متباينة إردوش–موردل: المسافات إلى الرؤوس والأضلاع

الخلاصة السريعة

تنص متباينة إردوش–موردل على أن مجموع مسافات نقطة داخلية إلى رؤوس مثلث لا يقل عن ضعف مجموع مسافاتها العمودية إلى أضلاعه. تتحقق المساواة فقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع والنقطة مركزه. [1]

• لنرمز لمسافات النقطة إلى الرؤوس بالرموز R1 و R2 و R3، وللمسافات العمودية إلى خطوط الأضلاع بالرموز r1 و r2 و r3. الصيغة R1+R2+R3≥2(r1+r2+r3)، مع اشتراط وقوع النقطة داخل المثلث. [1]
• في المثال A=(0,0)، B=(8,0)، C=(0,6)، P=(2,2)، نجد PA=2√2 و PB=2√10 و PC=2√5. هذه أطوال قطع تصل P بالرؤوس، وليست ارتفاعات المثلث الأصلي.
• خطا AB و CA هما y=0 و x=0، وخط BC هو 3x+4y=24. المسافة العمودية من P إلى كل منها 2؛ مجموعها 6 وضعفه 12، بينما PA+PB+PC=2(√2+√10+√5) أكبر من 12.
• في مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 6، مركزه P=(3,√3) يبعد 2√3 عن كل رأس و√3 عن كل ضلع. كلا طرفي المقارنة يساوي 6√3؛ هذه حالة المساواة.
• النقطة Q=(8,6) خارج المثلث القائم نفسه. مجموع مسافاتها إلى الرؤوس 24، وضعف مجموع مسافاتها إلى خطوط الأضلاع 188/5، وهو أكبر من 24. لذلك لا نعمم الصيغة على نقاط خارجية.
• التكبير بعامل 2 يضاعف جميع المسافات وطرفي المقارنة. الوحدات خطية، والأمثلة الحسابية تحقق حالات محددة ولا تثبت المبرهنة لجميع المثلثات. المرجع يقدم البرهان العام.

حدد المسافات التي تقارن بينها

ابدأ برسم المثلث والنقطة داخله. ثم صِل النقطة بكل رأس لتحصل على ثلاثة أطوال من النوع الأول. بعد ذلك أسقط عمودًا من النقطة على خط كل ضلع لتحصل على ثلاثة أطوال من النوع الثاني. لا تقارن طول ضلع المثلث بالارتفاع المقابل له؛ طرفا هذه المتباينة يتبعان نقطة واحدة مختارة.

الرمز R1 ليس مربع مسافة، والرمز r1 ليس نصف قطر مفروضًا من البداية؛ الحروف مجرد أسماء للأطوال. إذا كانت الإحداثيات بالسنتيمتر، فالمسافات الست بالسنتيمتر أيضًا. اجمع الأطوال مباشرة، ثم اضرب مجموع المسافات العمودية في 2. جمع المربعات عملية مختلفة لا تمثل الصيغة المطلوبة.

المسافة إلى خط ضلع تعني أقصر مسافة عمودية إليه، وليست طول قطعة مائلة تختارها في الرسم. وسنحدد أقدام الأعمدة بالإحداثيات كي يمكن فحص التعامد، بدل الاعتماد على شكل الزاوية في صورة صغيرة. في النماذج الداخلية الآتية تقع الأقدام على الأضلاع نفسها.

الشرط هو نقطة داخل مثلث مستوٍ غير منعدم. وصيغة المقارنة هي R1+R2+R3≥2(r1+r2+r3). المرجع يحدد المساواة بمثلث متساوي الأضلاع ومركزه معًا؛ تساوي بعض المسافات وحده لا يكفي. [1]

احسب المسافات إلى الرؤوس في المثال القائم

خذ A=(0,0)، B=(8,0)، C=(0,6)، P=(2,2). الضلعان AB و CA يقعان على المحورين، وطول BC هو 10 لأن مربعه 8²+6²=100. معادلة خط BC هي 3x+4y=24؛ فهي تتحقق عند B وعند C.

للتحقق من أن P داخل المثلث، نجد أن إحداثييها موجبان، وأن 3×2+4×2=14، وهي قيمة أصغر من 24. لذلك تقع بين المحورين والخط المائل، وليست على حد من حدود المثلث. هذه الخطوة تأتي قبل تطبيق المتباينة، حتى لا نستخدمها في موضع غير مشمول.

