مبرهنة فينسلر وهادفيغر: مركزا مربعين ومنتصفان يصنعون مربعًا

الخلاصة السريعة

لمربعين يشتركان في رأس، يشكل مركزاهما ومنتصفا قطعتين بينهما مربعًا. [1] نحدد اتجاهًا موحدًا.

• نضع A=(0,0)، B=(6,0)، D=(0,6)، ثم B′=(−3,4)، D′=(−4,−3). في المربعين، الانتقال من الضلع الخارج من A إلى الضلع الآخر دوران يساري بزاوية قائمة؛ طولاهما 6 و 5.
• المركزان R=(3,3) و T=(−7/2,1/2). نأخذ Q=(−3/2,5) منتصف B′D، و S=(1,−3/2) منتصف BD′. هذان منتصفا قطعتين تصلان بين المربعين؛ ليسا منتصفي ضلعين منهما.
• نصل Q ثم R ثم S ثم T. المتجهان QR=(9/2,−2) و RS=(−2,−9/2) متعامدان، ومربع طول كل منهما 97/4. المتجهان الآخران عكسهما، لذلك الشكل مربع ومساحته 97/4.
• مع J(x,y)=(−y,x) و d=(u−v)/2، متجهات الأضلاع d و −Jd و −d و Jd. تحفظ J الطول، ويكون d·Jd=0.
• عكس المربع الثاني وحده يعطي S′=(5,3/2) و T′=(1/2,7/2). يصبح مربع طول RS′ مساويًا 25/4، مقابل 97/4 للضلع QR، والضرب الداخلي 12؛ الناتج في هذا المثال ليس مربعًا.
• إذا تطابقت المربعات بالترتيب نفسه، اتحدت النقاط الأربع في المركز. هنا d=(0,0)، فلا يوجد مربع ذو مساحة موجبة. تكبير مثالنا بعامل 2 يجعل المساحة 97، بينما تحفظ الإزاحة الأطوال والضرب الداخلي.

حدد الرأس المشترك واتجاه المربعين

نثبت الرأس المشترك A=(0,0). المربع الأول رؤوسه A ثم B=(6,0) ثم C=(6,6) ثم D=(0,6)، بهذا الترتيب. عند A، المتجه AB=(6,0)، والمتجه AD=(0,6)؛ الثاني دوران الأول إلى اليسار بزاوية قائمة.

المربع الثاني رؤوسه A ثم B′=(−3,4) ثم C′=(−7,1) ثم D′=(−4,−3). المتجه AB′=(−3,4) يدور إلى AD′=(−4,−3) بالطريقة نفسها. لا نعتمد على عبارة «خارج الشكل» هنا؛ ليس لدينا رباعي أصلي نحيط أضلاعه بمربعات.

مربع طول AB يساوي 36، ومربع طول AB′ يساوي 9+16=25. إذن طول الأول 6 والثاني 5؛ التساوي بين حجمي المربعين غير مفترض. في الثاني، حاصل الضرب (−3)×(−4)+4×(−3)=0 يثبت الزاوية القائمة عند A.

الرأس المقابل لـ A يساوي مجموع متجهي ضلعيه: في الأول C=(6,0)+(0,6)، وفي الثاني C′=(−3,4)+(−4,−3). بهذه الطريقة لا نخلط بين D′، المجاور للرأس المشترك، و C′، المقابل له.

في الرسم، الأزرق للمربع الأول والوردي للثاني. قد تتقاطع أجزاء البناء؛ اللون والتداخل لا يغيران ترتيب الرؤوس أو اتجاه الدوران. نحتفظ بالأسماء حتى عندما يتجه ضلع إلى أسفل أو إلى اليسار.

احسب المركزين والمنتصفين المختلفين عنهما

مركز المربع الأول هو منتصف قطره AC، ولذلك R=(3,3). مركز الثاني منتصف AC′، فيكون T=(−7/2,1/2). يمكن فحصهما باستعمال القطرين BD و B′D′؛ يعطي متوسط الطرفين المركز نفسه في كل مربع.

