متباينة مسافتين موزونتين تحتاج تقسيمًا عند تغير الإشارتين. [1]
الخلاصة السريعة
قاطع كل حل بمجاله، ثم اجمع. [1]
- مثال مؤلف بلا وحدات: x حقيقي؛ F(x)=2|x+3|+|x−5|، ونحل F(x)≤10. الوزنان 2 و1 للمسافتين عن −3 و5. [1]
- لـ x<−3: F(x)=−3x−1؛ ينتج x≥−11/3. التقاطع مع مجال الفرع يعطي −11/3≤x<−3. [1]
- لـ −3≤x≤5: F(x)=x+11؛ ينتج x≤−1، وبالتقاطع −3≤x≤−1. الشرط الجبري لا يكفي. [1]
- لـ x>5: F(x)=3x+1؛ ينتج x≤3، مناقضًا لمجال الفرع؛ لا حل هنا. [1]
- اتحاد الحلول: [−11/3,−1]، بنهايتين مشمولتين؛ كلتاهما تعطي 10. للفحص، F(−2)=9 مقبول، و F(0)=11 مرفوض. البرهان بتقسيم الحالات، لا بتجربة نقطتين. [1]
- من متباينة المثلث |x+3|+|5−x|≥8؛ لذلك F(x)≥8+|x+3|≥8. تتحقق القيمة الدنيا 8 عند x=−3 وحده. لو صار الحد 8 فالحل {−3}؛ ولو صار 7 فلا حل. [2]
حدد الأوزان
مثال مؤلف بلا وحدات: x حقيقي؛ F(x)=2|x+3|+|x−5|، ونحل F(x)≤10. الوزنان 2 و1 للمسافتين عن −3 و5. [1]
حل الفرع الأيسر
لـ x<−3: F(x)=−3x−1؛ ينتج x≥−11/3. التقاطع مع مجال الفرع يعطي −11/3≤x<−3. [1]
حل الفرع الأوسط
لـ −3≤x≤5: F(x)=x+11؛ ينتج x≤−1، وبالتقاطع −3≤x≤−1. الشرط الجبري لا يكفي. [1]
استبعد الفرع الأيمن
لـ x>5: F(x)=3x+1؛ ينتج x≤3، مناقضًا لمجال الفرع؛ لا حل هنا. [1]
خذ اتحاد الفروع
اتحاد الحلول: [−11/3,−1]، بنهايتين مشمولتين؛ كلتاهما تعطي 10. للفحص، F(−2)=9 مقبول، و F(0)=11 مرفوض. البرهان بتقسيم الحالات، لا بتجربة نقطتين. [1]
اختبر الحد الأدنى
من متباينة المثلث |x+3|+|5−x|≥8؛ لذلك F(x)≥8+|x+3|≥8. تتحقق القيمة الدنيا 8 عند x=−3 وحده. لو صار الحد 8 فالحل {−3}؛ ولو صار 7 فلا حل. [2]
نجمع المقدارين x+3 و5−x فنحصل على 8، ثم نطبق متباينة المثلث. إذا x≠−3، فالمسافة الإضافية |x+3| موجبة؛ لذلك F(x)>8. أما عند −3 فنحسب 2×0+8=8. [2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.