركز قريب.

وللتحقق من الاختصار نفسه، وزع الضرب في الكتابة المتناظرة. حاصل المركز في المركز هو مربعه، والحدان المختلطان يتعاكسان، ويبقى طرح مربع البعد. هذه مراجعة جبرية لطريقتنا؛ أما التعويض بحسابين عدديين فيراجع تنفيذ أمثلة بعينها. لا تجعل اتفاق مثال واحد برهانًا على اختيار أي مركز، ولا تجعل صحة الهوية مبررًا لتغيير العددين الأصليين.

وفي مثال، نضرب سالب سبعة في ثلاثة عشر. المنتصف ثلاثة، والبعد عشرة، فيكون الحساب تسعة ناقص مئة، أي سالب واحد وتسعين. هنا مربع البعد أكبر من مربع المركز؛ لا نستبدل الناتج بقيمة موجبة لأننا نستعمل مربعات. العددان يقعان على جهتين من الصفر، وكتابتهما ثلاثة ناقص عشرة وثلاثة زائد عشرة تعيدهما دون تغيير. راجع بالضرب المباشر، ثم اكتب الإشارة ضمن الإجابة.

تمرينان وقرار اختيار الطريقة

احسب 36×44 قبل قراءة الحل. المنتصف أربعون، والبعد أربعة. نحسب 1600−16=1584. والمراجعة المباشرة 36×40+36×4=1440+144=1584. ثم جرّب 61×67: المنتصف أربعة وستون، والبعد ثلاثة، فيكون 4096−9=4087. تحقق بتجزئة العامل الثاني إلى ستين وسبعة: 3660+427=4087.

قد تجد تربيع أربعة وستين أقل راحة من الضرب بالتجزئة، فلا يلزم استعمال الاختصار بعد فحصه. اختر المسار الذي تستطيع تنفيذه ومراجعته بدقة. اختم كل حل بالعددين والمركز والبعد والحاصل، ثم سجل تحققًا مستقلًا. ما نريد الاحتفاظ به هو شرط التناظر وطريقة اختباره، لا قاعدة تختار خمسين أو مئة لكل عددين قريبين.