مبرهنة غاوس وبودنميلر: محور دوائر أقطار الرباعي

الخلاصة السريعة

دوائر أقطار الرباعي الكامل تشترك في محور جذري؛ عليه تتساوى قوى النقطة للدوائر الثلاث. [1] في مثالنا معادلته11x+7y=0.

• أربعة خطوط x=0 وy=0 وx+3y=15 و3x+y=12 تحدد ستة تقاطعات. الأقطار AF وBE وCD تصل أزواجًا لا تشترك في خط أصلي؛ نبني كل دائرة بقطرها المحدد.
• مراكز دوائر الأقطار M=(21/16,33/16)، N=(2,5/2)، P=(15/2,6). مربعات أنصاف أقطارها765/128 و41/4 و369/4. المراكز تحقق7x−11y=−27/2.
• قوة النقطة للدائرة هي p=d²−r². [2] فروق القوى في المثال هي(11x+7y)/8 و11x+7y و9(11x+7y)/8؛ لذلك تتساوى القوى الثلاث على11x+7y=0.
• المحور مشترك، لكن القوة ليست صفرًا عند كل نقاطه. النقطتان A=(0,0) وQ=(−189/170,297/170) على الدوائر الثلاث. أما H134 وH234 فقوتهما المشتركة441/32 و1089/32، وهما خارجها.
• تتقاطع ارتفاعات مثلثي ABD وACE عند A. ومركزا تعامد BCF وDEF هما H134=(−21/8,33/8)، H234=(21/8,−33/8). الأربعة على المحور؛ اثنان منها متطابقان في هذا المثال الخاص.
• نزيد r1² بمقدار9 ونثبت المراكز. تصير محاور الأزواج11x+7y=72 و11x+7y=8 و11x+7y=0، فلا محور مشترك. الإزاحة(2,−1) تحفظ القوى وتنقل المحور إلى11x+7y=15؛ التكبير2 يضرب القوى في4.

من أربعة خطوط إلى ثلاث دوائر

الرباعي الكامل هنا بناء من أربعة مستقيمات وستة تقاطعات، لا مضلع بأربعة رؤوس فقط. نفترض أن التقاطعات الستة منتهية ومختلفة؛ لا يتوازى اثنان من الخطوط ولا تلتقي ثلاثة في نقطة. نسمّي الخطوط بحسب ترتيبها في مثالنا.

الخط الأول x=0، والثاني y=0، والثالث x+3y=15، والرابع3x+y=12. سمّ تقاطع12 بالنقطة A، و13 بالنقطة B، و14 بالنقطة C، و23 بالنقطة D، و24 بالنقطة E، و34 بالنقطة F. أرقام الخطوط أهم من قرب العلامات في الصورة.

نجد A=(0,0)، B=(0,5)، C=(0,12)، D=(15,0)، E=(4,0). لحساب F نجمع حل المعادلتين المائلتين: بالتعويض ينتج8y=33، ثم x=21/8. إذن F=(21/8,33/8)، والتعويض يحقق كلتا المعادلتين.

القطعة AF تصل الزوج12 بالزوج34، وBE تصل13 بـ24، وCD تصل14 بـ23. لا يشترك طرفا أي منها في خط أصلي، وهي الأقطار الثلاثة المطلوبة. أما AB فتقع على الخط الأول، وBF على الثالث؛ لا نستبدلهما بأحد الأقطار.

نبني دائرة1 قطرها AF، ودائرة2 قطرها BE، ودائرة3 قطرها CD. مركز كل منها منتصف طرفي القطر، ومربع نصف قطرها ربع مربع طول القطر. مثلًا AF²=(21/8)²+(33/8)²=765/32، ومنه r1²=765/128.

