متمم شور: ما الذي يبقى بعد حذف كتلة؟

اقرأ الكتل قبل حذفها

الكتلة مجموعة خانات متجاورة داخل المصفوفة، وليست خانة عددية واحدة بالضرورة. في التقسيمM=[[P,Q],[R,D]] نأخذP بحجمp×p وD بحجمq×q؛ فتكونQ بحجمp×q وR بحجمq×p. [2]

نختارM=[[2,1,1],[0,1,2],[3,4,6]]. يفصل التقسيم بعد أول صفين وأول عمودين: P=[[2,1],[0,1]] وQ=(1,2)ᵀ وR=(3,4) وD ذات العنصر6.

معكوسP هوG=[[1/2,−1/2],[0,1]]. نجدGQ=(−1/2,2)ᵀ، ولذلكRGQ=3(−1/2)+4×2=13/2.

إذنS=D−RGQ=6−13/2=−1/2. الكتلةS هنا1×1، لكن في مسائل أخرى قد تكون مصفوفة أكبر. [1] لا نحذفQ وR ثم نحتفظ بـD=6؛ يجب طرح أثر الربط بين الكتلتين.

من النظام الكامل إلى معادلة أصغر

النظام بالكتل هوPx+Qy=f وRx+Dy=g. بما أنP قابلة للعكس، تعطي الأولىx=G(f−Qy). بالتعويض في الثانية: RGf−RGQy+Dy=g، ومنهSy=g−RGf. [3]

في مثالنا نختارf=(−3,0)ᵀ وg=−5. نحسبGf=(−3/2,0)ᵀ، ثمRGf=−9/2. يصبح الطرف المختزل−5−(−9/2)=−1/2.

المعادلة الجديدة(−1/2)y=−1/2 تعطيy=1. نرجع إلى الأولى: f−Qy=(−4,−2)ᵀ، وx=G(−4,−2)ᵀ=(−1,−2)ᵀ.

الترتيب الكامل للحل هو(−1,−2,1). بالعودة إلىM: الصف الأول يعطي−2−2+1=−3، والثاني−2+2=0، والثالث−3−8+6=−5.

استخدامS وحدها أوجدy، لكنه لم ينه الحل؛ يجب استعادةx ثم فحص المعادلات الأصلية. التحديث شمل الطرفg أيضًا، لا معاملات المصفوفة وحدها.

المحدد وكتلة من المعكوس

الحذف بالكتل يعطيLM=[[P,Q],[0,S]]، حيثL=[[Iₚ,0],[−RG,I_q]]. المحددdet(L)=1، ومحدد المصفوفة المثلثية بالكتل هوdet(P)det(S)؛ إذنdet(M)=det(P)det(S). [1]

معP قابلة للعكس، يكونdet(P)≠0. لذلكdet(M)≠0 إذا وفقط إذاdet(S)≠0، وهو شرط قابلية العكس. [1] في المثالdet(P)=2 وdet(S)=−1/2، فتكونdet(M)=−1.

عدديًا صفL الأخير هو(−3/2,−5/2,1)، لأنRG=(3/2,5/2). ضربه فيM يعطي(0,0,−1/2)، بينما يبقى أول صفين كما هما.

المعكوس في مثالناN=[[2,2,−1],[−6,−9,4],[3,5,−2]]. يمكنك التحقق منMN=NM=I₃. خانته السفلية اليمنى−2 هيS⁻¹، وليستD⁻¹=1/6.

هذه العلاقة بين الكتلة السفلية اليمنى من المعكوس وS⁻¹ عامة عند وجود المعكوسين المطلوبين. [3] ويمكن رؤيتها بحلM(x,y)ᵀ=(0,z)ᵀ: الأولى تعطيx=−GQy، والثانيةSy=z، فيكونy=S⁻¹z.

حدود الاختبار والكتلة غير المناسبة

أبقِP وQ وR كما هي، واجعلD ذات العنصر13/2 بدل6. عندئذS=0، مع أنP وD قابلتان للعكس. إذن قابلية عكس الكتلتين القطريتين لم تضمن قابلية عكسM.

المصفوفة الجديدةM₀=[[2,1,1],[0,1,2],[3,4,13/2]]. اضربها في المتجه(1,−4,2)ᵀ غير الصفري: القيم2−4+2 و−4+4 و3−16+13 كلها صفر. هذا شاهد مباشر على غياب المعكوس.

بالمقابل، خذJ=[[0,1],[1,0]] وقسمها إلى أربع كتل1×1. الكتلةP ذات العنصر0 مفردة، فلا يوجدP⁻¹ في الصيغة السابقة. لكنJ²=I₂، ولذلكJ⁻¹=J.

فشل عكس الكتلة المختارة لا يساوي فشل عكس المصفوفة كلها. قد نختار تقسيمًا آخر أو نبدل الصفوف ضمن حل النظام؛ يجب تسجيل التغيير قبل تطبيق الصيغة.

استعمالG في الشرح يوضح العلاقات الجبرية. في التنفيذ يمكن حسابGQ وGf بحل أنظمة معاملاتهاP، دون تكوينG صراحة. [3] لم ننفذ هنا اختبار سرعة أو تجربة استقرار عددي.