مبرهنة بريانشون: ثلاثة أقطار لسداسي مماس تلتقي في نقطة

الخلاصة السريعة

في سداسي محدب محيط بدائرة، تكون أضلاعه الستة مماسة لها؛ تنص نسخة الدائرة من مبرهنة بريانشون على أن المستقيمات الواصلة بين الرؤوس المتقابلة AD و BE و CF تتلاقى في نقطة واحدة. [1] في مثالنا P=(1/11,1/22)، ولا يلزم انتظام السداسي.

• المماسات المتتابعة هي x=1، 3x+4y=5، −3x+4y=5، x=−1، −3x−4y=5، 4x−3y=5. مربع بعد كل مستقيم عن الأصل 1؛ ونقاط التماس الستة تقع على قطع الأضلاع، لا على امتداداتها فقط.
• تقاطع كل مماسين متجاورين يعطي A=(1,−1/3)، B=(1,1/2)، C=(0,5/4)، D=(−1,1/2)، E=(−1,−1/2)، F=(1/5,−7/5). هذه رؤوس السداسي؛ نقاط التماس مختلفة عنها.
• الأقطار الرئيسية تحقق 5x+12y=1، x−2y=0، 53x+4y=5. تقاطع الأول والثاني P=(1/11,1/22)، وتعويضه في الثالث يعطي 5 بالضبط. لا نستبدل AD بقطر أقصر مثل AC.
• يمكن تحريك نقطة التماس السادسة مع بقاء خمسة مماسات ثابتة. إذا A=(1,t)، و t بين −1 و 0 حصريًا، فإحداثي تقاطع الأقطار الأول p=(1+2t)/(3−2t)، والثاني p/2. عند t=−1/2 تقع نقطة التلاقي عند مركز الدائرة.
• إذا تغير الضلع الأخير إلى 4x−3y=6، صار بعده عن الأصل 6/5. الرأسان المتغيران A′=(1,−2/3) و F′=(9/25,−38/25). تقاطع A′D مع BE هو P′=(−1/13,−1/26)، ولا يقع على CF′؛ فرق التعويض −880/13.
• التكبير بعامل 2 يجعل الدائرة x²+y²=4، ونقطة التلاقي (2/11,1/11). تتضاعف الأطوال ويبقى التلاقي. راجع ترتيب الرؤوس والتماس؛ وجود سداسي حول الدائرة في صورة تقريبية لا يثبت أن كل ضلع مماس.

ابدأ بستة مماسات، لا بست نقاط على الدائرة

المثال سداسي محيط بدائرة: كل ضلع يمس الدائرة، بينما الرأس تقاطع ضلعين. هذا يختلف عن سداسي رؤوسه على الدائرة. مبرهنة بريانشون تخص الأضلاع المماسة، والمستقيمات AD و BE و CF تصل الرؤوس المتقابلة في ترتيب A ثم B ثم C ثم D ثم E ثم F. [1]

لدائرة الوحدة x²+y²=1، إذا T=(u,v) على المحيط، يكون المماس ux+vy=1. فالنقطة T تحقق المعادلة لأن u²+v²=1، ومتجهها من الأصل عمودي على اتجاه المماس. وتربيع المسافة من الأصل إلى المستقيم يعيد 1؛ فلا يقطع الدائرة في نقطتين.

نختار نقاط التماس (1,0)، (3/5,4/5)، (−3/5,4/5)، (−1,0)، (−3/5,−4/5)، (4/5,−3/5). باستعمال ux+vy=1 ثم إزالة الكسور نحصل على المماسات في الجدول. العمود الأخير مربع البعد عن المركز، ونصف قطر الدائرة 1.

هذه المماسات تحيط بالقرص نفسه. في الإحداثيات الدقيقة تقع نقطة تماس كل ضلع بين رأسيه المتجاورين. لا نحتاج إلى قانون الميل الذي يعجز عن كتابة مماس رأسي مثل x=1؛ متجه العمود يصفه مباشرة.

استخرج الرؤوس من تقاطع الأضلاع المتجاورة

نسمّي A تقاطع المماس الأخير مع x=1، ثم B تقاطع الأول والثاني، وهكذا. عند A نعوض x=1 في 4x−3y=5، فنجد y=−1/3. وعند B تعطينا 3+4y=5، فتكون y=1/2.

لإيجاد C نحل 3x+4y=5 و −3x+4y=5: طرحهما يعطي x=0، ثم y=5/4. وبالتعويض في x=−1 نحصل على D=(−1,1/2) و E=(−1,−1/2).

لإيجاد F نحل −3x−4y=5 و 4x−3y=5. اضرب الأولى في 3 والثانية في 4؛ طرح المعادلتين يعطي 25x=5. إذن x=1/5، وبالتعويض y=−7/5. يجمع الجدول الرؤوس الستة بحسب ترتيب حدود الشكل.

كل رأس خارج الدائرة؛ مثلًا مربع بعد A عن الأصل 10/9، ومربع بعد C هو 25/16. نقطة التماس ليست رأسًا إضافيًا للمضلع. وطول AB هو 5/6، بينما طول DE هو 1؛ فلا ننسب الشكل إلى سداسي منتظم لمجرد وجود ستة أضلاع.

