مبرهنة فويرباخ: تحقق من تماس أربع دوائر مع دائرة النقاط التسع

الخلاصة السريعة

تنص مبرهنة فويرباخ على تماس دائرة النقاط التسع داخليًا مع الدائرة الداخلية، وخارجيًا مع الدوائر الخارجية الثلاث للمثلث غير متساوي الأضلاع. [1][2] في الحالة المتساوية الأضلاع تتطابق الدائرتان الأولى والداخلية، فلا توجد نقطة تماس داخلية وحيدة.

• في مثالنا A=(0,0)، B=(28,0)، C=(8,15)، المركز N=(11,77/12) ونصف القطر q=85/12. مركز الداخلية I=(10,6) ونصف قطرها r=6.
• المسافة NI=13/12 تساوي q−r. عند التماس الداخلي تكون الدائرة الأصغر داخل الكبرى، ويلزم فرق نصفي القطر؛ أما التماس الخارجي فيلزم مجموعهما.
• نقطة التماس الداخلي T=(58/13,48/13) تقع على خط المركزين بعد I في الاتجاه من N إلى I. تحقق NT=q و IT=r؛ قرب المركزين لا يجعل موضع التماس بينهما.
• المراكز الخارجية Ja=(35,21)، Jb=(−7,35/3)، Jc=(18,−30)، وأنصاف أقطارها 21 و 35/3 و 30. مسافاتها إلى N هي 337/12 و 75/4 و 445/12، وتساوي q مضافًا إليه نصف القطر الخارجي المناسب.
• إذا استبدلنا r=6 بالعدد 7 مع إبقاء المركزين، أصبح فرق نصفي القطر 1/12، مختلفًا عن NI. لذلك لا يكفي اختيار نصف قطر قريب أو تصديق رسم تقريبي.
• في متساوي الأضلاع N=I و q=r؛ تتطابق الدائرتان بدل التماس في نقطة واحدة. التكبير بعامل 2 يضاعف الأطوال والإحداثيات، لكنه يحفظ نوع التماس. المثال والفحوص العددية ليست برهانًا عامًا للمبرهنة.

احسب الدائرتين من المثلث نفسه

في المثلث المحدد نجد AC²=8²+15²=289، أي AC=17. ونجد BC²=20²+15²=625، أي BC=25. أما AB=28. المساحة 210، ونصف المحيط 35؛ كل الأرقام بوحدة طول مشتركة، والمساحة بوحدتها المربعة.

دائرة النقاط التسع تمر بمنتصفات الأضلاع، وأقدام الارتفاعات، ومنتصفات القطع الواصلة بين الرؤوس وملتقى الارتفاعات. [1] نستخدم المنتصفات الثلاثة لحساب دائرتها في هذا المثال، دون رسم النقاط التسع كلها.

المنتصفات هي (14,0)، (18,15/2)، (4,15/2). تساوي بعد المركز عن المنتصفين الأخيرين يفرض x=11. وتساوي بعده عن (14,0) و (4,15/2) يعطي 9+y²=49+(y−15/2)²، ومنه y=77/12.

إذن N=(11,77/12). مربع نصف القطر 9+(77/12)²=7225/144، وجذره الموجب q=85/12. تعويض المنتصف الثالث يعطي القيمة نفسها. هذه دائرة محددة بثلاث نقاط غير مستقيمة.

للداخلية نختبر I=(10,6). خطوط الأضلاع هي AB: y=0، CA: 15x−8y=0، BC: 3x+4y=84. المسافات العمودية من I إليها 6، و 102/17=6، و 30/5=6. تقع I داخل المثلث، فتكون r=6.

أقدام الأعمدة هي (10,0)، (80/17,150/17)، (68/5,54/5). على CA معامل القدم 10/17 من A إلى C، وعلى BC معاملها 18/25 من B إلى C؛ كلاهما بين 0 و 1. بذلك يمس المحيط الدائري قطع الأضلاع نفسها.

فرق نصفي القطر يكشف التماس الداخلي

فرق الإحداثيين بين N و I هو (1,5/12). مربع المسافة NI²=1+(5/12)²=169/144، فالمسافة NI=13/12. ومن نصفي القطر q−r=85/12−6=13/12. اتفق الحسابان بدقة.