الفرق من A إلى P هو (2,2)، فيكون PA²=2²+2²=8، ومنه PA=2√2. ومن B إلى P الفرق (−6,2)، فنجد PB²=36+4=40، ومنه PB=2√10. ومن C إلى P الفرق (2,−4)، فيكون PC²=4+16=20، ومنه PC=2√5.

الجدول يجمع هذه النتائج ويُبقي مربع المسافة منفصلًا عن المسافة. العدد 40 مثلًا ليس طول PB؛ هو مربع طوله. أخذ الجذر الموجب مناسب لأننا نحسب طول قطعة، ثم يمكن إخراج العامل 4 من تحت الجذر للحصول على 2√10.

المجموع الدقيق هو PA+PB+PC=2(√2+√10+√5). لا نحتاج إلى تقريب الجذور إلى كسور عشرية للحكم على المقارنة. الاحتفاظ بهذه الصورة يسمح بحد بسيط ودقيق بعد حساب الطرف الآخر.

أسقط ثلاثة أعمدة وافحص مجموعها

قدم العمود من P إلى AB هو E=(2,0)، ولذلك PE=2. وقدم العمود إلى CA هو F=(0,2)، ولذلك PF=2. القطعتان رأسية وأفقية على الترتيب، وكل منهما عمودية على الخط الذي تنتهي عنده.

بالنسبة إلى BC، خذ D=(16/5,18/5). تقع D على الخط لأن 3×16/5+4×18/5=24. والفرق من P إلى D هو (6/5,8/5)، بينما اتجاه BC هو (−8,6). حاصل ضرب المتجهين القياسي يساوي −48/5+48/5=0؛ إذن PD عمودي على BC.

مربع PD يساوي 36/25+64/25=4، ومنه PD=2. بهذه الطريقة تحققنا من موقع القدم والتعامد والطول، لا من الطول وحده. ويمكن مراجعة المسافة إلى الخط مباشرة من|3×2+4×2−24|/5=2، لأن جذر 3²+4² هو 5.

إذن PE+PF+PD=6، وضعف المجموع 12. وللمقارنة الدقيقة، لدينا√2>1 و√10>3 و√5>2؛ لأن مربعات الأعداد الموجبة على اليمين أصغر من الأعداد داخل الجذور. وعليه√2+√10+√5>6، ثم 2(√2+√10+√5)>12.

تساوي المسافات العمودية الثلاث هنا لا يجعل الطرفين متساويين. المثلث القائم أضلاعه 6 و 8 و 10، وليس متساوي الأضلاع. هذه ملاحظة عملية تمنع تحويل شرط «المثلث متساوي الأضلاع والنقطة مركزه» إلى شرط ناقص يقول إن تساوي الأعمدة وحده يكفي.

اختبر المساواة في مركز مثلث متساوي الأضلاع

ابنِ مثلثًا آخر إحداثيات رؤوسه A=(0,0)، B=(6,0)، C=(3,3√3). طول AB هو 6، ومربع AC يساوي 9+27=36، وكذلك مربع BC؛ لذا أضلاعه الثلاثة 6. مركزه P=(3,√3) يقع على المحور الرأسي الذي يصل C بمنتصف AB.

نحسب PA²=9+3=12، و PB²=9+3=12، و PC²=(2√3)²=12. إذن المسافة إلى كل رأس 2√3، ومجموع المسافات 6√3. اختلاف شكل هذا المثلث عن المثال السابق أساسي؛ لا نستعمل أطوال المثلث القائم هنا.

قدم العمود على AB هو E=(3,0)، والمسافة PE=√3. وعلى BC نجد D=(9/2,3√3/2)، وعلى CA نجد F=(3/2,3√3/2). في كل حالة من الحالتين الأخيرتين، مربع المسافة من P هو 9/4+3/4=3، فيكون طول العمود√3.

مجموع الأعمدة 3√3، وضعفه 6√3. لذلك 6√3=2(3√3)، فتتحقق المساواة. الأعداد مكتوبة بوحدة طول واحدة؛ لا نضيف إلى المجموع مساحة المثلث ولا نربع الطرفين من غير حاجة.