أما Q فنأخذه منتصف القطعة التي تصل B′ من المربع الثاني بـ D من الأول. جمع الإحداثيين يعطي (−3,10)، وبعد القسمة على 2 نحصل على Q=(−3/2,5). القطعة B′D مرسومة بالرمادي لتمييزها من حدود المربعين.

ونأخذ S منتصف BD′. نجمع B=(6,0) و D′=(−4,−3)، ثم نقسم الناتج (2,−3) على 2؛ إذن S=(1,−3/2). اختيار منتصف BB′ بدلًا منه يغير المسألة، حتى لو ظل لدينا أربعة مواضع محسوبة بدقة.

الجدول يميز دور كل نقطة: مركزان لقطري المربعين، ومنتصفان لقطعتين تصلان بينهما. ترتيب الحد المطلوب هو Q ثم R ثم S ثم T ثم العودة إلى Q. لا نصل المركزين أولًا على أنهما ضلع؛ RT قطر في الشكل الجديد.

في هذه الإحداثيات، يقع بعض المواضع خارج أحد المربعين. لا نشترط احتواء الشكل الناتج داخل الاثنين. نتحقق من المتوسطات ومن المتجهات، ولا نبدل نقطة بموقع أقرب إلى وسط الصورة.

افحص الأضلاع والقطرين والمساحة

نحسب كل متجه بطرح نقطة بدايته من نهايته: QR=(9/2,−2)، و RS=(−2,−9/2)، و ST=(−9/2,2)، و TQ=(2,9/2). آخر متجهين عكس الأولين، فيغلق المسار ويعطي زوجين متوازيين من الأضلاع المتقابلة.

مربع طول QR هو 81/4+4=97/4. ومربع طول RS هو 4+81/4=97/4. أما حاصل الضرب الداخلي فهو (9/2)×(−2)+(−2)×(−9/2)=0. المتجهان غير صفريين، لذلك يتساوى الطول وتكون الزاوية قائمة.

من التوازي وتساوي الأضلاع والزاوية القائمة، يكون QRST مربعًا. طول الضلع√97/2، وليس 97/4؛ الأخير مربع الطول. مساحة المربع 97/4 وحدة مربعة. نحصل أيضًا على القيمة المطلقة لمحدد الضلعين:|−81/4−4|=97/4.

لنفحص القطرين: QS=(5/2,−13/2)، و RT=(−13/2,−5/2). مربع طول كل منهما (25+169)/4=97/2؛ أي ضعف مربع الضلع. ضربهما الداخلي 0، ومنتصفاهما O=(−1/4,7/4).

النقطة O مركز المربع الجديد، وتختلف عن R و T، مركزَي المربعين الأصليين. وجود كلمة «مركز» في الأدوار الثلاثة لا يجعلها نقطة واحدة. حساب منتصف QS ومنتصف RT يحدد O دون تخمين من التداخل في الرسم.

فسر النتيجة بدوران متجه واحد

ضع A=0، و B=u، و D=Ju، و B′=v، و D′=Jv، حيث J(x,y)=(−y,x). عندئذ R=(u+Ju)/2 و T=(v+Jv)/2، و Q=(v+Ju)/2 و S=(u+Jv)/2.

بوضع d=(u−v)/2، يعطي الطرح QR=d و RS=−Jd و ST=−d و TQ=Jd. وبما أن J تحفظ الطول و d·Jd=0، يثبت المربع عندما d≠0. هذه هويات جبرية لاتجاه البناء المحدد.

في مثالنا u=(6,0)، و v=(−3,4)، لذلك d=(9/2,−2). دوران d إلى اليسار يعطي Jd=(2,9/2)، وسالبه هو RS الذي حسبناه. ظهور السالب يخص اتجاه السير حول Q ثم R ثم S؛ لا يغير مقدار زاوية الدوران القائمة.

