مبرهنة فان أوبل: مراكز المربعات تعطي وصلتين متساويتين ومتعامدتين

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة فان أوبل على أن وصلتي مراكز المربعات المبنية للخارج على أضلاع رباعي، عند وصل المراكز المتقابلة، متساويتان في الطول ومتعامدتان. [1] في مثالنا نثبت ذلك بحساب المراكز، ثم بدوران متجه بمقدار زاوية قائمة. يجب توحيد جهة بناء المربعات، وتمييز طول الوصلة من مربعه.

• نسير حول A=(0,0)، B=(6,0)، C=(8,5)، D=(1,3) بعكس عقارب الساعة. دوران متجه الضلع إلى اليمين يحدد جهة المربع الخارجي؛ نبني مربعًا على كل ضلع بالقاعدة نفسها.
• مراكز مربعات AB و BC و CD و DA هي S₁=(3,−3)، S₂=(19/2,3/2)، S₃=(7/2,15/2)، S₄=(−1,2). نحسب كل مركز بوصفه منتصف قطر المربع، لا منتصف الضلع الأصلي.
• نختار P=S₃−S₁=(1/2,21/2) و Q=S₄−S₂=(−21/2,1/2). ينتج|P|²=|Q|²=221/2 و P·Q=0؛ إذن الطولان متساويان والزاوية قائمة لأن المتجهين غير صفريين.
• إذا كان J(x,y)=(−y,x)، فإن 2P=U+JV و 2Q=−V+JU، حيث U=C+D−A−B و V=C+B−D−A. من J²=−I ينتج Q=JP، وهي علاقة الدوران التي تفسر النتيجة.
• عكس مربع CD وحده يجعل S₃′=(11/2,1/2)، ثم P′=(5/2,7/2). يصبح|P′|²=37/2 و P′·Q=−49/2. المربعات ما زالت صحيحة، لكن اتجاهاتها لم تعد موحدة.
• عكس المربعات الأربعة معًا يعطي في مثالنا Q=−JP وطولين متساويين أيضًا. قد تصبح الوصلتان صفريتين في حالة خاصة؛ حينئذ لا تعرف زاوية بينهما. التكبير يغير الأطوال والإزاحة تحفظ المتجهات.

حدد ترتيب الرؤوس وجهة بناء المربعات

اختر الرباعي A=(0,0)، B=(6,0)، C=(8,5)، D=(1,3)، مع وصل الرؤوس بهذا الترتيب. تغيرات الاتجاه عند الرؤوس موجبة، فيكون الرباعي محدبًا ومساره بعكس عقارب الساعة. لا نحتاج إلى تساوي أضلاعه أو تعامدها كي نجري البناء.

مربع كل ضلع يستعمل الضلع الأصلي بوصفه أحد أضلاعه. في المسار المختار تقع جهة الداخل إلى يسار الضلع الموجه، فتكون جهة المربع الخارجي إلى يمينه. مثلًا AB أفقي نحو اليمين؛ مربع AB يقع أسفل المحور الأفقي، وليس فوقه.

نعرف J(x,y)=(−y,x) دورانًا إلى اليسار بزاوية قائمة. الدوران إلى اليمين هو −J(x,y)=(y,−x). كلا الدورانين يحفظ طول المتجه ويعطي متجهًا عموديًا عليه. استعمال القاعدة نفسها للأضلاع الأربعة أهم من مجرد رسم أربعة أشكال تبدو مربعات.

متجهات الأضلاع بالترتيب هي (6,0)، (2,5)، (−7,−2)، (−1,−3). بعد دورانها إلى اليمين تصبح (0,−6)، (5,−2)، (−2,7)، (−3,1). نضيف المتجه المدور إلى طرفي الضلع كي نحصل على الرأسين الجديدين للمربع.

تعرض الصورة كل مربع بلون مختلف. قد تتقاطع أجزاء من الرسم أو تتجاوز حدود الرباعي؛ هذا لا يحول المركز إلى نقطة تقاطع عارضة. المركز يخص المربع الذي تحدده رؤوسه الأربعة، ويحسب من قطره.

