مبرهنة بيك: مساحة المضلع من نقاط الشبكة

الخلاصة السريعة

لمضلع بسيط بلا ثقوب ورؤوسه على شبكة مربعة بوحدة واحدة، تعطي مبرهنة بيك المساحة A=I+B/2−1؛ حيث I عدد نقاط الشبكة الداخلية و B عدد نقاطها على الحدود. [1]

• يجب أن تكون الرؤوس نقاط شبكة، وأن تكون الحدود مغلقة بلا تقاطع ذاتي. يمكن أن يكون المضلع مقعّرًا. نعد النقاط الداخلية في I ونقاط الحدود في B، ولا نعد النقطة مرتين.
• المضلع ذو الرؤوس (0,0)، (6,0)، (6,4)، (3,4)، (3,2)، (0,2) يحتوي 9 نقاط داخلية و 20 نقطة حدودية. لذلك A=9+20/2−1=18؛ وعد رؤوسه الستة فقط يعطي نتيجة خاطئة.
• للضلع بين نقطتين صحيحتَي الإحداثيات، عدد نقاط الشبكة عليه شاملًا الطرفين هو gcd(|Δx|,|Δy|)+1. جمع القواسم المشتركة الكبرى على الأضلاع يعطي B مباشرةً؛ لأن كل رأس مشترك كان سيُعد مرتين.
• المثلث (0,0)، (5,0)، (2,3) له I=4 و B=9، فتكون المساحة 15/2. التحقق بالقاعدة 5 والارتفاع 3 يعطي القيمة نفسها. المضلع المقعّر مساحته أيضًا 24−6=18 بالحذف من مستطيل.
• الصيغة تسمح بمساحة نصفية: المثلث (0,0)، (1,0)، (0,1) مساحته 1/2، مع I=0 و B=3. لا تطبقها إذا خرجت الرؤوس عن الشبكة؛ مثلث ضلعاه القائمان 1/2 مساحته 1/8 ولا يحقق الشروط على شبكة الوحدة.
• إذا كان ضلع خلية الشبكة 2 سم، فالمساحة الفيزيائية للمثال 18×4=72 سم². وإذا كبّرت الشكل على شبكة الوحدة الثابتة، يجب إعادة العد: I=53 و B=40، فتكون المساحة 72. النقل بعدد صحيح من الخلايا يحفظ العد.

حدد الشبكة والنقاط التي ستعدها

تصور تقاطعات شبكة مربعة منتظمة على أنها النقاط (x,y)، حيث x و y عددان صحيحان. كل خطوة أفقية أو رأسية تساوي وحدة من إحداثيات الشبكة. النقاط التي تقع بين هذه التقاطعات ليست نقاطًا من الشبكة المختارة، حتى لو كانت رؤوسًا لشكل آخر.

تخص مبرهنة بيك مضلعًا بسيطًا مغلقًا ذا رؤوس صحيحة الإحداثيات. [1] سنقصر الحديث هنا على منطقة بلا ثقوب. كلمة بسيط تعني أن الأضلاع لا تتقاطع إلا عند الرؤوس المشتركة المتجاورة؛ ولا تعني بالضرورة أن الشكل محدب.

نكتب I لعدد نقاط الشبكة التي تقع داخل المنطقة تمامًا، و B لعدد النقاط التي تقع على حدودها. النقطة على ضلع مائل تنتمي إلى B مثل النقطة على ضلع أفقي، حتى لو لم تكن رأسًا. ولا تدخل نقطة الحد في I أيضًا.

الرسم يميز النقاط الداخلية بلون وردي ونقاط الحدود بلون داكن. النقاط الباهتة خارج المضلع تساعد على رؤية الشبكة، لكنها لا تدخل في الحساب. نستخدم مقياسًا واحدًا للمحورين؛ تمديد الرسم في اتجاه واحد يغيّر تفسير الخلية المربعة.

عد نقاط المضلع المقعّر ثم عوض

ابدأ عند (0,0)، ثم تحرك بالتتابع إلى (6,0)، (6,4)، (3,4)، (3,2)، (0,2)، ثم عد إلى البداية. ينتج مضلع مقعّر لا يتقاطع مع نفسه. الجزء العلوي الأيسر من المستطيل المحيط خارج المنطقة، لذلك نقاطه ليست داخلية.

في الصف y=1، توجد خمس نقاط داخلية عند x=1، 2، 3، 4، 5. وفي الصف y=2، النقاط عند x=4 و x=5 فقط داخلية؛ أما النقاط حتى x=3 فتقع على حد التجويف. وفي الصف y=3، توجد نقطتان داخليتان عند x=4 و x=5. المجموع 5+2+2=9.

بعد عد نقاط الحدود المختلفة نجد B=20. لذلك التعويض الكامل هو A=9+20/2−1=18. لا تحذف الحد −1، ولا تضرب I في نصف. إذا كانت خلية الشبكة وحدة مربعة واحدة، فهذه مساحة 18 وحدة مربعة.

للشكل ستة رؤوس، لكن B لا يساوي 6. نقاط مثل (1,0) و (6,2) تقع على الأضلاع وليست رؤوسًا. استعمال عدد الرؤوس بدل جميع نقاط الحد يعطي 9+6/2−1=11، فلا يطابق المساحة الصحيحة.

احسب نقاط الضلع المائل دون عد الرأس مرتين

إذا وصل ضلع بين نقطتين صحيحتَي الإحداثيات، فاحسب فرق الإحداثيينΔx وΔy، ثم القاسم المشترك الأكبر لقيمتيهما المطلقتين. نسميه g. عدد الفواصل الشبكية على القطعة g، وعدد النقاط شاملًا الطرفين g+1.