يمكن إكمال فحص الإغلاق مباشرة: نجمع متجهات الأضلاع الأربعة فنجد (0,0). كذلك QR+RS=QS، ومجموع إحداثيات Q و S يساوي مجموع R و T. هذه مراجعات مختلفة للحساب نفسه: حد مغلق، وموقع قطر، وتنصيف متبادل.

اعكس المربع الثاني وحده واحسب ما يفشل

نبقي A و B′ ثابتين، لكن ندور AB′ إلى اليمين. يصبح D′=(4,3) و C′=(1,7). هذه أيضًا رؤوس مربع صحيح طول ضلعه 5، لأن (−3,4) و (4,3) متعامدان ولهما مربع طول 25.

المربع الأول لم يتغير، لذلك R=(3,3). وتبقى Q=(−3/2,5) لأنها تعتمد على B′ و D الثابتين. أما منتصف BD′ الجديد فهو S′=(5,3/2)، والمركز الجديد T′=(1/2,7/2). العلامتان S′ و T′ تميزان النقطتين المعدلتين.

المتجه QR بقي (9/2,−2)، لكن RS′=(2,−3/2). مربع طول الأخير 4+9/4=25/4، وضربه الداخلي مع QR يساوي 9+3=12. فالتساوي والتعامد كلاهما يفشل في هذا المثال؛ لا تكفي صحة المربعين منفردين لضمان النتيجة.

يظل QS′ و RT′ متنصفين: منتصفاهما (7/4,13/4). ويتحقق S′T′=−QR و T′Q=−RS′، فيكون الناتج متوازي أضلاع. مساحته|−27/4+4|=11/4. الفرق عن 97/4 ناتج عن الاتجاه الجديد، وليس عن تغيير وحدة القياس.

تعرض الصورة الثانية البناء المعدل بالمقياس نفسه. لا نستنتج أن كل ترتيب مختلط يفشل دائمًا؛ يكفينا أن هذا المثال يمنع حذف شرط الاتجاه من القاعدة التي أثبتناها. كما لا نخلط بين قطر المربع الأصلي وقطر الشكل الناتج.

راجع التطابق والتكبير والإزاحة

إذا جعلنا B′=B و D′=D، صار المربعان متطابقين بالترتيب نفسه. في مثال المربع الأول، تتحد Q و R و S و T عند (3,3). طول كل وصلة 0؛ ليست لدينا زوايا قائمة بين متجهات صفرية ولا مربع معتاد ذو مساحة موجبة.

لا يحدث هذا الانهيار لمجرد تساوي طولي المربعين؛ المهم تطابق متجهي البداية u و v في البناء الموحد. في المثال الرئيسي، هما مختلفان وتختلف أطوالهما أيضًا، فلا تختفي الوصلة QR. نراجع الدوران قبل الحكم من التشابه الظاهري.

عند تكبير جميع إحداثيات المثال الرئيسي بعامل 2، يتضاعف كل متجه، فيصبح QR=(9,−4) و RS=(−4,−9). مربع طول كل منهما 97، والضرب الداخلي 0، والمساحة 97؛ تكبر المساحة أربع مرات بينما يتضاعف طول الضلع.

وإذا أزحنا المثال الأصلي بمقدار (2,−1)، تتحرك كل نقطة بالمقدار نفسه. يصبح مركز الناتج O=(7/4,3/4)، لكن QR و RS لا يتغيران؛ فالطرح يلغي الإزاحة المشتركة. تبقى المساحة 97/4 والتعامد قائمًا.

ابدأ بالمربعين الموجهين، ثم احسب مركزيهما من القطرين. عين منتصف B′D ومنتصف BD′، وصل المواضع بالترتيب المبين. عند المراجعة افصل المركز الأصلي من مركز الناتج، ومربع الطول من الطول، والحالة المنعدمة من مربع ذي مساحة موجبة.