احسب مركز كل مربع من قطره

مربع AB له الرؤوس (0,0)، (6,0)، (6,−6)، (0,−6). منتصف القطر من (0,0) إلى (6,−6) هو S₁=(3,−3). أما منتصف AB فهو (3,0)، فلا يجوز استعماله بدل مركز المربع.

في مربع BC نضيف (5,−2) إلى B و C، فنحصل على الرأسين الجديدين (11,−2) و (13,3). منتصف القطر من B=(6,0) إلى (13,3) هو S₂=(19/2,3/2). اختيار القطر الآخر، من C إلى (11,−2)، يعطي المركز نفسه.

لمربع CD نضيف (−2,7)؛ الرأس المقابل لـ C هو (−1,10)، والرأس الجديد قرب C هو (6,12). متوسط C=(8,5) و (−1,10) يعطي S₃=(7/2,15/2). ولمربع DA، الرأس المقابل لـ D هو (−3,1)، فيكون S₄=(−1,2).

يمكن توحيد الحساب بصيغة S_ab=(a+b−J(b−a))/2، حيث a و b طرفا ضلع موجه. نجمع الرأس a مع الرأس المقابل b−J(b−a)، ثم نقسم كل إحداثي على 2. هذه الصيغة تختار مركز المربع الخارجي لمسارنا.

الجدول يرتب المراكز بحسب الأضلاع. بعد حسابها نترك رؤوس المربعات الإضافية جانبًا؛ الاختبار التالي يخص القطعتين S₁S₃ و S₂S₄ فقط. وصل S₁ إلى S₂، مثلًا، اختيار لمركزين متجاورين ولا يمثل إحدى الوصلتين المطلوبتين.

افصل تساوي الطول عن التعامد

نوجه الوصلة الأولى من S₁ إلى S₃، فنعرف P=S₃−S₁=(1/2,21/2). ونوجه الثانية من S₂ إلى S₄، فنعرف Q=S₄−S₂=(−21/2,1/2). تظهر الوصلتان بالبنفسجي والوردي في الصورة، ولا تصلان رأسي رباعي الأصلي.

مربع طول P هو (1/2)²+(21/2)²=221/2. ومربع طول Q هو (−21/2)²+(1/2)²=221/2 أيضًا. إذن طول كل وصلة هو√(221/2)، وليس 221/2. استخدام مربعات الأطوال يجنبنا حساب تقريب عشري للجذر.

حاصل الضرب الداخلي P·Q يساوي (1/2)(−21/2)+(21/2)(1/2)=0. وبما أن P و Q غير صفريين، يدل الصفر على زاوية قائمة بين اتجاهيهما. تساوي الطولين وحده لا يكفي لاستنتاج التعامد، ولذلك أجرينا الاختبارين.

من الإحداثيات نرى أن Q ينتج من P بدوران إلى اليسار: الإحداثي الثاني لـ P يأخذ إشارة سالبة ويصبح الأول لـ Q، والأول لـ P يصبح الثاني لـ Q. أي Q=JP. تفسير هذه العلاقة يغنينا عن النظر إلى الرسم بوصفه قياسًا للزاوية.

لماذا يظهر دوران بزاوية قائمة؟

نستعمل أسماء الرؤوس أيضًا لمتجهات مواضعها من أصل الإحداثيات. عرف U=C+D−A−B و V=C+B−D−A. في المثال U=(3,8) و V=(13,2)، لكن الخطوات الآتية لا تعتمد على هاتين القيمتين.

من صيغة المركز نحصل على 2S₁=A+B−J(B−A)، وعلى 2S₃=C+D−J(D−C). بطرح الأولى من الثانية وتجميع الحدود الخطية ينتج 2P=U+JV. وبالمثل، طرح صيغة S₂ من صيغة S₄ يعطي 2Q=−V+JU.

ندور المعادلة الأولى باستعمال J. بما أن الدوران خطي و J²=−I، يكون 2JP=JU−V. هذا هو الطرف الأيمن للمعادلة الثانية، لذلك Q=JP. والرمز I يمثل العملية التي تبقي المتجه كما هو؛ دورانان متتاليان بزاويتين قائمتين يعكسان إشارته.