لتفسير ذلك، اكتبΔx=g u وΔy=g v، حيث u و v عددان صحيحان لا يشتركان في قاسم أكبر من 1. التحرك بمقدار (u,v) يمر بكل نقطة شبكة على القطعة، ويتكرر g مرات حتى الطرف الثاني. لا نستخدم طول الضلع بوصفه عددًا للنقاط.

اختر المثلث A=(0,0)، B=(5,0)، C=(2,3). على AB توجد 6 نقاط، وعلى BC توجد 4 نقاط، وعلى CA نقطتان. الجمع 6+4+2=12 يعد كل رأس مرتين؛ نطرح الرؤوس الثلاثة فنجد B=9. والجدول يوضح الفروق والقواسم.

يمكن اختصار الحساب بجمع g لكل ضلع: 5+3+1=9. في المضلع المقعّر السابق، القيم 6 و 4 و 3 و 2 و 3 و 2 تجمع إلى 20. هذا يشمل كل نقطة حدودية مرة واحدة، وليس مجرد قياس أطوال الأضلاع.

إذا كان أحد الفروق صفرًا، نأخذ gcd(n,0)=n للعدد الموجب n. لا نستعمل ضلعًا صفري الطول أو نكرر رأسًا متتاليًا. وعلى ضلع BC في مثلثنا، النقطتان (4,1) و (3,2) حدوديتان رغم ميل الضلع.

راجع النتيجة بطريقة مساحة مستقلة

في المثلث المختار، النقاط الداخلية هي (1,1)، (2,1)، (3,1)، (2,2). لذلك I=4 و B=9، وتعطي الصيغة A=4+9/2−1=15/2. طريقة أخرى لا تعتمد على عد النقاط هي القاعدة 5 والارتفاع 3، ومساحتهما 5×3/2=15/2.

المضلع المقعّر يقع داخل مستطيل عرضه 6 وارتفاعه 4، ومساحته 24. الجزء المحذوف مستطيل عرضه 3 وارتفاعه 2، ومساحته 6. إذن المساحة المطلوبة 24−6=18؛ وهي نتيجة توافق العد دون افتراضها مسبقًا.

يعرض الجدول حالات ذات مساحات صحيحة ونصفية. في كل صف نحدد I و B من الشكل، ثم نحسب المساحة. تساوي النتائج مع حساب هندسي مستقل يساعد على اكتشاف خطأ العد، لكنه ليس بديلًا عن شرط مبرهنة بيك.

لا يلزم أن يكون المضلع منتظمًا، ولا أن تكون أطوال أضلاعه أعدادًا صحيحة. ضلع BC في المثلث طوله 3√2، وضلع CA طوله√13. الإحداثيات الصحيحة هي الشرط المتعلق بالشبكة، وليست الأطوال الصحيحة.

افحص الشروط قبل قبول عدد موجب أو سالب

خذ مثلث الوحدة A=(0,0)، B=(1,0)، C=(0,1). لا توجد نقاط داخلية ولا نقاط إضافية على أضلاعه؛ I=0 و B=3، فتكون A=0+3/2−1=1/2. إذن غياب النقاط الداخلية لا يعني أن المساحة صفر.

الآن خذ (0,0)، (1/2,0)، (0,1/2) على شبكة الوحدة نفسها. المساحة الفعلية 1/8، لكن نقطة الشبكة الوحيدة على الشكل هي الأصل؛ I=0 و B=1 يعطيان −1/2 عند التعويض. الرأسان الآخران ليسا نقطتي شبكة، لذلك الصيغة لا تنطبق هنا.

لا تعالج النتيجة السالبة بأخذ قيمتها المطلقة. تحقق من الشبكة والرؤوس ومن طريقة عد الحدود. ويمكن اختيار شبكة أدق للمثلث الصغير، لكن يجب حينئذ تعديل وحدة المساحة؛ لا نخلط العد على شبكة بالوحدة التابعة لشبكة أخرى.

الحدود التي تتقاطع مع نفسها، والمناطق ذات الثقوب، ليست من الحالات التي نطبق عليها الصيغة المعروضة في هذا المقال. تقسيم منطقة إلى أجزاء صالحة ثم جمع المساحات أو طرحها يحتاج إلى عد صحيح لكل جزء؛ لا تنقل الصيغة تلقائيًا إلى المنطقة كلها.

ميز تكبير الخلية من تكبير الشكل على شبكة ثابتة

إذا كان ضلع كل خلية 2 سم، فمساحة الخلية 4 سم². تظل أعداد نقاط المثال في إحداثيات هذه الشبكة I=9 و B=20، لكن المساحة الفيزيائية 18×4=72 سم². الصيغة تعطي عدد وحدات المساحة الشبكية أولًا.

هناك عملية أخرى: ثبّت شبكة الوحدة وكبّر إحداثيات الرؤوس بعامل 2. تصبح الرؤوس (0,0)، (12,0)، (12,8)، (6,8)، (6,4)، (0,4). ظهرت نقاط إضافية على الحدود وفي الداخل؛ العد الجديد I=53 و B=40، فيعطي 53+40/2−1=72.

لا تضاعف I و B معًا وتفترض أن النتيجة صحيحة. عدد الحدود في هذا المثال تضاعف، لكن العدد الداخلي أصبح 53 لا 18. المساحة تضاعفت أربع مرات لأنها حاصل قياس في بعدين.

نقل الشكل بعدد صحيح من الخلايا، مثل الإزاحة (1,−2)، ينقل كل نقطة شبكة إلى نقطة شبكة ويحفظ I=9 و B=20 والمساحة 18. أما النقل بمقدار نصف خلية فقد يخرج الرؤوس عن الشبكة المحددة؛ حفظ المساحة وحده لا يضمن صلاحية العد عليها.