لماذا نستخدم الفرق؟ إذا كانت دائرة نصف قطرها r داخل دائرة نصف قطرها q الأكبر، وكان البعد بين المركزين d=q−r، فإن أي نقطة X على الصغيرة تحقق NX≤NI+IX=d+r=q. فهي داخل القرص الأكبر أو على حدّه.

حتى تتحقق المساواة NX=q، يلزم أن تتجه الإزاحتان من N إلى I ومن I إلى X في الاتجاه نفسه. توجد نقطة واحدة على هذا الشعاع تبعد r عن I، ما دام N و I مختلفين. هكذا يكون التماس الداخلي نقطة واحدة، لا مجرد احتواء الدائرة الأصغر.

لو كان d أصغر من q−r، لبقيت الصغيرة داخل الكبرى دون تماس. أما مساواة d للفرق مع q=r فتجعل d=0، وتطابق المركزين؛ هذه حالة أخرى، وسنحسبها في القسم الأخير. لذلك نتحقق من اختلاف المركزين قبل استخراج اتجاه التماس.

نقطة التماس تقع بعد المركز الأصغر

ننتقل من N في اتجاه I بالمتجه I−N=(−1,−5/12). للوصول إلى الدائرة الكبرى نضربه في q/NI=85/13. لذلك T=N+(85/13)(I−N)، ومنه T=(58/13,48/13). العامل 85/13 أكبر من 1؛ النقطة بعد I، وليست بين المركزين.

المتجه T−N=(−85/13,−425/156) يساوي (85/13)(I−N). أما T−I=(−72/13,−30/13) فيساوي (72/13)(I−N). طولا المتجهين 85/12 و 6؛ لهما الاتجاه نفسه، وتحقق النقطة معادلتي الدائرتين.

معادلة الدائرة الكبرى هي (x−11)²+(y−77/12)²=7225/144، والصغرى (x−10)²+(y−6)²=36. تعويض T يعطي الطرف الأيمن المناسب في كل منهما. وقوع النقطة على دائرة واحدة لا يكفي لإثبات أنها مشتركة بينهما.

اتجاه خط المركزين هو (12,5)، ولذلك خط عمودي عليه عند T له المعادلة 12x+5y=72. التعويض يعطي 12×58/13+5×48/13=72. وحاصل ضرب الاتجاه (5,−12) في (12,5) صفر، فيكون هذا المماس المشترك عموديًا على نصفي القطر عند T.

الرسم الرئيسي يعرض الدائرتين مع المثلث بمقياس موحد، مع خط المركزين الممتد إلى T. لا تخلط التماس بين الدائرتين بنقاط تماس الداخلية مع الأضلاع؛ نقطة T ليست إحدى أقدام الأعمدة المحسوبة في القسم الأول.

اختبر الدوائر الخارجية بالمجموع

نأخذ المراكز Ja=(35,21)، Jb=(−7,35/3)، Jc=(18,−30). أنصاف أقطارها ra=21، rb=35/3، rc=30. نراجع كل دائرة بمسافاتها إلى خطوط الأضلاع الثلاثة، لا بمجرد كون مركزها خارج المثلث.

عند Ja، البعد عن AB هو 21؛ وقيمة 15x−8y تساوي 357، فقسمتها على 17 تعطي 21. قيمة 3x+4y−84 تساوي 105، وقسمتها على 5 تعطي 21. الدائرة تمس BC وامتدادي الضلعين الآخرين.

عند Jb، القيم المطلقة لخطوط AB و CA و BC هي 35/3 و 595/3 و 175/3؛ تقسيم الأخيرتين على 17 و 5 يعطي 35/3. وعند Jc، القيم المطلقة 30 و 510 و 150، فتكون المسافات الثلاث 30. تنتمي المراكز إلى الجهات الخارجية المختلفة.

من N إلى Ja المتجه (24,175/12)، ومربع طوله 113569/144؛ جذره 337/12=q+ra. ومن N إلى Jb المتجه (−18,21/4)، وطوله 75/4=q+rb. ومن N إلى Jc المتجه (7,−437/12)، وطوله 445/12=q+rc.