المصدر يعطي شرط المساواة العام، أما الحساب هنا فيتحقق منه في نموذج محدد. لا يثبت هذا المثال وحده أن جميع الحالات الأخرى صارمة؛ هذا الاستنتاج جزء من المبرهنة المرجعية. جدول المقارنة يميز المثال الداخلي الصارم، وحالة المساواة، والحالة الخارجية المخالفة.

انقل النقطة إلى الخارج لتفحص شرط الداخل

ارجع إلى المثلث A=(0,0)، B=(8,0)، C=(0,6)، واختر Q=(8,6). إحداثياها موجبان، لكن 3×8+4×6=48 أكبر من 24، فهي خارج المثلث من جهة الخط BC. لا تتغير رؤوس المثلث في هذه التجربة؛ الذي تغير هو النقطة التي نقيس منها.

المسافات إلى الرؤوس سهلة: QA=10 من الجذر التربيعي لمجموع 64 و 36، و QB=6 لأن القطعة رأسية، و QC=8 لأنها أفقية. لذلك QA+QB+QC=24. نستخدم المسافات الموجبة العادية، لا مسافات موجهة ذات إشارات.

المسافة من Q إلى AB هي 6، وإلى CA هي 8، وإلى خط BC هي 24/5. قدم العمود الأخير D=(128/25,54/25) تحقق معادلة الخط، والفرق من Q إليها يوازي (3,4)، وهو اتجاه عمودي على BC.

مجموع المسافات العمودية هو 6+8+24/5=94/5، وضعفه 188/5. لكن 24=120/5 أصغر من 188/5. لذلك الصيغة العامة المطلوبة لا تصح لهذه النقطة الخارجية؛ الخطأ سيكون في تطبيق شرطها، وليس في حساب أحد الأطوال.

في الرسم، QB يؤدي دورين: يصل Q برأس B، وهو أيضًا عمودها إلى AB. وبالمثل QC يصلها بالرأس C ويمثل عمودها إلى CA. رسم القطعة مرتين لا يصنع طولين هندسيين مختلفين؛ تدخل مرة في كل مجموع بحسب وظيفتها في ذلك المجموع.

راجع الوحدات والحدود قبل تعميم النتيجة

إذا ضربنا جميع الإحداثيات في 2، تضاعفت جميع الأطوال. في المثال القائم يصبح مجموع الأعمدة 12، وضعفه 24، ويصبح مجموع المسافات إلى الرؤوس 4(√2+√10+√5). تبقى المقارنة صارمة لأن الطرفين تضاعفا بالعامل نفسه.

في نموذج المساواة، تصبح مسافة المركز إلى كل رأس 4√3 وإلى كل ضلع 2√3. مجموع مسافات الرؤوس 12√3، وضعف مجموع الأعمدة 12√3 أيضًا. تغير الحجم لا يغيّر تساوي الطرفين، ما دام جميع الرؤوس والنقطة قد كُبّرت معًا.

النقل بمقدار (1,−2) أو الدوران بزاوية قائمة يحفظ الأطوال والتعامد. لا يشترط أن يكون ضلع أفقيًا في الورقة؛ المحاور هنا اختيرت لتبسيط الحساب. إذا نقلت المثلث وحده وأبقيت النقطة مكانها، فقد غيرت المسألة، فلا تتوقع حفظ المسافات السابقة.

اجعل خطوات الحل واضحة: تحقق من وجود النقطة داخل المثلث، واحسب مسافات الرؤوس، ثم أقدام الأعمدة ومسافاتها، واجمع الطرفين بوحدة واحدة. إذا ظهرت المساواة، راجع شرطها الكامل؛ وإذا كانت النقطة خارجية، فلا تنسب نتيجة المقارنة إلى المبرهنة الداخلية.

هذه الحسابات والأشكال تتحقق من ثلاثة نماذج أصلية وتوضح معنى القيود. البرهان الذي يغطي جميع المثلثات والنقاط الداخلية موجود في المرجع الأول. لا نستنتج قانونًا عامًا من عدد الأمثلة، ولا ننقل شرط مساواة يخص خطوة أخرى في برهان إلى نص هذه المتباينة.