إذا كتبنا P=(p,q)، صار JP=(−q,p). مربع طوله q²+p² يساوي مربع طول P، وضربه الداخلي مع P هو −pq+qp=0. متى كان P غير صفر تفسر العلاقة تساوي الطولين والتعامد معًا.

هذا برهان جبري لقاعدة المراكز ذات الدوران الموحد. وصف المربعات بأنها خارجية استعملناه لرباعي محدب مرتب بعكس عقارب الساعة. صياغة مبرهنة فان أوبل للمربعات الخارجية مستندة إلى المصدر [1]؛ أما الحسابات والصيغ والمثال المعدل هنا فمن البناء الإحداثي المبين.

ما أثر عكس مربع واحد فقط؟

نبقي مربعات AB و BC و DA كما هي، ونعكس جهة مربع CD. هذه المرة ندور المتجه C إلى D باتجاه اليسار، فيكون المتجه المضاف (2,−7). الرأسـان الجديدان هما (10,−2) و (3,−4)، ويتغير المركز إلى S₃′=(11/2,1/2).

المربع الجديد له طول الضلع نفسه؛ مربع هذا الطول 53 في الجهتين. المشكلة ليست في صحة المربع، بل في استعمال دوران مختلف على ضلع واحد. مراكز S₁ و S₂ و S₄ تبقى ثابتة.

الوصلة المعدلة P′=S₃′−S₁=(5/2,7/2)، بينما Q=(−21/2,1/2) كما كانت. مربع طول P′ هو 37/2، مقابل 221/2 للوصلة الأخرى، فالأطوال مختلفة. والضرب الداخلي P′·Q=−49/2، فلا يكون الاتجاهان متعامدين.

الصورة الثانية تقارن الحالتين بمقياس واحد. تغير موقع مربع CD ومركزه والوصلة البنفسجية، بينما بقيت الوصلة الوردية ثابتة. لا نستنتج أن كل اختيار مختلط يفشل دائمًا؛ المثال يبين أن مجرد وجود أربعة مربعات لا يكفي لضمان النتيجة.

العكس الموحد والحالة الصفرية وتغير المقياس

إذا عكسنا الجهات الأربع معًا، تصبح قاعدة المركز S_ab=(a+b+J(b−a))/2. الاشتقاق نفسه يعطي Q=−JP. في مثالنا تكون P=(5/2,−5/2) و Q=(−5/2,−5/2)، ومربعا طولهما 25/2 والضرب الداخلي 0. يميز الجدول هذا العكس الموحد من عكس مربع واحد.

لا تعني عبارة «الجهة الأخرى» أن المربعات الأربعة كلها محتواة داخل الرباعي؛ قد تمتد خارج حدوده أو تتداخل. النتيجة الأخيرة مشتقة من توحيد اتجاه الدوران، وهي منفصلة عن وصف المبرهنة المرجعي للمربعات الخارجية.

تحتاج زاوية الوصلتين إلى متجهين غير صفريين. خذ مربعًا أصليًا رؤوسه (0,0)، (2,0)، (2,2)، (0,2)، وابن المربعات الأربعة إلى الجهة اليسرى من الأضلاع الموجهة. تتطابق المراكز الأربعة عند (1,1)، فيصبح P=Q=(0,0). تساوي الطولين الصفريين صحيح، لكن زاوية بين وصلتين صفريتين غير معرفة.

إذا كبرنا مثالنا الخارجي بعامل 2، يصبح P=(1,21) و Q=(−21,1)، ومربعا الطولين 442. الطولان يتضاعفان ومربع كل طول يتضاعف أربع مرات؛ تبقى زاوية قائمة. وإذا أزحنا جميع الرؤوس بمقدار (2,−1)، تتحرك المراكز بالمقدار نفسه وتبقى P و Q الأصليتان دون تغيير.

عند المراجعة العملية، تأكد من ترتيب الرؤوس وجهة الدوران، ثم احسب المركز من قطر كل مربع. صل المراكز المتقابلة، واختبر تساوي مربعي الطولين والضرب الداخلي، مع التحقق من عدم انعدام الوصلتين. هكذا تفصل صحة البناء عن شكل الصورة وعن شروط استعمال كلمة «متعامدتين».