احسب الأقطار الرئيسية ثم اختبر نقطة التلاقي

في هذا الترتيب يكون الرأس المقابل لـ A هو D، والمقابل لـ B هو E، والمقابل لـ C هو F. معادلة AD هي 5x+12y=1؛ تعويض A يعطي 5−4=1، وتعويض D يعطي −5+6=1. ومعادلة BE هي x−2y=0، ويحققها B و E.

من C=(0,5/4) و F=(1/5,−7/5)، نجد معادلة CF: 53x+4y=5. عند C يعطي الطرف 5، وعند F يعطي 53/5−28/5=5. هذه معادلات مستقيمات محددة برؤوس محسوبة، لا أقطارًا اختيرت بالعين.

من BE نجد y=x/2. نعوض في AD فتنتج 11x=1؛ إذن P=(1/11,1/22). في CF نحصل على 53/11+4/22=5، فتقع P على الأقطار الثلاثة. وبما أن x ليس صفرًا، تختلف P عن مركز دائرة الوحدة.

نجري هذا الفحص على أقطار الرؤوس المتقابلة، لا على الأضلاع المماسة نفسها ولا على أي ثلاثة أقطار من التسعة الممكنة. كذلك لا نحتاج إلى أن تكون نقطة التلاقي مركز الدائرة، ولا إلى تساوي أطوال الأضلاع.

تحريك المماس السادس يعطي عائلة كاملة

نثبت المماسات الخمسة الأولى، ونأخذ t بين −1 و 0 حصريًا. عرّف u=(1−t²)/(1+t²) و v=2t/(1+t²)؛ بالتوسيع نجد u²+v²=1. لذلك ux+vy=1 مماس جديد لدائرة الوحدة، وتظل الأضلاع بترتيبها محيطة بها.

تقاطع هذا المماس مع x=1 هو A=(1,t). اكتب b=1+2t و q=1−2t، فيكون تقاطعه مع −3x−4y=5 هو F=(b/q,(t−2)/q). المقام q موجب في المجال المختار، فلا توجد قسمة على صفر. أما B و C و D و E فتبقى كما كانت.

معادلة AD تصبح qx+4y=b، ومعادلة BE تبقى x−2y=0. لذلك نكتب p=b/(3−2t)، وتكون نقطة تقاطعهما P=(p,p/2). للقطر CF نكتب a=13−14t؛ معادلته ax+4by=5b. عند P يصبح الطرف (a+2b)p، ويساوي 5b لأن a+2b=5(3−2t).

هذا برهان للعائلة المحددة بخمسة مماسات ثابتة، وليس برهانًا لكل القطوع المخروطية. عند t=−1/3 يعيد المثال الأصلي، وعند t=−1/2 يكون b=0 و P=(0,0). في الحالة الثانية CF رأسي ومعادلته x=0؛ لا نقسم على b لإثبات مروره بالمركز.

ضلع خارج الدائرة قد يكسر التلاقي

نعود إلى المثال الأصلي ونغير المماس الأخير فقط من 4x−3y=5 إلى 4x−3y=6. بعد المستقيم الجديد عن الأصل 6/5، وهو أكبر من نصف القطر 1؛ لذلك لا يمس دائرة الوحدة. بقية الأضلاع تحتفظ بمعادلاتها.

عند x=1 نجد A′=(1,−2/3). وتقاطع المستقيم الجديد مع −3x−4y=5 يعطي F′=(9/25,−38/25). يظل B و C و D و E كما كانوا، لكن القطرين المرتبطين بالرأسين المتغيرين يتبدلان.

تصبح معادلة A′D هي 7x+12y=−1، ويبقى BE على x−2y=0. تقاطعهما P′=(−1/13,−1/26). أما CF′ فمعادلته 277x+36y=45. تعويض P′ يعطي −295/13، لا 45؛ فرق الطرفين −880/13. إذن لا تمر الأقطار الثلاثة بنقطة واحدة في هذا الشكل.

نعرّف «فرق التعويض» في الجدول بأنه الطرف الأيسر لمعادلة CF ناقص طرفها الأيمن، أو للمعادلة المعدلة CF′. الصفر يعني انتماء النقطة. المثال يثبت أن فقد التماس قد يفقد التلاقي؛ لا نزعم أن كل سداسي غير مماس يفشل بالضرورة.

التكبير وحدود الاعتماد على الصورة

نضرب الإحداثيات في 2. تصبح الدائرة x²+y²=4، ويتحول المماس الأخير إلى 4x−3y=10. الأقطار الرئيسية تكتب 5x+12y=2، x−2y=0، 53x+4y=10، وتلتقي عند (2/11,1/11). التعويض يعيد المساواة في كل معادلة.

يحفظ التكبير التماس وترتيب الرؤوس والتلاقي. لكنه لا يجعل السداسي منتظمًا؛ إنه يكبر الأطوال نفسها بعامل واحد. وفي المثال المخالف يتغير الخط الخارجي إلى 4x−3y=12، ويبقى خارج الدائرة الجديدة ذات نصف القطر 2.

ابدأ بمعادلات الأضلاع، وافحص أن المسافة من مركز الدائرة إلى كل مستقيم تساوي نصف القطر، وأن نقطة التماس تقع على قطعة الضلع. ثم احسب الرؤوس المتجاورة، وصل A بـ D و B بـ E و C بـ F. تكرار مماس أو توازي مماسين متجاورين يمنع هذا البناء الإقليدي من إعطاء ستة رؤوس منتهية مختلفة؛ لا تواصل الحساب كأن الفرضيات مكتملة.