متباينة هولدر: حد مجموع حاصلَي ضرب

الخلاصة السريعة

للزوجين (1,2) و (4,1)، مجموع القيم المطلقة لحاصلَي الضرب 6، وحد هولدر للأسين 3 و 3/2 يساوي 9، والفجوة 3. ترتيب الثانية إلى (1,4) يحفظ حد القوى 9 لكنه يرفع المجموع إلى 9. المساواة ترتبط بالعناصر المناظرة بعد الرفع، لا بتساوي القائمتين.

• تقارن متباينة هولدر مجموع القيم المطلقة للضرب بحاصل ضرب كميتي القوى، مع p,q > 1 و 1/p+1/q=1. [1] نختار قائمتين حقيقيتين من عنصرين، والأسين p=3 و q=3/2.
• عرف A=|a₁|³+|a₂|³ و B=|b₁|^(3/2)+|b₂|^(3/2). الحد U=∛(AB²)، والمجموع T=|a₁b₁|+|a₂b₂| يحقق T ≤ U. [1] في المثال A=B=9، و U=9 مقابل T=6.
• بكتابة x=|a₁| و y=|a₂| و s=√|b₁| و t=√|b₂|، فرق المكعبين U³−T³=(xt−ys)²G، حيث G=xt(t³+2s³)+ys(s³+2t³) غير سالب. هذه هوية نثبتها بالتوزيع.
• في المثال، مربع العامل 9 و G=57، لذلك فرق المكعبين 513. أما فرق الحد والمجموع 3. عند b=(1,4) يصير xt=ys=2، فينعدم الفرق وتتحقق المساواة.
• القائمة الصفرية تعطي مساواة دون قسمة على مقدار صفري. أما (1,0) مع (0,1) فمجموع الضرب 0 وحده 1؛ كون المجموع صفرًا لا يضمن مساواة.
• لا نخلط مجموع القيم المطلقة بالقيمة المطلقة للمجموع، ولا نختار p=q=3؛ مع (1,2) و (1,4)، الحد الأخير∛585 أصغر من 9، فيفشل لأن مجموع المقلوبين 2/3 لا 1.

نبني الحد من قائمتين قبل ضربهما

في المثال a=(1,2) و b=(4,1)، حاصلَا الضرب 4 و 2، وكلاهما موجب، لذا T=6. نجمع مكعبات القائمة الأولى: A=1³+2³=9. في الثانية، الجذر الرئيسي لـ 4 هو 2، ثم مكعبه 8؛ أما 1^(3/2)=1، ولذلك B=8+1=9.

حد القوى هو U=A^(1/3) × B^(2/3). بما أن A و B غير سالبين، مكعب هذا الحد AB². هنا AB²=9×9²=729، والجذر التكعيبي 729 هو 9. هذه طريقة دقيقة للحساب، دون تقريب عاملَي القوة كل واحد على حدة.

لا نجمع A و B للحصول على 18، ولا نستبدل قوتهما بالجذر التربيعي. الأس الأول 1/3 والأس الثاني 2/3 يخصان مجموعي القوى بعد جمعهما. الحد 9 يعلو T=6 بفجوة 9−6=3، لكنه لا يغير قيمة المجموع الأصلي.

إذا بدلنا ترتيب الثانية إلى b=(1,4)، تبقى B=9 ويظل U=9. لكن الضرب بحسب الموضع يعطي 1×1+2×4=9. إذن حد القوى لا يسجل هذا التبديل، بينما المجموع يسجله؛ استعمال العناصر المناظرة جزء من المسألة، لا تفصيل في الكتابة.

برهان خاص بالأسين ثلاثة وثلاثة أنصاف

نستبدل المدخلات بمقاديرها: x=|a₁| و y=|a₂| و s=√|b₁| و t=√|b₂|. تصبح هذه الأعداد الأربعة غير سالبة، ونكتب A=x³+y³ و B=s³+t³ و T=xs²+yt². لذلك U³=AB²، ونستطيع مقارنة المكعبين دون جذور في التوسيع.

عرف G=xt(t³+2s³)+ys(s³+2t³). بتوزيع الحدود في AB² و T³ ثم الطرح، نجد U³−T³=(xt−ys)²G. يمكن مراجعتها بضرب المربع x²t²−2xyst+y²s² في G: تبقى الحدود x³t⁶ و y³s⁶ و 2x³s³t³ و 2y³s³t³، ويطرح منها 3x²ys⁴t² و 3xy²s²t⁴.

المربع غير سالب، وكل حد في G حاصل ضرب أعداد غير سالبة. إذن U³−T³ ≥ 0. ولأن U و T غير سالبين، تكون T ≤ U. هذا برهان مستقل لحالة العنصرين والأسين المختارين، وليس برهانًا لكل طول قائمة ولكل أس مترافق.