في التماس الخارجي تفصل نقطة التماس بين المركزين. لأي نقطة مشتركة X، تقتضي متباينة المثلث NJ≤NX+XJ=q+re. عندما NJ=q+re، لا تتحقق المساواة إلا مع استقامة المركزين والنقطة بينهما. نأخذ X=N+[q/(q+re)](J−N).

بهذا نحصل على Ta=(5747/337,3402/337)، Tb=(21/5,42/5)، Tc=(1098/89,−48/89). لكل نقطة NX=q و JX نصف قطر الدائرة الخارجية المناسبة. الجدول يجمع المسافات بدل خلط r الداخلي بأنصاف الأقطار الخارجية.

الصورة الثانية تعرض الدوائر الخارجية الثلاث كاملة ودائرة النقاط التسع في مقياس أصغر يتسع لها. نقاط التماس الثلاث منفصلة ومحددة بالإحداثيات؛ لا نقارن أحجامها على الشاشة بالرسم الرئيسي، لأن لكل صورة مقياسها المعلن.

اختبر نصف القطر ولا تقرّبه قبل المراجعة

أبق N و I كما هما، لكن اختر خطأً نصف قطر 7 للدائرة ذات المركز I. تصبح q−7=1/12، بينما NI=13/12. اختلف الفرق عن المسافة، فلا يتحقق التماس الداخلي. رسم دائرتين تبدوان متقاربتين لا يصلح هذا التعارض.

حتى نقطة T الأصلية ترفض الدائرة البديلة: مربع بعدها عن I يساوي 36، لا 49. لذلك لا تمر الدائرة ذات نصف القطر 7 بنقطة التماس المحسوبة. تكفي هذه المراجعة المحددة لرفض استعمال T معها.

في الحساب الصحيح نحتفظ بالكسور حتى النهاية؛ مربع المسافة 169/144 ليس طولًا يساوي 13/12. وللمراجعة الخارجية نستعمل المجموع q+ra أو q+rb أو q+rc، ولا نضع الفرق الداخلي في الصفوف الثلاثة.

قارن أيضًا نوع الخط الذي تمسه الدائرة: الداخلية تمس قطع الأضلاع من داخل المثلث، والخارجية تمس ضلعًا وامتدادي ضلعين. أما المبرهنة التي ندرسها فتعطي تماس هذه الدوائر مع دائرة أخرى، وليست مجرد تماسها مع خطوط المثلث.

التطابق في متساوي الأضلاع والتكبير

نختار متساوي الأضلاع A=(0,0)، B=(12,0)، C=(6,6√3). مركز الداخلية I=(6,2√3) ونصف قطرها 2√3. منتصفات الأضلاع (6,0)، (9,3√3)، (3,3√3) تبعد 2√3 عن المركز نفسه؛ لذلك N=I و q=r.

الدائرتان متطابقتان، ولهما جميع نقاط المحيط مشتركة. ليست هذه حالة تماس في نقطة واحدة، رغم أن NI=q−r=0. لا نستعمل صيغة اتجاه T التي تقسم على NI هنا، لأن المقام صفر. الشرط N≠I أساسي لاستخراج نقطة وحيدة.

إذا كبرنا مثال 17–25–28 بعامل 2، يصبح N=(22,77/6)، I=(20,12)، q=85/6، r=12، NI=13/6، T=(116/13,96/13). كل طول تضاعف، وظلت المسافة مساوية للفرق. أنصاف الأقطار الخارجية والمسافات إليها تتضاعف بالطريقة نفسها.

تتضاعف الإحداثيات بعامل 2 ومربعات المسافات بعامل 4. لذلك تقارن أطوالًا بأطوال ومربعات بأمثالها، وتستعمل المقياس نفسه للمحورين في كل رسم. لا تطبق المثال على ثلاثة رؤوس مستقيمة؛ عندها لا توجد دائرة داخلية موجبة للمثلث.

المبرهنة العامة مستندة إلى المرجعين، أما الحسابات هنا فتتحقق من مثالنا و 46 حالة إضافية ذات أطوال صحيحة. لا تحول هذه الفحوص المحدودة إلى برهان لكل مثلث؛ فائدتها مراجعة المراكز وأنصاف الأقطار وحساب نقاط التماس.