اكتب القوة قبل البحث عن المحور

قوة نقطة بالنسبة إلى دائرة هي مربع بعدها عن المركز مطروحًا منه مربع نصف القطر. تكون موجبة خارج الدائرة وسالبة داخلها. [2] الصفر يعني أن النقطة على المحيط، لأن بعدها حينئذ يساوي نصف القطر. لا تدل كلمة «قوة» هنا على قوة فيزيائية. [2]

لدائرة مركزها(u,v)، نكتب p(x,y)=(x−u)²+(y−v)²−r². وفي دوائرنا يعطي نشر المربعات p1=x²+y²−21x/8−33y/8، وp2=x²+y²−4x−5y، وp3=x²+y²−15x−12y.

اختفاء الحد الثابت في المعادلات الثلاث له معنى في هذا المثال: قوة الأصل تساوي0 في كل دائرة. يمكن أيضًا التحقق هندسيًا؛ زاوية BAE قائمة فتقع A على دائرة قطرها BE، وزاوية CAD قائمة فتقع A على دائرة قطرها CD. وهي أصلًا طرف AF.

المحور الجذري لدائرتين مختلفتي المركز هو مجموعة نقاط القوى المتساوية، ويكون عموديًا على خط المركزين. وإذا تقاطعت الدائرتان في نقطتين، مرّ المحور بهما. [3] نحن نبحث عن تساوي القيم، فلا نفرض أنها صفر منذ البداية.

نطرح p2 منp1، فتُلغى x²+y²، ويبقى(11x+7y)/8. وبطرح p3 منp2 نجد11x+7y. وبطرح p3 منp1 نجد9(11x+7y)/8. المعادلات الثلاث للصفر تختزل إلى11x+7y=0؛ هذه مراجعة مستقلة للأزواج الثلاثة.

هذا هو المحور المشترك في المثال. ومراكز الدوائر تحقق7x−11y=−27/2. اتجاه خطها(11,7)، واتجاه المحور(7,−11)؛ حاصل الضرب الداخلي77−77=0. استقامة المراكز والتعامد ثابتان بالحساب، لكنهما وحدهما لا يفرضان توافق أنصاف الأقطار.

المحور ليس كله على محيط الدوائر

نعوّض y=−11x/7 فيp1. نحصل على(170/49)x²+(27/7)x=0. لهذا حلان: x=0 وx=−189/170. يعود الأول إلى A، ويعطي الثاني Q=(−189/170,297/170). كلاهما يحقق معادلة المحور.

لأن القوى متساوية على المحور، يكفي أن تنعدم واحدة عند نقطة عليه لكي تنعدم الثلاث. إذن A وQ نقطتا التقاطع المشتركتان لدوائر مثالنا. وهذا تحقق خاص بالأعداد المختارة، لا استنتاج من مجرد رسم دوائر تبدو متقاطعة.

خذ H134=(−21/8,33/8). تحقق11x+7y=0، لكن التعويض في أي قوة يعطي441/32. إنها موجبة، فالنقطة خارج الدوائر الثلاث. وبالمثل H234=(21/8,−33/8) على المحور وقوتها المشتركة1089/32.

إذا كتبت أن «كل نقطة على المحور تقع على الدوائر»، فقد بدّلت شرط p1=p2=p3 بشرط أشد هو p1=p2=p3=0. الجدول يبيّن الفرق بأربع نقاط فعلية. وحدات القوى مربعة إذا كانت الإحداثيات بوحدة طول؛ القيمة ليست مساحة قرص لمجرد أن الوحدة مربعة.

أربعة مثلثات ومراكز تعامدها

كل اختيار لثلاثة من الخطوط الأربعة يعطي مثلثًا. تنص النتيجة العامة على وقوع مراكز تعامد هذه المثلثات على المحور المشترك لدوائر الأقطار. [1] سنحسب الأربعة في مثالنا؛ لا نأخذ مواقعها من الصورة.

المثلث ABD قائم عند A، لأن AB رأسي وAD أفقي، فيكون مركز تعامده A. والمثلث ACE قائم عند A أيضًا. مركزا التعامد متطابقان هنا، رغم اختلاف المثلثين؛ عبارة «أربعة مراكز» تعد المثلثات ولا تضمن أربع نقاط مختلفة دائمًا.