في المثال x=1 و y=2 و s=2 و t=1. نجد xt=1 و ys=4، ومربع الفرق 9. الطرف الأول في G هو 1×(1+16)=17، والثاني 4×(8+2)=40، فيكون G=57. فرق المكعبين 9×57=513 يطابق 729−216؛ لا نسمي 513 فجوة الحد، فهي 3 كما سبق.

المساواة تتبع التناسب بعد التربيع

الهوية تثبت أن xt=ys يكفي للمساواة. وهو لازم أيضًا: إذا كان G=0، فلو كان xt موجبًا لكان t موجبًا وحده xt(t³+2s³) موجبًا؛ وهذا مستحيل. وبالمثل لا يمكن أن يكون ys موجبًا. إذن G=0 يفرض xt=ys=0، ولا يضيف حالة خارج الشرط نفسه.

إذا كانت (x,y) غير صفرية، فالشرط xt=ys يجعل (s,t) مضاعفًا غير سالب لها. إذا كان x موجبًا نضعλ=s/x فتكون t=λy؛ وإذا كان x=0 فـ y موجب، والشرط يفرض s=0 ثمλ=t/y. لذلك مقادير عناصر b تساويλ² مضروبة في مربعات مقادير عناصر a، ويشملλ=0 القائمة الثانية الصفرية.

مع a=(1,2) و b=(1,4)، الجذران s=1 و t=2، والعاملλ=1. نجد xt=ys=2، ولذلك T=U=9. لا يتطلب ذلك b=a؛ الثانية هنا هي مربعات عناصر الأولى. المرجع يعرض التناسب بين مقدار العنصر الثاني وقوة الأول للأس p−1. [1]

إذا كانت القائمة الأولى (0,0)، فـ A=T=U=0 مهما كانت الثانية. نفحص هذه الحالة مباشرة؛ القسمة على x أو y أو A لن تصلح. كذلك في (0,2) مع (0,4) نجد T=8 و A=B=8 ثم U=8؛ الصفر في موضع واحد لا يمنع المساواة.

فجوة الحد تختلف عن فرق مكعبيه

الجدول كله للأسين 3 و 3/2. عمود الفجوة يحسب U−T. في صف (16,4)، ضُربت القائمة الثانية الأصلية في 4؛ صار T=24 و B=72، ومكعب الحد 9×72²=46656=36³. الحد 36 والفجوة 12، وهي أربعة أمثال الفجوة 3.

في الصف الأخير (1,0) مع (0,1)، كل حاصل ضرب صفر، فيكون T=0. لكن A=B=1 ثم U=1؛ الفجوة 1. عدم تلاقي العناصر غير الصفرية في المواضع نفسها يختلف عن كون إحدى القائمتين كلها صفرًا.

الإشارة والأس لا يسقطان من الفحص

لـ a=(1,2) و b=(1,−4)، حاصلَا الضرب 1 و −8. مجموع القيم المطلقة T=1+8=9، أما القيمة المطلقة لمجموعهما فهي|1−8|=7. في كميتي القوى نستخدم مقادير العناصر، فيبقى A=B=9 و U=9. تتحقق مساواة هولدر في T، لكنها لا تجعل 7 مساويًا للحد 9.

إسقاط رموز القيمة المطلقة من القوة 3/2 على العنصر −4 يخلق مسألة أخرى؛ جذره التربيعي لا يكون حقيقيًا. في النموذج الذي أثبتناه أخذنا مقدار العنصر أولًا ثم الجذر، لذلك t=2. حافظ على موضع الرموز حول العنصر أو حول حاصل الضرب أو حول المجموع.

شرط الأسين هو 1/p+1/q=1، مع p,q > 1. [1] في 3 و 3/2 نجد 1/3+2/3=1. أما اختيار 3 و 3 فيعطي 2/3. جربه على (1,2) و (1,4): مجموعا المكعبات 9 و 65، والحد المفترض∛(9×65)=∛585. لأن 585 أصغر من 729=9³، فالحد أصغر من T=9، وتفشل المقارنة.

عند p=q=2 تصبح الصيغة حالة كوشي. [1] للقائمتين الأصليتين (1,2) و (4,1)، مجموعا المربعات 5 و 17، فيكون الحد√85. وهو أكبر من 9 لأن 85 أكبر من 81. المقارنة لهذا المثال؛ لا تثبت أفضلية الأس 3 لجميع المدخلات.

ابدأ بالمجموع المطلوب: هل هو مجموع المقادير أم مقدار المجموع؟ ثم حدد الأسين ومجال القوى، واحسب مجاميعها قبل أخذ الجذور. وإذا أردت المساواة فراجع العناصر المناظرة وحالات الصفر. لم نستعمل تكاملًا ولا قائمة غير منتهية؛ موضوع المقالة حد مجموع حاصلَي ضرب محددين.