في BCF، الضلع BC رأسي، فارتفاع F أفقي ومعادلته y=33/8. والضلع CF يقع على3x+y=12، وميله−3؛ ارتفاع B ميله1/3، فمعادلته y=5+x/3. حل الارتفاعين يعطي H134=(−21/8,33/8).

في DEF، الضلع DE أفقي، فارتفاع F هو x=21/8. والضلع DF يقع علىx+3y=15، وميله−1/3؛ ارتفاع E ميله3، فمعادلته y=3(x−4). ينتج H234=(21/8,−33/8).

التعويض في11x+7y يعطي0 لكل من A وH134 وH234. وفحص كل مركز مع الارتفاع الثالث أيضًا يؤكد الاختيار. لا نقول إن مراكز التعامد تقع على محيط الدوائر: القيم الموجبة السابقة تفصل بين وقوعها على المحور ووقوعها على الدائرة.

المراكز المستقيمة لا تكفي

غيّر الدائرة الأولى وحدها: زد مربع نصف قطرها بمقدار9، وأبق مركزها M ثابتًا. يصبح r1′²=1917/128، والقوة p1′=p1−9. الدائرتان الثانية والثالثة تبقيان كما هما، وتظل المراكز الثلاثة على الخط نفسه.

من p1′=p2 نحصل على11x+7y=72؛ ومن p1′=p3 نحصل على11x+7y=8؛ ومن p2=p3 نحصل على11x+7y=0. الجهات متطابقة والثوابت مختلفة، فهي ثلاثة مستقيمات متوازية ومتميزة.

لا توجد نقطة تحقق المعادلات الثلاث معًا. عند A مثلًا القيم−9 و0 و0؛ تقع A داخل الدائرة الأولى الجديدة وعلى الدائرتين الباقيتين. وعلى المحور القديم تتساوى p2 وp3، لكن p1′ تقل عنهما دائمًا بمقدار9.

لا يناقض التغيير مبرهنة غاوس وبودنميلر؛ الدائرة الأولى الجديدة لم تعد دائرة قطرها AF. طرفا AF داخلها، لأن القوة عند كل منهما−9. لقد حافظنا على المنتصف ومكان المركز، وأزلنا قيد القطر الذي ربط نصف القطر بالبناء.

اللوحة الداخلية ترسم المحاور الثلاثة المتوازية وخط المراكز دون رسم دوائر جديدة. الهدف قراءة مواضع المستقيمات الناتجة بوضوح؛ إنها نتيجة حساب القوى بعد التغيير، وليست إعادة تسمية المحور الأصلي.

ما الذي يحفظ النتيجة؟

الإزاحة(2,−1) تنقل كل نقطة ومركز بالقيمة نفسها ولا تغيّر نصف قطر. يبقى فرق النقطة عن المركز كما كان، فتُحفظ كل قوة. معادلة المحور المنقول11x+7y=15، وخط المراكز المنقول7x−11y=23/2.

التكبير بعامل2 يضاعف الإحداثيات والأطوال وأنصاف الأقطار. لذلك تتضاعف مربعات المسافات أربع مرات، وتُضرب القوى في4. تصبح Q=(−189/85,297/85)، وتبقى معادلة المحور11x+7y=0 لأنه يمر بالأصل.

خط المراكز المكبّر7x−11y=−27. قوتا مركزَي التعامد غير الصفريين تصيران441/8 و1089/8. مساواة القوى وصفرها محفوظان، لكن القيم العددية نفسها لا تُحفظ عند التكبير كما حُفظت عند الإزاحة.

لا نغيّر مقياس المحورين بشكل مختلف ثم نفترض أن الدوائر بقيت دوائر؛ ذلك قد يحوّلها إلى قطع ناقص. كما أن توازي خطين أصليين أو التقاء ثلاثة يزيل شرط البناء ذي التقاطعات الستة المختلفة. ابدأ بالأقطار المحددة، ثم مراكزها وأنصاف أقطارها، ثم فروق القوى.